第二章 全等 模型19 费马点-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

模型19)费马点 模型19费马点 ©模型解读 模型构建 △ABC的三个内角均不大于120°，D为△ABC内一点 A' D 图形拆解 609 609 B B 将△ABD绕点B逆时针旋转 60°，得到△A'BD',连接DD',A'C 相关结论 AD+BD+CD的最小值为A'C的长，此时∠ADB=∠BDC=∠CDA=120° A 如图1，将△ABD绕着点 AD+BD+CD最小，最小值 B逆时针旋转60°，得到 为A'C的长，如图2， D △ABD',连接DD',A'C. 此时有∠BDD'=∠BD'D= D ·BD=BD,∠DBD'=60°， 60°， 60o .△BDD'是等边三角形， .·.∠BDA华∠BDA=∠BDC= B .DD'=BD. 120°， 证明分析 图1 .·△ABD≌△A'BD', ∴.∠ADC=360°-∠ADB A' .AD=A'D', ∠BDC=120°， D .AD+BD+CD=AD'+DD'+ 即当AD+BD+CD最小时， CD. ∠ADB=∠BDC=∠CDA= 60 由于A',C是定点，.当 120° A',D',D,C四点共线时， 图2 模型应用 1(成都模拟)如图，在△ABC中，∠CAB=90°， AB=AC=1,P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值 为 65 72个模型公式速通初中几何 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 将△APC绕点C顺时 由“费马点”模型的结论，可知当B, 针旋转60。，得到 P,F,D四点共线时，PA+PB+PC △DFC,连接PF, 的值最小，最小值为BD的长 AD,DB,过点D作 易得△ACD为等边三角形， DE⊥BA,交BA的延 .∠CAD=60°，AD=AC=1, 又.∠CAB=90°，.∠EAD=30°， △ABC的每个内角都小 长线于点E E 于120°，当∠APB= .DE= A0 1 ∠APC=∠BPC=120° D 时，点P为费马点 .AE=AD2-ED2 2, 3 BE=1+ ∴.BD=VBE2+DE2 V6+2 2 PA+B+PC的最小值为V6+V区 分层演练 1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=6,且 2.如图，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点 ∠ABC=60°，M是菱形内任意一点，连接 M为矩形内一点，E为BC边上任意一点， AM,BM,CM,求AM+BM+CM的最小值. 求MA+MD+ME的最小值 D M 66 模型19)费马点 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 4.[重点题]如图，在△ABC中，∠BAC=30° AB=AC,点P是AB边上一动点，作 且AB=AC,P是底边BC上的高AH上的一点. PD⊥BC于点D,线段AD上存在一点Q, 若AP+BP+CP的最小值为2V2,求BC 当QA+QB+QC的值取得最小值且AQ=2时， 的长. 求PD的值. B B H C 67 72个模型公式速通初中几何 5.【问题提出】 【问题解决】 (1)如图1，四边形ABCD是正方形， (3)如图3，某高新技术开发区有一个平 △ABE是等边三角形，M为对角线 行四边形的公园ABCD,AB+BC= BD(不含B点)上任意一点，将BM 6km,∠ABC=60°，公园内有一个儿 绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接 童游乐场E,分别从A,B,C向游乐 EN,AM,CM.若连接MN,则△BMN 场E修三条路AE,BE,CE,求当这 的形状是 三条路的长度之和（即AE+BE+CE) 最小时，平行四边形公园ABCD的 面积. 图1 B (2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 图3 AB+AC=10,求BC的最小值 图2 68∴.△PBP是等腰直角三角形 由勾股定理得，Pp=PB2+PB2=22+22=8. ·P'C2=12=1,PC2=32=9, ∴.P'p2+PC2=PC2, .△PPC是直角三角形，∠PPC=90° △PBP是等腰直角三角形， .∠PPB=45°， ∴.∠BP'C=∠PPB+∠PP'C=45°+90°= 135° .∠APB=∠BP'C=135° (3)如图3，将△PAB绕点B顺时针旋 转90°得到△PCB, 则∠PBP=90°，PB=PB=2,P'C=PA=5, ∠BP'C=∠APB=45°， 模型19 分层演练 模型辨识由“AM+BM+CM的最小值” 可识别出费马，点模型 答案解：如图，以BM为边作等 边△BMN,以BC为边作等边△BCE, H .BM=BN=MN,BC=BE=CE, ∠MBN=∠CBE=60°， .∠MBC=∠NBE, 参考答案 图3 .△PBP是等腰直角三角形， ∴.∠BPP=∠PPB=45°， PP2=PB2+PB2=22+22=8, .∠APB=∠P'PB, .点P'在线段AP上， ∠PP'C=∠PPB+∠BPC=45°+45°=90°， ∴.△PPC是直角三角形， .PC2=Pp2+P'C2=8+52=33, .PC=√33 费马点 ∴.△BCM≌△BEN, ∴.CM=NE, .AM+MB+CM=AM+MN+NE. 连接AE,交BC于点H, 当A,M,N,E四点共线时，AM+MW+NE 最小，最小值为AE的长 ·.'AB=BC=BE=6,∠ABH=∠EBH=60°， ∴.BH⊥AE,AH=EH,∠BAH=30°， ..BH=AB=3,AH=3 BH=33, .AE=2AH=6√3， 2 模型辨识由“MA+MD+ME的最小值” 可识别出费马，点模型 答案解：如图，将△AMD绕 点A逆时针旋转60°得到△AM'D',则 MD=M'D',连接DD',MM'交AD于点G, 72个模型公式速通初中几何 易得到△ADD',△AMM'和△DDA均为 等边三角形， 则有AM=MM', D G M B ∴.MA+MD+ME=MM'+D'M'+ME,且当D', M',M,E四点共线时最小，最小值为DE 的长， 由于E为动点， .当DE⊥BC时，DE最短， 此时DG=AG=)AD=3, △ADD为等边三角形， .D'G=√5DG=33, ∴.D'E=D'G+GE=4+3√5， .MA+MD+ME的最小值为4+3√3 3 模型辨识由“QA+QB+QC的值取得最 小值”可识别出费马，点模型 答案解：如图1，将△BQC绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM,连接QN, D 图1 ∴.BQ=BN,QC=NM,∠QBN=60°， ∴.△BQN是等边三角形， ∴.BQ=QN, .QA+QB+QC=AQ+ON+MN, ∴.当A,Q,N,M四点共线时， QA+QB+QC的值最小， 此时，如图2，连接MC. A(P) B M 图2 .△BQN是等边三角形， 易得△CBM是等边三角形， ∴.∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM. 又.AB=AC, .AM垂直平分BC. .AD⊥BC,∠BQD=60°， .BD=3 OD. .AB=AC,∠BAC=90°，AD⊥BC, ∴.AD=BD,此时点P与点A重合. 设PD=x,则DQ=x-2, .x=tan60°×（x-2)=3(x-2), .x=3+√5， ∴.PD=3+√5 4 模型辨识由“AP+BP+CP的最小值” 可识别出费马点模型 答案解：如图，将△ABP绕点A 顺时针旋转60°得到△AMG,连接PG, CM,则∠PAG=60°，AG=PA,MG=BP, .△GAP是等边三角形， ∴.PA=PG, .PA+PB+PC=PG+GM+CP, M G H .当M,G,P,C四点共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段CM的长. .CM=2√2 .·∠BAM=60°，∠BAC=30°， .∠MAC=90°， ∴.AM=AC=2. 作BN⊥AC于点N, 则BN=号AB=1, AN=√5，CW=2-√5 ∴.BC=√BW2+CW=V1+(2-√3Y= √6-√2 5 模型辨识由“三条路的长度之和（即 AE+BE+CE)最小”可识别出费马点模型 答案 （1)等边三角形 提示：如图1，由旋转知，BN=BM, ∠MBN=60°， B 图1 .△BMN为等边三角形. (（2)解：设AB=a. .·AB+AC=10, ∴.AC=10-AB=10-a. 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC2= AB2+AC2=a2+（10-a)2=2（a-5)2+50 .（a-5)2≥0， 33 参考答暴 .2(a-5)2+50≥50，即BC2≥50， .BC≥52，即BC的最小值为5√2， （3)解：如图2， B 图2 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到 △ABE',连接EE', 则∠A'BA=60°，AB=A'B,A'E'=AE, BE'=BE,∠EBE'=60°， △EBE'为等边三角形， ∴EE=BE, .AE+BE+CE=AE'+EE'+CE. 当点A',E,E,C在同一条直线上时， AE+BE+CE的值最小，最小值为A'C 过点A'作A'F⊥CB,交边CB的延长线 于点F, 在Rt△A'FB中，∠ABF=180°-∠ABA- ∠ABC=60°，∠FA'B=90°-60°=30° 设BF=x,则AB=A'B=2x, 根据勾股定理，得A'F=√3x, .BC=6-AB=6-2x, ∴.CF=BF+BC=6-x. 在Rt△AFC中，根据勾股定理得，A'C2= AP+0F-3+(6-)2=4x2+27, 当=多 即AB=2x=3时，A'C2最小. 此时，BC-633,A-5x=9, .此时平行四边形公园ABCD的面积为 3×35-y5(m). 2