第二章 全等 模型16 “半角”全等模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 M ·△ABE,△BFO均为等腰三角形 ∴.AB=BE,BF=BO 由“一线三垂直”全等模型的结论， △ABO≌△BEN, ∴.BO=NE,BN=AO. 模型16 分层演练 模型辨识由∠EAF是∠BAD的 可识别出“半角”全等模型」 答案 解：如图，延长CB到 使BG=DF,连接AG G B C 由“半角”全等模型结论，可得 △AEG≌△AEF. ∴.∠AEG=∠AEF ·.∠AEF+∠AEG+∠FEC=180°， ∠FEC=a, ∴.∠AEG=90°- 2 .'∠BAE+∠AEG=90°， ∠BAE=受· 20 模型辨识由∠MAN是∠BAC的 可识别出“半角”全等模型。 BO=BF, ∴.BF=NE. 在△BPF与△NPE中， ∠FBP=∠ENP, ∠FPB=∠EPN, BF=NE, ∴.△BPF≌△NPE(AAS), BP-NP-BN. 可知 又BN=AO, .BP=5A0=3×4=2 “半角”全等模型 答案解：如图，将△ACN绕点A 顺时针旋转，得到△ABE. G, E B 由旋转得∠NAE=90°，AN=AE, ∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN. .∠BAC=∠D=90°， ∴.∠ABD+∠ACD=360°-90°-90°=180°， .∴.∠ABD+∠ABE=180°， .E,B,M三点共线」 .∠NAM=45°，∠BAC=90°， 由“半角”全等模型结论，可知 MN=CN+BM. .在Rt△BCD中，∠D=90°， ∠CBD=30°，BC=4, CD=]BC=2, 半， BD=BC2-CD2=42-22=23, ∴.△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+ 24 DN+BM+CN=BD+DC=23 +2. 3 模型辨识由∠DAE是∠BAC的一半， 可识别出“半角”全等模型 答案 解：如图，将△ABD绕点 A逆时针旋转至△ACD',连接ED',则 CD=BD=3,∠ACD'=∠B=45°， .∠D'CE=90°. .CE=5 .DE=√34. 由“半角”全等模型结论， 可得△ADE≌△ADE, .DE=DE=√34. 模型辨识(1)(2)由∠MDN是 ∠BDC的一半，可识别出“半角”全等模型 答案 解：(1)①.DM=DN, ∠MDN=60°， .△MDN是等边三角形 ∴.MN=DM=DN. .∠BDC=120°，BD=DC, ∴.∠DBC=∠DCB=30°. :△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°， ∴.∠DBM=∠DCN=90°. BD=CD,DM=DN, .Rt△DBM≌Rt△DCN(HL), ∴.∠MDB=∠NDC=30°. ②由（1)可知，DM=2BM,BM=CN, ∴.DM=MN=2BM=BM+NC, 即MN=BM+NC: (2)猜想：MWN=BM+NC. 25 参考答暴 理由如下： .∠MDN=60°，∠BDC=120°，CE=BM, .由“半角”全等模型结论，可知 △MDN≌△EDN, .MN=EN=CE+NC=BM+NC. (3)由（1)（2)得，MN=BM+NC, ∴.△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+BM+ NC+AN=AB+AC=2AB .△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC, .△ABC的周长=3AB, ∴.△AMN的周长与△ABC的周长的比为 器号 模型辨识（1)（2)(3)由∠E4E 是∠DAB的一半，可识别出“半角”全 等模型 答案 (1)解：DE+BF=EF 理由如下： 如图1，将△ADE绕点A顺时针旋转90° 到△ABH的位置， E H B 图1 由旋转可得AH=AE, BH=DE,∠HAE=90°. .:∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=90°+90°= 180°， .H,B,F三点共线 .∠EAF=45°， ∴.∠HAF=∠EAF=45° 在△AEF和△AHF中， 72个模型公式速通初中几何 AE=AH, ∴.△AEF≌△AHF(SAS), ∠EAF=∠HAF, ∴.EF=HF. AF-AF, HF=BH+BF, ∴.△AEF≌△AHF(SAS), ∴.EF=DE+BF. .EF=HF (3)证明：如图3，将△ACE绕点A .·HF=BH+BF, 顺时针旋转90°至△ABH的位置，连接 .EF=DE+BF. DH, (2)解：EF=DE+BF,理由如下： 如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转到 △ABH的位置，标示∠1，∠2，∠3. H B Eò G 图3 H 则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°， 图2 ∠EAH=90°， 由旋转可得AH=AE,BH=DE,∠1=∠2. ∴.∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°. .·∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=90°+ 在△EAD和△HAD中， 90°=180°， (AE=AH, ∴.H,B,F三点共线 ∠EAD=∠HAD, :∠EAF=∠DAB, AD=AD, ·.LAF-L1+L3=L2+L3=3∠DMB .△EAD≌△HAD(SAS), ∴.DE=DH 45°， :∠HBD=∠ABH+∠ABD=45+45°=90°， .∴.∠HAF=∠EAF 在△AEF和△AHF中， .BD2+HB2=DI, (AE=AH, .BD2+CE2=DE2. ∠EAF=∠HAF, AF=AF, 模型17 “四边形对角互补”全等模型 分层演练 边形对角互补”全等模型 答案B 模型辨识在四边形BFOE中，∠EBF 解析 如图，过点O作OH⊥BC于 90°，且BO平分∠EBF,可识别出“四 26模型16“半角”全等模型 模型16“半角”全等模型 ⑧模型解读 模型构建 在正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,BC上，∠BAD=90°，∠EAF=45° A D 45 45 E + 图形拆解 B 延长CB至点G,使得 BG=DE,连接AG 相关结论 ①△EAF≌△GAF:②EF=BF+DE 如图，延长CB至点G,使.∠BAF+∠BAG=45°， 得BG=DE,连接AG ∴.∠FAG=∠EAF=45°. 在△ABG和△ADE中， 在△AGF和△AEF中， A D (AB=AD, (AG=AE, ∠ABG=∠D=90°， ∠FAG=∠FAE, 证明分析 E BG=DE, AF=AF, .△ABG≌△ADE(SAS), .△AGF≌△AEF(SAS) G B F .∠BAG=∠DAE, （结论①)， AG=AE. .GF=EF, .·∠EAF=45° ∴.EF=GB+BF=DE+BF ∴.∠BAF+∠DAE=45°， (结论②) 8模型拓展 △ABC为等边三角形，∠MDN=60°，∠BDC=120° 已知条件 BD=CD M 辅助线 延长AB至点F,使BF=CN,连接DF B C ①△FMD≌△NMD; 结论 D ②MN=BM+CW 51 72个模型公式速通初中几何 8模型应用 1(昆山三模)如图，正方形ABCD的边长为6，点E,F分别在 边AB,BC上，若F是BC的中点，且∠EDF=45°，则DE的 长为 只三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 延长BA至点G,使 由“半角”全等模型的结论，可知 AG=CF,连接DG,EF EF=AE+CF. 由∠EDF=45。,得 ∠EDF=LADC,可 F为BC的中点，BF=CF=1BC=3. 设AE=x,则BE=AB-AE=6二x,EF= 识别出“半角”全等模 AE+CF=x+3,在Rt△BEF中，由勾股 型 定理得(6-x)2+32=(x+3)2,解得x=2, .AE=2, ∴.DE=AD2+AE2=J62+22=2/10 2（广州二模)如图，D为等边三角形ABC外一点，∠BDC=120°， BD=CD,点M,N分别在AB和AC上，∠MDN=60°，且AM=9, AN=4,MN=8,则等边三角形ABC的边长为 D 8/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由“半角”全等模型的结论，可知 因为∠MDN=60°，所 MN=BM+CN 设等边三角形ABC的边长为x, 以LMDN=3∠BDC, BM=AB-AM=x-9,CN=AC-AN=x-4. 可识别出“半角”全等 M 由MN=BM+CN=8, 模型 得(x-9)+(x-4)=8, 解得=10.5 52 模型16“半角”全等模型 分层演练 1.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别：2.如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC= 在边BC,CD上，连接AE,AF,EF, ∠D=90°，BC=4,AB=AC,∠CBD=30°，M, ∠EAF=45°.若∠FEC=a,求∠BAE的 N分别在BD,CD上，∠NAM=45°，求 度数 △DMN的周长 B E 53 72个模型公式速通初中几何 3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, 4.在等边三角形ABC的边AB,AC上分别有 点D,E都在边BC上，∠DAE=45°， 点M,N,D为等边三角形ABC外一点， BD=3,CE=5,求DE的长 且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC. 【问题探究】 A (1)如图1，当DM=DN时. ①求∠MDB的度数； ②求MN与BM,NC之间的数量关系 【归纳证明】 (2)如图2，当DM≠DN时，在NC的 延长线上取点E,使CE=BM,连接 DE.猜想MN与BM,NC之间的数量 关系，并说明理由 【拓展应用】 (3)求△AMN的周长与△ABC的周长的比， D D 图1 图2 54 模型16“半角”全等模型 5.(1)如图1，在正方形ABCD中，E, (3)将两个全等的等腰直角三角形 F分别为DC,BC边上的点，且满 (△ABC和△AFG)按如图3所示 足∠EAF=45°，连接EF,试猜想 的方式摆放在一起，A为公共顶点， DE,BF,EF之间的数量关系，并说 ∠BAC=∠AGF=90°，AF,AG与边 明理由. BC的交点分别为D,E.求证：DE= BD+CE. B D G B 图1 图3 (2)如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到 Rt△ADC,E,F分别为DC,BC边 上的点，且LEAF=∠DAB.试猜想 DE,BF,EF之间的数量关系，并说 明理由 图2 55