第二章 全等 模型18“鸡爪”模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

模型18)“鸡爪”模型 模型18“鸡爪”模型 ⑧模型解读 模型构建 在△ABC中，AB=AC=BC,D为△ABC内部一点 图形拆解 将△ABD绕点A 逆时针旋转60°， 得到△ACD',连 接DD' 相关结论DD'=AD,CD'=BD 如图，将△ABD绕点A.DD'=AD. 逆时针旋转60°，得到由旋转，得 证明分析 △ACD',连接DD △ABD≌△ACD', :AD=AD,∠DAD=60°， .BD=CD' .△ADD'是等边三角形， 8模型拓展 已知条件 P为正方形ABCD内部一点 辅助线 将△ABP绕，点B顺时针旋转90°，得到△CBP 结论 PP'=2 BP,CP'-AP 61 72个模型公式速通初中几何 8模型应用 1如图，在等边三角形ABC中，∠A0B=115°，∠B0C=125°， 将△AOB绕，点B逆时针旋转60°，得到△CDB,则∠ODC, ∠COD,∠OCD的度数分别为 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由“鸡爪”模型的结论， 可知△BOD是等边三角形， ∴.OB=DB=OD, O为等边三角形ABC内 ∠OBD=∠ODB=∠BOD=60°. 一点，可识别出“鸡爪” 又.△AOB≌△CDB, 模型 ∴.∠AOB=∠CDB=115°， .∠ODC=∠CDB-∠ODB=55°， ∠COD=∠B0C-∠BOD=65°， ∠OCD=180°-∠ODC-∠COD=60 Q分层演练 1.如图，O是等边三角形ABC内一点， ④S△A0B+SAA0c=3+4V3. OA=3,OB=4,OC=5.将线段B0以点B 其中，说法错误的是 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段B0', 有下列说法： ①点0与点0'之间的距离为4： ②∠A0B=150°； ③S四边形A0B0=6+4V3; 62 模型18“鸡爪”模型 2.[重点题]如图，P是等边三角形ABC3.如图，已知P是正方形ABCD内的一点， 内一点，且PA=6,PB=8,PC=10,若 连接PA,PB,PC.若PA=4,PB=2,∠APB= 将△APB绕着点B逆时针旋转后得到 135°，求PC的长。 △CQB,求∠APB的度数. D 4.如图，在正方形ABCD内有一点P,若 PA=√5，PB=√2，PC=1.求∠BPC的度数. D B 63 72个模型公式速通初中几何 5.(1)[问题解决]如图1，P是等边三角 (2)[类比探究]如图2，P是正方形 形ABC内一点，且PA=3,PB=4, ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3. PC=5,若将△PAC绕点A逆时针旋 你能求出∠APB的度数吗？写出完整 转后，得到△PAB,求点P与点P' 的解答过程 之间的距离PP'的长，及∠APB的 度数 B 图2 图1 (3)[迁移运用]如图3，P是正方形ABCD 外一点，PA=5,PB=2,∠APB=45°， 求PC的长 P 图3 64模型18 分层演练 模型辨识O为等边三角形ABC内一，点 可识别出“鸡爪”模型 答案 ④ 解析 如图1，连接001 图1 由题意可知， ∠ABO'+ABO=∠CBO+∠ABO=60°， .∠ABO'=∠CBO 在△BO'A和△BOC中， (O'B=OB, ∠ABO'=∠CBO, AB=BC, ∴.△BO'A≌△BOC(SAS). .·∠0B0=60°，0B=0'B, .△OB0'是等边三角形， ∴.00=0B=4, 故说法①正确 .·△B0'A≌△BOC, ∴.0A=0C=5, 在△A00'中，三边长分别为3,4,5， 这是一组勾股数， .△A00'是直角三角形，且∠A00-90° ∴.∠A0B=∠A00+∠B00-90°+60°=150° 故说法②正确」 Sa边影0=Sa0ot+56am=支×3x445 42=6+4√3， 参考答暴 “鸡爪” 模型 故说法③正确. 如图2，将△A0C绕A点顺时针旋转60° 到△A0'B的位置，连接O0', 图2 同理可得，SaA0c+SaoB6+9y3 4 故说法④错误。 2 模型辨识P为等边三角形ABC内一点， 可识别出“鸡爪”模型 答案解：如图，连接PQ,由题意 可知△ABP≌△CBQ, ∴.QB=PB=8,PA=QC=6, ∠ABP=∠CBQ, '△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°， .∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°， ∴.△BPQ为等边三角形， .PO=PB=BO=8. 又.PC=10,QC=6, ∴.PQ2+QC2=PC2, .∠PQC=90°. ·△BPQ为等边三角形， .∠BQP=60°， ∴.∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°， 29 72个模型公式速通初中几何 .∠APB=∠BQC=150° 3 模型辨识P为正方形ABCD内一点， 可识别出“鸡爪”模型 答案解：，四边形ABCD为正方形， .BA=BC,∠ABC=90° 把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到 △BCE,连接PE,如图， E .BP=BE=2,CE=AP=4,∠PBE=90°， ∠BEC=∠APB=135°， .△PBE为等腰直角三角形， ∴.PE=√2PB=2√2，∠PEB=45°， .∠PEC=135°-45°=90°. 在Rt△PEC中，.：PE=2√2，CE=4, .PC=V42+(2√2)2=2√6 4 模型辨识P为正方形ABCD内一点， 可识别出“鸡爪”模型 答案解：如图，将△ABP绕点B 顺时针旋转90°得到△CBP' D 由旋转，可知AP=CP=√5，BP=BP=√2 ∠PBP=90° 连接PP',可得△BPP'为等腰直角三角形， .PP=√2BP=2,∠BPP'=45 在△CPP'中，CP=√5，PP=2,PC=1, .P'P2+PC2=CP2 .△CPP'是直角三角形，且∠CPP=90°， ∴.∠BPC=∠BPP+∠PPC=135°. 5 模型辨识P为等边三角形ABC内一点， 可识别出“鸡爪”模型 答案解：（1)如图1，连接PP 图1 ,△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°. .△PAC绕点A逆时针旋转得到△PAB, .△BAP'≌△CAP, ∴.BP=CP=5,∠PAP=∠BAC=60° ∴.△APP'是等边三角形， .PP=PA=3,∠APP=60°. BP=4, .BP2+P'P2=P'B2, ∴.△BPP'是直角三角形，∠BPP=90°， .∠APB=∠APP'+∠P'PB=60°+90°= 150° （2)如图2，将△PAB绕点B顺时针旋 转90°得到△P'CB,连接PP', 则∠PBP=90°，PB=PB=2,P'C=PA=1, 图2 0 ∴.△PBP是等腰直角三角形 由勾股定理得，Pp=PB2+PB2=22+22=8. ·P'C2=12=1,PC2=32=9, ∴.P'p2+PC2=PC2, .△PPC是直角三角形，∠PPC=90° △PBP是等腰直角三角形， .∠PPB=45°， ∴.∠BP'C=∠PPB+∠PP'C=45°+90°= 135° .∠APB=∠BP'C=135° (3)如图3，将△PAB绕点B顺时针旋 转90°得到△PCB, 则∠PBP=90°，PB=PB=2,P'C=PA=5, ∠BP'C=∠APB=45°， 模型19 分层演练 模型辨识由“AM+BM+CM的最小值” 可识别出费马，点模型 答案解：如图，以BM为边作等 边△BMN,以BC为边作等边△BCE, H .BM=BN=MN,BC=BE=CE, ∠MBN=∠CBE=60°， .∠MBC=∠NBE, 参考答案 图3 .△PBP是等腰直角三角形， ∴.∠BPP=∠PPB=45°， PP2=PB2+PB2=22+22=8, .∠APB=∠P'PB, .点P'在线段AP上， ∠PP'C=∠PPB+∠BPC=45°+45°=90°， ∴.△PPC是直角三角形， .PC2=Pp2+P'C2=8+52=33, .PC=√33 费马点 ∴.△BCM≌△BEN, ∴.CM=NE, .AM+MB+CM=AM+MN+NE. 连接AE,交BC于点H, 当A,M,N,E四点共线时，AM+MW+NE 最小，最小值为AE的长 ·.'AB=BC=BE=6,∠ABH=∠EBH=60°， ∴.BH⊥AE,AH=EH,∠BAH=30°， ..BH=AB=3,AH=3 BH=33, .AE=2AH=6√3， 2 模型辨识由“MA+MD+ME的最小值” 可识别出费马，点模型 答案解：如图，将△AMD绕 点A逆时针旋转60°得到△AM'D',则 MD=M'D',连接DD',MM'交AD于点G,