第三章 轴对称、等腰、直角 模型29 将军饮马之“两点一线”-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型29将军饮马之“两点一线” 模型解读 模型构建 当两定点A,B在直线1同侧时，在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小 B ·A 图形拆解 作点B关于直线I的对称点B', 连接AB'交直线l于点P 相关结论 PA+PB的最小值为AB 如图，作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交 B 直线l于点P, 由轴对称性质可知，PB=PB', 证明分析 .PA+PB=PA+PB'≥AB', .当点A,B',P共线时PA+PB的值最小，最小值 是线段AB'的长 模型拓展 两定点A,B位于直线1同侧，在直线1上找一点P, 已知条件 使IPA-PB的值最大 辅助线 连接AB并延长，与直线l交于点P 结论 此时PA-PBI的值最大，最大值为线段AB的长 两定点A,B位于直线l异侧，在直线L上找一点P, 已知条件 使得IPA-PB的值最大 B 作点B关于直线I的对称点B',连接AB'并延长，与 辅助线 直线I交于点P 结论 此时PA-PBI的值最大，最大值为线段AB'的长 100 模型29)将军饮马之“两点一线” 8 模型应用 1(江苏月考)如图，点A,B在直线MN的同侧，A到MN的距离 AC=8,B到MN的距离BD=5,已知CD=4,P是直线MN上的一个 动点，记PA+PB的最小值为a,PA-PB的最大值为b,则a2-b2的 值为( M C PD N A.160 B.150 C.140 D.130 只/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 作点A关于直线MN的 对称点A',连接A'B交 直线MN于点P,则点 P即为所求.过点A'作 第一步： A'E⊥BD,交BD的延 .AC=8,BD=5,CD=4 A,B为直线MN同侧两定 长线于点E A'C=8,BE=BD+DE=BD+A'C= 点，P为直线MN上一动点， 8+5=13, 求两条线段和的最小值， AE=CD=4. B 可识别出将军饮马之“两 在Rt△A'EB中，根据勾股定理，得 点一线”模型 A'B=BE2+AE2=132+42=185, MC P D 即PA+PB的最小值a=J185 A.cE P'A-P'B=AB,AB>IPA-PBI, 连接AB并延长，交MW .当点P运动到点P'时，IPA-PB 于点P 最大 第二步： 过点B作BF⊥AC于点F,则BF= 求两条线段差的最大值 CD=4,AF=AC-BD=8-5=3. 可识别出将军饮马之“两 在Rt△AFB中，根据勾股定理得 点一线”模型 D AB=AF2+BF=J32+42=5, ∴.IPA-PB=5,即b=5, .a2-b2=（185)2-52=160 101 72个模型公式速通初中几何 2(南阳一模)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=6,∠BCD=15°，点D在AB上， P为直线CD上的动点，则IPA-PBI的最大值为 只/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 此时的点P就是使PA-PB的值最 大的点， 作点A关于CD的 IPA-PBI的最大值为A'B. △ABC为等腰直角三角形， 对称点A',连接A'B AC=BC=6. 并延长交直线CD于 .∠CAB=∠ABC=45°， 点P,连接A'C ∠ACB=90° 求两条线段差的最大值， .∠BCD=15°， 可识别出将军饮马之“两 .∠ACD=75° 点一线”模型 点A与A'关于CD对称， D .CD⊥AA',AC=A'C, ∠CA'A=∠CAA', .∠ACA'=150°， ∠CAA'=∠CA'A=15 .∠ACB=90°，.∠A'CB=60°. .·AC=BC, ∴.A'C=BC, .△ABC是等边三角形， ·.AB=BC=6 102 模型29将军饮马之“两点一线” 分层演练 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3.如图，E为正方形ABCD的边DC上一点， BC,点C在直线MN上，∠BCN=30°，P 且EC=3DE,F为AC上的一动点，连接 为MN上一动点，连接AP,BP.当AP+BP FD和FE.若AB=8,求FD+FE的最小值. 的值最小时，求∠CBP的度数 D A E B 2.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC= 120°，N是AB的中点，M是对角线AC上 的一个动点，求MN+MB的最小值 D M 103 72个模型公式速通初中几何 4. 如图，已知A(1,y),B(2,y2)为反5.如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD 比例函数=子图象上的两点，动点P 交对角线AC于点E,连接BE,点P是线 (x,0)在x轴正半轴上运动，当线段 段BE上一动点，作P关于直线DE的对 AP与线段BP的差最大时，求点P的坐标 称点P,Q是AC上一动点，连接PQ, DQ.若AE=14,CE=18,求DQ-P'Q的最 大值. D E 0 P 10472个模型公式速通初中几何 M,N分别是AC,AP的中点， ∴.QE2-BE2=23. .MN=PC. .·EQ=4+BE, .MN=2√3， ∴.（4+BE)2-BE2=23, .AQ=PC=4√5， 解得！ 过点A作AE⊥QB,交QB的延长线于点E, Sam=号BC×BE=号x4×员=子 则有AE2+BE2=AB2=25,AE2+QE2=A02=48, 模型29 将军饮马之“两点一线” 分层演练 ∴.∠CBP-∠CDP-15 模型辨识直线同侧有两定点，直线上 2 模型辨识N,B是直线同侧两定点，M 有一动点，求两条线段和的最小值，可识 是直线上一动点，求两条线段和的最小值， 别出将军饮马之“两点一线”模型 可识别出将军饮马之“两，点一线”模型 答案解：如图，作点B关于MW的 答案解：如图，连接MD,DN. 对称点D,连接BD,CD,连接AD交MN 于点P,连接BP,此时AP+BP的值最小. 由菱形的对角线互相垂直平分，可得点B, D D关于AC对称， 由轴对称可知CB=CD,PB=PD, 则MD=MB ∴.∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB, ∴.MN+MB=MN+MD≥DN, ∴.∠CBP-∠CDP 由“两点一线”模型结论可得DN的长就 .∵∠BCN=30°， 是MN+MB的最小值. ∴.∠BCD=2∠BCN=60°， .四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， .△BCD是等边三角形. .∠ABD=60°，AB=AD, .·AC=BC, :.△ABD是等边三角形 ∴.AC=CD, ∴.∠CAD=∠CDA AN=BN, ∠ACB=90°，∠BCD=60° ∴.DN⊥AB. ·.LCAD=∠CDA=)(180°-∠ACB- 在Rt△ADW中，DN=√AD-AN=√3 ∠BCD)=15°， .MW+MB的最小值是5. 54 参考答案 3 模型辨识D,E是直线同侧两定点，F y=hx+b, 是直线上一动点，求两条线段和的最小值， 把A,B两点的坐标分别代入y=x+b, 可识别出将军饮马之“两，点一线”模型 (k+b=2, 得 答案解：：四边形ABCD是正方形， 2k+b=1, k=-1, .点D与点B关于直线AC对称， 解得 b=3, 如图，连接BE交AC于点F',由“两点 .直线AB所对应的函数解析式是y=-x+3. 一线”模型结论可得BE的长就是DF+EF 当y=0时，x=3, 的最小值. 即此时点P的坐标为（3,0) 5 模型辨识求两条线段差的最大值，可 识别出将军饮马之“两点一线”模型 答案解：如图，延长DE交AB于点H. 'AB∥CD,ED⊥CD, .DH⊥AB BC=CD=AB=8,EC=3DE, 截取HF=BH,连接EF,则点P的对称点P' ∴.EC=6,DE=2, 在EF上 .BE=VBC2+EC=√82+6=10， 由点B,D关于直线AC对称，得QD=QB .FD+FE的最小值为10. 要求QD-P'Q的最大值，即求QB-P'Q的 44 模型辨识 求两条线段差的最大值，可 最大值，当点Q,B,P'共线时，QD 识别出将军饮马之“两，点一线”模型 PQ=QB-QP'=BP',根据“三角形两边之 答案 解：把(1，y1),（2,y2) 差小于第三边”可得BP'的长度为QD 分别代人=是 QP'的最大值，当点P'与点F重合时，得 得y1=2,y2=1, 到BP'的最大值BF .A（1,2),B（2,1) 连接BD与AC交于点O. 连接AB,在△ABP中，由三角形的三边 .·AE=14,CE=18, 关系得AP-BPI<AB, ∴.AC=32, .C0=16,E0=2 如图，延长AB交x轴于点P,当P在P' .∠ED0+∠DE0=90°， 点处时，PA-PB=AB,此时线段AP与线段 ∠ED0+∠CD0=90°， BP的差最大，最大值为线段AB的长度， .∠DEO=∠CDO .·∠EOD=∠DOC, △E0D△D0C,÷0=2品， 即D0=2×16=32, 0 解得D0=4√2（负值已舍去)， 设直线AB所对应的函数解析式是 ∴.BD=2D0=8√2 55 72个模型公式速通初中几何 在Rt△DE0中，DE=VOE2+D0=6. .BF=2BH=16y2,即DQ-P'Q的最大值 .:∠EDO=∠BDH,∠DOE=∠DHB, 3 .△EOD△BHD, 为l6V2 3 D 翩器 即2=6 B丽-8V2 解得BH82 3 模型30 将军饮马之“一点两线” 分层演练 模型辨识角上两动点，角内一定点， 可识别出将军饮马之“一点两线”模型， 答案解：如图，作点A关于BC的 .... 对称点A',关于CD的对称点A",连接AA" C 分别与BC,CD的交点即为所求的点M,N 此时△CEF的周长最小，最小值为CC" A 的长 A(0,2),B(-2,0）, M ∴.0A=0B,∴.∠BA0=45°. C(2,2),∴.C(2,-2),C"(0,4). C 过点C'作CH⊥y轴于点H, .'∠BAD=130°，∠ABC=∠ADC=90°， .CH=2,C"H=6 ∴.∠A'+∠A"=180°-∠BAD=50° ∴.CC"=VCf+C"=2√10 由轴对称的性质得∠A=∠AAM, ∠A"=∠A"AN, .△CEF周长的最小值为2√10 ∴.∠AMN+∠ANM=∠A'+∠A'AM+∠A"+ 3 模型辨识(2)角上两动点，角内一定 ∠NAA"=2(∠A'+∠A")=2×50°=100°， 点，可识别出将军饮马之“一，点两线”模型. 2 模型辨识角上两动点，角内一定点， 答案 (1)证明：如图1，延长FD 可识别出将军饮马之“一点两线”模型. 答案解如图，分别作点C关于x轴、 到点G,使DG=BE,连接AG, G 直线AB的对称点C',C",连接CC"分别 交x轴、直线AB于点F,E,由对称性质 可得CF=CF,CE=C"E, ∴.△CEF的周长为CF+EF+CE=C'F+EF+C"E= E c'c". 图1 56