第二章 全等 模型14 “手拉手”全等模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型14 “手拉手”全等模型 分层演练 3 模型辨识(1)由题干条件，可识别出 模型辨识由△ADB和△ACE是共顶 “手拉手”全等模型 点的等腰直角三角形，可识别出“手拉手” 答案 （1)证明：.四边形ABCD 全等模型 与四边形DEFG都是正方形， 答案 解：CD=BE,CD⊥BE.理由 ∴.AD=CD,DG=DE, 如下： ∠ADC=∠EDG=90°， 由“手拉手”全等模型的结论，可知 ∴.∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG, △ACD≌△AEB, .∠ADG=∠CDE, ∴.CD=BE,∠ADC=∠ABE. ∴.△ADG≌△CDE(SAS). .'∠AGD=∠FGB, (2)解：AG=CE,AG⊥CE. .∠BFD=∠BAD=90°， 理由如下： 即CD⊥BE 如图1，AG与CD的交点记为点M. 2 模型辨识△AED和△ABC是共顶点 的等腰直角三角形，可识别出“手拉手” 全等模型 答案 证明：如图，在BD上截取 BF=CD,连接AF 图1 .△ADG≌△CDE, ∴.AG=CE,∠DAG=∠DCE. 由“手拉手”全等模型的结论，可知 .'∠DAG+∠AMD=90°， △ABF≌△ACD, ∠AMD=∠CMG, 则AF=AD,∠BAF=∠CAD ∴.∠DCE+∠CMG=90°， .∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°， ∴.∠CHA=90°， .∠FAD=∠CAD+∠FAC=90°， ∴.AG⊥CE. 即△FAD为等腰直角三角形. (3)解：△ADE的面积=△CDG的面积. ·AE⊥BD, 理由如下： ∴.FE=DE. 如图2，作GP⊥CD于点P,EN⊥AD ·BE=BF+FE,且BF=CD,FE=DE, 交AD的延长线于点N,则∠DPG=∠DNE= ∴.BE=CD+DE. 90° 20 参考答案 :△MON是等腰直角三角形， .MN2=20N2, ∴.BW2+AW2=20W2」 ②解：.△AOB和△MON都是等腰直角 三角形，0B=4,0N=3, 图2 ∴.AB=4V2,MN=3V2 .∵∠GDE=90°， 当点N在线段AM上时，如图2，连接 ∴.∠EDN+∠GDN=90° BN,设BN=x .·∠PDG+∠GDN=90°， ∴.∠EDN=∠PDG 又.DE=DG, ∴.△DPG≌△DNE, 图2 ∴.PG=EN 由“手拉手”全等模型的结论，可知 :△ADE的面积=)AD·EN, △AOM≌△BON, ∴.∠OAM=∠OBN,AM=BN=x, △CDC的面积=)CD·CP, ∴.∠NAB+∠ABN=∠OAM+∠OAB+∠ABN= .△ADE的面积=△CDG的面积， ∠OBN+∠ABN+∠OAB=∠OBA+∠OAB= 180°-∠A0B=90°， 4 模型辨识(1)(2)由△MON和△AOB ∴.∠ANB=180°-（∠NAB+∠ABN)=90°， 是共顶点的等腰直角三角形，可识别出“手 .∴△ANB是直角三角形， 拉手”全等模型 .AN2+BN2=AB2. 答案(1)证明：由“手拉手”全等模型 AN=AM-MN=BN-MN=x-32, 的结论，可知△AOM≌△BON. .(x-32)2+x2=(42)2, (2)①证明：如图1，连接AM, √46+32 -√46+3V2 解得x= 2 ，2= 2 (舍去)， ∴BW=V46+3V2 图1 2 由“手拉手”全等模型的结论，可知 当点M在线段AN上时，如图3，连接 △AOM≌△BON, BN,设BN=x. ∴.AM=BN. .:△AOB是等腰直角三角形， ∴.∠OAB=∠OBA=45°， ∴.∠MAO=∠OBA=45°， .∠MAN=90°， 图3 .AM2+AW2=MN2」 21 72个模型公式速通初中几何 由“手拉手”全等模型的结论，可知 由“手拉手”全等模型的结论，可知 AOM≌△BON, △BAD≌△CAE, ∴.∠OAM=∠OBN,AM=BN=x, .∠ABD=∠ACE. ∴.∠NAB+∠ABN=∠OAM+∠NAB+∠ABO= ·AC=AB,CP=BF, ∠OAB+∠ABO=180°-∠AOB=90°， .△CAP≌△BAF(SAS), .∠ANB=180°-（∠NAB+∠ABN)=90°， ∴·∠CAP=∠BAF,AF=AP, :.△ANB是直角三角形， ∴.∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF, .AN2+BNP=AB2 ∴.∠FAP=∠BAC=60°， AN=AM+MN=BN+MN=x+32 .(x+3√2)2+x2=(4v2)2, ∴.△AFP是等边三角形， 獬得x=V46-3V ∴.PF=AP, 2 ,飞=635（合法） 2 ∴.PA+PC=PF+BF=PB. ∴BW=V46-3V2 （3)解：PA+PB=PC.理由如下： 2 如图2，在CP上截取CF=BP,连接AF 综上所述，B的长为V46+3W2或 2 √46-3W2 2 5 模型辨识(2)(3)由△ABC和△ADE 都是等边三角形且有公共顶，点A,可识别 出“手拉手”全等模型 图2 答案 （1)证明：.△ABC是等边 由“手拉手”全等模型的结论，可知 三角形， △BAD≌△CAE, ..AB=AC. ∴.∠ABD=∠ACE. 点P与点A重合， AB=AC,BP=CF, ∴.PB=AB,PC=AC,PA=0, .PA+PB=PC或PA+PC=PB. .△BAP≌△CAF(SAS), （2)解：PB=PA+PC. .∠CAF=∠BAP,AP=AF, 理由如下： ∴.∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF, 如图1，在BP上截取BF=CP,连接AF .∠FAP=∠BAC=60°， ∴.△AFP是等边三角形， ∴.PF=AP, .PA+PB=PF+CF=PC, 图1 即PA+PB=PC. 22模型14“手拉手”全等模型 模型14“手拉手”全等模型 ⑧模型解读 模型构建 在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 图形拆解 连接BD(“左手拉左手”)， CE(“右手拉右手”)交 于点F,作AP⊥BD于点P, 作AQ⊥CE于点Q,连接 AF 相关结论 ①△BAD≌△CAE;②∠BAC=∠BFC;③FA平分∠BFE 如图，连接BD,CE交于.△BAD≌△CAE(SAS) 点F,作AP⊥BD于点P,(结论①)， 作AQ⊥CE于点Q,连.∠ABD=∠ACE, 接AF S△BMD=S△cE,BD=CE, .'∠BAC=∠DAE, .∠BAC=∠BFC(“8 ·.∠BAC+∠CAD=∠DAE+字”倒角)（结论②）， 证明分析 ∠CAD, 3BD·AP=CE·A0. ∴.∠BAD=∠CAE. .AP=AO, 在△BAD和△CAE中， .FA平分∠BFE（结论 BA=CA, ③) ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 41 72个模型公式速通初中几何 8模型拓展 已知条件 △ABC和△ADE均为等边三角形，A为公共顶点 辅助线 连接BD,CE交于点F,连接AF ①△ABD≌△ACE; 结论 ②∠BFC=∠BFA=∠AFE=60° △ABC和△ADE均为等腰直角三角形，直角顶点A 已知条件 为公共顶点 辅助线 连接BD,CE交于点F,连接AF ①△ABD≌△ACE; B 结论 ②∠BFC=∠BAC=90°； ③∠BFA=∠EFA=45° 模型应用 1 (河北模拟)如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，连接 AD,CE.若∠BAD=a,则∠BCE的度数为() A.60° B.a C.60°-x D.60°+ax A三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由“手拉手”全等模型的结 △ABC和△BDE都是等 论，可知△ABD≌△CBE, 边三角形，且有公共顶点 B 则∠BCE=∠BAD=ax B,可识别出“手拉手” 全等模型 D 42 模型14“手拉手”全等模型 2(1)如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC,DE分别是底边.求证： BD=CE. (2)如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D, E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.求∠AEB的度数及线段CM, AE,BE之间的数量关系 图1 图2 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 (1)由“手拉手”全等模型的 △ABC和△ADE是顶角相 结论，可知△BAD兰△CAE, 等且共顶点的等腰三角形， ∴.BD=CE 可识别出“手拉手”全等 模型 (2)由“手拉手”全等模型 的结论， 可知△ACD≌△BCE, ∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC .·△CDE是等腰直角三角形， △ACB和△DCE是共顶，点 ∴.∠CDE=∠CED=45° 的等腰直角三角形，可识 .∠ADC=180°-∠CDE=135°， 别出“手拉手”全等模型 ∴.∠BEC=∠ADC=135° .∠AEB=∠BEC-∠CED= 135°-45°=90° 又.CD=CE,CM⊥DE, .DE=2CM, ∴.AE=AD+DE=BE+2CM 43 72个模型公式速通初中几何 Q分层演练 1.如图，已知AD=AB,AE=AC,AD⊥AB, 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90。, AE⊥AC.猜想线段CD与BE之间的数量 AB=AC,以BC为斜边作直角三角形BCD, 关系与位置关系，并说明理由 点D,A在边BC同侧，BD与AC交于点O, 连接AD,过点A作AE⊥BD于点E.求证： BE=CD+DE. 4 G 0 44 模型14“手拉手”全等模型 3.如图，四边形ABCD与四边形DEFG均为 :4.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角 正方形，连接AG,CE,二者相交于点H. 形，∠AOB=∠MON=90° (1)求证：△ADG≌△CDE (1)如图1，连接AM,BN,求证： (2)请说明AG和CE的位置关系和数量关 △AOM≌△BON. 系，并说明理由. (2)若将△MON绕，点O顺时针旋转 (3)连接AE和CG,△ADE的面积和 ①如图2，当点N恰好在AB边上时， △CDG的面积有怎样的数量关系？说 求证：BW2+AN2=20N2; 明理由 ②当点A,M,N在同一条直线上时， 若OB=4,ON=3,求线段BN的长. D E 图1 图2 45 72个模型公式速通初中几何 5.已知△ABC和△ADE都是等边三角形 (3)将△ADE绕，点A旋转到图3的位置时， （1)将△ADE绕，点A旋转到图1的位置时， 连接BD,CE相交于点P,连接PA, 连接BD,CE并延长相交于点P(点 猜想线段PA,PB,PC之间有怎样 P与点A重合)，有PA+PB=PC(或 的数量关系？并说明理由， PA+PC=PB)成立，请证明， (2)将△ADE绕点A旋转到图2的位置时， 连接BD,CE相交于点P,连接PA, 猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的 数量关系？并说明理由 图3 B DA(P) 图1 图2 46