第二章 全等 模型12 “雨伞”模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

又M为AB的中点， .由平行线中点模型，可知 △ADM≌△BHM, .AD=HB=2,DM=HM. .:∠EMD=90°， .EM⊥DH, ∴.EH=ED 设BE=x,则EH=ED=2+x. 模型12 分层演练 模型辨识由BP平分∠ABC,AP⊥BP, 可识别出“雨伞”模型. 答案1 解析如图，延长AP交BC于点E .BP平分∠ABC,AP⊥BP, 由“雨伞”模型，可知△ABP兰△EBP ∴.AP=EP, .S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP. 又S△ABC=S△ABP+S△EBP+S△ACP+S△ECP, .SAPm=+S△m=)SaAc=号×2 1(cm2). 2 模型辨识由AD为△ABC的角平分线 CE⊥AD,可识别出“雨伞”模型 答案解：.·AD平分∠B4C,CE⊥AD, 参考答案 AE⊥BC, ∴.∠AEB=∠EAD=90° 在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2 在Rt△ADE中，AE2=DE2-AD2, .AB2-BE2=DE2-AD,即22-x2=(2+x)2-22, 解得=√3-1或x=-√3-1（舍去)， Cos∠ABC=BE=5-1 AB 2 “雨伞” 模型 根据“雨伞”模型，可知△AEF≌△ACF, ∴.AE=AC=5. AB=8, ∴.BE=AB-AE=8-5=3. 3 模型辨识由AD是∠BAC的平分线， CD⊥AD,可识别出“雨伞”模型 答案 解：如图，延长CD与AB的 延长线交于点E. AD是∠BAC的平分线，CD⊥AD, 由“雨伞”模型，可知△ADC≌△ADE, .'AC=AE,DC=DE, .BE=AE-AB=AC-AB=5, S△BCB=2S△BDc 当BE⊥BC时，S△s有最大值，此时 S△BCE=2 SA BDCT=2×30=60, 即号BC·BE=60, 15 72个模型公式速通初中几何 .BC=60×2_120 24 BE 5 模型辨识(1)由BD平分∠ABC, CE⊥BD,可识别出“雨伞”模型 答案 解：（1).∠BAC=90°， AB=AC, .∠ABC=∠ACB=45° .·BD平分∠ABC, .∠CBD=∠ABD=1∠ABC=22.5° ①.·CE⊥BD, .∴.∠BEC=90°， .∠ABD+∠BDA=∠CDE+∠ECDE 90. 又∠BDA=∠CDE, .∴.∠ECD=∠ABD=22.5°. ②补全图形，如图1. D 图1 由①知，∠ABD=∠ACF. 在△ABD和△ACF中， ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAC=∠CAF, .△ABD≌△ACF（ASA), .∴.BD=CF :BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD, 由“雨伞”模型，可知△BCE≌△BFE, .CE=FE, .∴.CF=2CE, .∴.BD=CF=2CE （2)BE=CE+2AF. 理由如下： 16 如图2，在BE上截取BH=CE,连接AH. 图2 易得∠HBA=∠ECA. 在△BHA和△CEA中， BH=CE, ∠HBA=∠ECA, AB=AC, .△BHA≌△CEA(SAS), ∴.AH=AE,∠BAH=∠CAE. .·∠BAH+∠HAC=90°， ∴.∠CAE+∠HAC=90°， 即∠HAE=90°. AF⊥BE, .AF=HF=FE, ∴.BE=BH+HF+FE=CE+2AF】 5 模型辨识(2)由BD平分∠ABC, CE⊥BD,可识别出“雨伞”模型 答案 (1)证明：BD平分∠ABC, .∴.∠ABE=∠FBE. 在△ABE和△FBE中， (BA=BF, ∠ABE=∠FBE, BE=BE, .△ABE≌△FBE(SAS), ∴.AE=FE, ∠AEB=∠FEB=3×180=90, .BD垂直平分AF (2)解：BD=2CE.理由如下： 如图1，延长CE,交BA的延长线于点G. 图1 .·BD平分∠ABC,CE⊥BD, 由“雨伞”模型，可知△BEG≌△BEC, ∴.EG=EC, ∴.CG-2CE=2GE. ·CE⊥BD, ∴.∠CED=90°. 又.∠BAC=90°， ∴.∠ABD+∠ADB=∠EDC+∠ACG .·∠ADB=∠EDC, ∴.∠ABD=∠ACG 在△BAD和△CAG中， (∠ABD=∠ACG, AB=AC, N∠BAD=∠CAG, .△BAD≌△CAG(ASA), .BD=CG=2CE （3)解：FM=2CE.理由如下： 如图2，作FM的中垂线NH,交CF于点N, 模型13 截长 分层演练 模型辨识根据AD平分∠BAC,可通 过“截长补短法”构造全等三角形 答案 解析 如图，在AC上截取AE=AB, 连接DE. 17 参考答案 垂足为H,连接MN, A D ME H B 图2 ·.FN=MN,MH=FH=号FM, ∴.∠NMH=∠NFH. .AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ABC=∠ACB=45°， LEFC-L ABC-22.5, ∴.∠MNC=2∠NFH=45°=∠ACB, ∴.NM=CM=FN, ∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°= 67.5°， ∴.∠ECM=90°-∠EMC=22.5°， ∴.∠NFH=∠MCE. 又∠FHN=∠E=90°， ∴.△FNH≌△CME(AAS), .FH=CE, .∴.FM=2FH=2CE 补短模型 由截长补短模型，可知 △ABD≌△AED, .∴.∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE,AB=AE. 又∠B=2∠ADB, ∴.∠AED=2∠ADB,∠BDE=2∠ADB. .·∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB, ∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB, ∴.∠EDC=∠DEC, ∴.CD=CE. AB=a,CD=b,72个模型公式速通初中几何 模型12“雨伞”模型 ©模型解读 模型构建 AP是∠BAC的平分线，BO⊥AP于点O B 图形拆解 延长BO交AC于点D 相关结论 ①△ABO≌△ADO;②△ABD是等腰三角形 如图，延长BO交AC于点D. .△AB0≌△ADO(ASA) .AP是∠BAC的平分线， (结论①)， BO⊥AP ∴.AB=AD, B .∠BAO=∠DAO, ∴.△ABD是等腰三角形（结 证明分析 ∠AOB=∠AOD=90°. 论②) 在△AB0和△AD0中， D C ∠BAO=∠DAO, A0=A0, ∠AOB=∠AOD, 模型应用 1(合肥一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E是BC 的中点，AD⊥BD,AC=7,AB=4,则DE的值为( A.1 B.2 c D. 3-2 34 模型12“雨伞”模型 9/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由“雨伞”模型，可知 延长BD交AC于点F 由AD平分∠BAC,且 △ABD≌△AFD, AD⊥BD,即有一条线 ∴.AB=AF=4,BD=FD, 段垂直于角平分线，可 ∴.D是BF的中点. 识别出“雨伞”模型 又E是BC的中点， DE-3C子(ac-iP)= 2 分层演练 1.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP, 3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， 垂足为P,连接PC.若△ABC的面积为 CD⊥AD,AC-AB=5.若SADC的最大值为 2cm2,则△PBC的面积为 cm2 30,求此时BC的长. 2.如图，AD为△ABC的角平分线，CE⊥ AD,垂足为F,且CE交AB于点E.若AB= 8,AC=5,求BE的长 35 72个模型公式速通初中几何 4.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是 5.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BD平 AC边上一动点，CE⊥BD交BD的延长线 分∠ABC交AC于点D 于点E (1)如图1，F为BC上一点，连接AF交 (1)如图1，当BD平分∠ABC时： BD于点E.若AB=BF,求证：BD垂 ①求∠ECD的度数； 直平分AF. ②延长CE交BA的延长线于点F,补 (2)如图2，过点C作CE⊥BD,交BD 全图形，并探究BD与EC之间的数 的延长线于点E.试判断线段CE和 量关系 BD之间的数量关系，并说明理由 (2)如图2，过点A作AF⊥BE于点F, (3)如图3，F为BC上一点，∠EFC= 猜想线段BE,CE,AF之间的数量关 1∠ABC,CE⊥EF,垂足为E,EF 系，并说明理由， 与AC交于点M.试判断线段CE与 FM之间的数量关系，并说明理由 D D E 图1 图2 图1 图2 图3 36