第二章 全等 模型13 截长补短模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

模型13)截长补短模型 模型13截长补短模型 ⑧模型解读 模型构建 在△ABC中，AD平分∠BAC D D D 在AB上截取AE=AC, △AED≌△ACD 连接ED 图形拆解 B F 延长AC到点F,使 △ABD≌△AFD AF=AB,连接DF 如图，在AB上截取AE= AE=AC, AC,连接ED ∠EAD=∠CAD, E AD平分∠BAC, AD=AD, .∠BAD=∠CAD. ∴.△AED≌△ACD(SAS) D 在△AED和△ACD中， 证明分析 如图，延长AC至点F,使 AB=AF, AF=AB,连接DF ∠BAD=∠FAD, ,AD平分∠BAC, AD=AD. .∠BAD=∠CAD .△ABD≌△AFD(SAS) 在△ABD和△AFD中， 37 72个模型公式速通初中几何 马模型应用 1(浙江模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=I00°，BD是∠ABC的平分线，延长BD 至点E,使DE=AD,求∠ECA的度数 只/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由截长补短模型，可知△FBD≌△ABD, ∴.∠BFD=∠A,AD=FD, .DE=FD, ∴.∠DFC=180°-∠BFD=180°∠A=80°. 由BD是∠ABC的 在BC上截取BF= 又.AB=AC 平分线，可通过“截 AB,连接DF .ABC-LACB-(180)-40. 长法”构造关于角 .∴∠FDC=180°-∠ACB-∠DFC=60° 平分线所在直线对 BD平分∠ABC,.∠ABD=20°， 称的全等三角形 .∴∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=60°， ∴.∠EDC=∠FDC. 在△DCE和△DCF中， DE=DF, ∠EDC=∠FDC, DC=DC, ∴.△DCE≌△DCF(SAS), ∴.∠ECA=∠DCB=40° 2(鞍山期中)如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=150°，M,N 分别为AB,AD上的动点，且∠MCN=75°.求证：MN=BM+DN. M B 38 模型13)截长补短模型 9/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 延长AB至点E,使 由截长补短模型，可知△CBE≌△CDN, 得BE=DN,连接CE .∴∠BCE=∠DCN,CE=CN .∠BCD=150°，∠MCN=75°， 由∠ABC+∠D= .∴∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=∠BCD- 180°，CB=CD,可 ∠MCN=75°， 通过“补短法”构 ∴.∠MCN=∠MCE. 造关于直线MC对 在△ECM和△NCM中， 称的全等三角形 (MC=MC, ∠MCE=∠MCN, CE=CN. .·△ECM≌△NCM(SAS), .∴MN=ME=BM+BE=BM+DN 分层演练 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC, 3.如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC, ∠B=2∠ADB,AB=a,CD=b,则AC的长 BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC. 可以表示为( C A.a B.b C.a+b D.a-b 2.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AD⊥ BC于点D,且AB+BD=DC,则∠C的度数 是() A.20°B.24°C.30°D.36° 39 72个模型公式速通初中几何 4.如图，在△ABC中，已知AB>AC,AD6.[重点题]在△ABC中，∠ACB=2∠B. 是∠BAC的平分线，M是线段AD上任意 (1)如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC 一点，求证：MB-MC<AB-AC 的平分线时，在AB上截取AE=AC, 连接DE,直接写出AB,AC,CD之 间的数量关系.（不需要说明理由） (2)如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC M 的平分线时，线段AB,AC,CD之间 B 有怎样的数量关系？请说明理由· D (3)如图3，当AD为△ABC的外角平分 线时，线段AB,AC,CD之间有怎样 的数量关系？请说明理由. E B D 图1 图2 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线，交BC于点D,过点D 作DE⊥BA于点E,点F在AC边上，且 BD=DF. 图3 (1)求证：AC=AE; （2)若AB=7.4,AF=1.4,求线段BE的长 A E B 40图1 .·BD平分∠ABC,CE⊥BD, 由“雨伞”模型，可知△BEG≌△BEC, ∴.EG=EC, ∴.CG-2CE=2GE. ·CE⊥BD, ∴.∠CED=90°. 又.∠BAC=90°， ∴.∠ABD+∠ADB=∠EDC+∠ACG .·∠ADB=∠EDC, ∴.∠ABD=∠ACG 在△BAD和△CAG中， (∠ABD=∠ACG, AB=AC, N∠BAD=∠CAG, .△BAD≌△CAG(ASA), .BD=CG=2CE （3)解：FM=2CE.理由如下： 如图2，作FM的中垂线NH,交CF于点N, 模型13 截长 分层演练 模型辨识根据AD平分∠BAC,可通 过“截长补短法”构造全等三角形 答案 解析 如图，在AC上截取AE=AB, 连接DE. 17 参考答案 垂足为H,连接MN, A D ME H B 图2 ·.FN=MN,MH=FH=号FM, ∴.∠NMH=∠NFH. .AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ABC=∠ACB=45°， LEFC-L ABC-22.5, ∴.∠MNC=2∠NFH=45°=∠ACB, ∴.NM=CM=FN, ∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°= 67.5°， ∴.∠ECM=90°-∠EMC=22.5°， ∴.∠NFH=∠MCE. 又∠FHN=∠E=90°， ∴.△FNH≌△CME(AAS), .FH=CE, .∴.FM=2FH=2CE 补短模型 由截长补短模型，可知 △ABD≌△AED, .∴.∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE,AB=AE. 又∠B=2∠ADB, ∴.∠AED=2∠ADB,∠BDE=2∠ADB. .·∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB, ∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB, ∴.∠EDC=∠DEC, ∴.CD=CE. AB=a,CD=b, 72个模型公式速通初中几何 .AC=AE+CE=AB+CD=a+6. 2 模型辨识根据AD⊥BC,AB+BD DC,可考虑通过“截长补短法”构造全 等三角形， 答案 B 解析如图，在DC上截取DE=DB, 连接AE. D E 由截长补短模型，可知△ABD≌△AED, .AB=AE,∠B=∠AED 又AB+BD=DC, .EC=DC-DE=DC-BD=(AB+BD)- BD=AB=AE, 即EC=AE, .∠C=∠CAE, .·.∠B=∠AED=2∠C 又∠B+∠C=180°-∠BAC=72°， ∴.3∠C=72°， .∠C=24°. 3 模型辨识●由BE为角平分线，可通过 “截长补短法”构造全等三角形 答案 证明：如图，延长BE至点F, 使BF=BC,连接FC. A F F .AB=AC,∠A=100°， ∴.∠ABC=∠ACB=40° .·BE平分∠ABC, .∴.∠ABE=∠EBC=20° 5 ·.·BF=BC 18 LF=∠BCFP=3(180°-∠EBC)=80, .·.∠FCE=∠BCF-∠ACB=40°， ∴.∠FCE=∠ACB. 在BC上截取CF'=CF,连接EF! 由截长补短模型， 可知△FCE≌△F'CE, ∴.EF=EF',∠EF'C=∠F=80°， ∴.∠BFE=180°-∠EF'C=100°， .∠A=∠BFE. 在△ABE和△FBE中， ∠A=∠BFE, ∠ABE=∠FBE, BE=BE, ∴.△ABE≌△FBE（AAS), ∴.AE=EF', ..AE=EF, .AE+BE=EF+BE=BF=BC. 模型辨识由AD为角平分线，可通过 “截长补短法”构造全等三角形 答案 证明：如图，延长AC至点G, 使AG=AB,连接MG M C D G 由截长补短模型， 可知△ABM≌△AGM, ∴.MB=MG,∴.MB-MC=MG-MC. 在△MCG中，MG-MC<CG, ∴.MB-MC<CG, .MB-MC<AG-AC=AB-AC, 即MB-MC<AB-AC 模型辨识(2)由AD为角平分线，可 通过“截长补短法”构造全等三角形 答案(1)证明：：AD平分 ∠BAC, ∴.∠DAC=∠DAE. ·DE⊥BA, ∴.∠DEA=∠DEB=90°. .∠C=90°， ∴.∠C=∠DEA=90°. 在△ACD和△AED中， 「∠C=∠DEA, ∠DAC=∠DAE, AD=AD, .△ACD≌△AED(AAS), ∴.AC=AE. （2)解：如图， 在AB上截取 AM=AF=1.4,连接MD. D 由截长补短模型，可知△FAD≌△MAD, ∴.FD=MD,∠ADF=∠ADM. BD=DF, .∴.BD=MD 在Rt△MDE和Rt△BDE中， (MD=BD. LDE=DE, ∴.Rt△MDE≌Rt△BDE(HL), ∴.ME=BE, AB=7.4, ∴.MB=AB-AM=7.4-1.4=6, BE=EM=号MB=3 6 模型辨识由AD为角平分线，可通过 “截长补短法”构造全等三角形 答案解：(1)AB=AC+CD. 19 参考答暴 (2)AB=AC+CD. 理由如下：如图1，在AB上截取 AE=AC,连接DE. A B D 图1 .AD为∠BAC的平分线， 由截长补短模型，可知△ADE≌△ADC, ∴.∠AED=∠C,ED=CD. .∠ACB=2∠B, ∴.∠AED=2∠B, ∴.∠B=∠EDB, ∴EB=ED, ∴EB=CD, ∴.AB=AE+BE=AC+CD (3)AB+AC=CD. 理由如下：如图2，在BA的延长线上截 取AE=AC,连接ED. E E A C 图2 .·AD平分∠FAC, 由截长补短模型，可知△EAD≌△CAD, .ED=CD,∠AED=∠ACD, ∴.∠FED=∠ACB. 又∠ACB=2∠B, ∠FED=∠B+∠EDB, ∴.∠EDB=∠B, ∴.EB=ED, .∴.EA+AB=EB=ED=CD, ∴.AC+AB=CD