26.3 二次函数与一元二次方程_教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

《26.3 二次函数与一元二次方程》教学设计 人教版九年级上册 · 数学 · 新授课 · 1课时 一、教学基本信息 学科 数学 年级 九年级上册 教材版本 人教版 课　题 26.3 二次函数与一元二次方程 课　时 1课时 课　型 新授课 授课对象 九年级学生 教学环境 多媒体教室（配几何画板） 二、课标与教材分析（一）课标要求《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域的“函数”主题中，要求学生能结合具体情境体会函数与方程之间的关系，并能用函数图象解决简单的实际问题。本节课正是落实这一要求的关键节点：以函数图象为“形”，以方程根为“数”，通过二者的双向转化，发展学生的几何直观与推理能力。 （二）教材地位与作用从知识线索看，本节是二次函数图象性质与一元二次方程解法的“交汇点”：向上承接二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，向下为“用函数观点看一元二次不等式”做准备，也为高中学习函数零点与方程根的关系奠定基础。 从思想方法看，本节是初中阶段数形结合思想最典型、最集中的一次体现，也是学生从“方程视角”走向“函数视角”的重要转折。教学中应把“建立联系”本身作为核心任务，而非把结论直接告知。 （三）本节知识结构二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图象 ⇔ 抛物线与 x 轴的公共点 ⇔ 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根；其中判别式 Δ = b² - 4ac 的符号，是沟通“形”与“数”的桥梁。 三、学情分析（一）已有基础学生已掌握二次函数图象的画法与基本性质（开口方向、对称轴、顶点），已会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，会用 Δ = b² - 4ac 判断根的情况，具备一定的观察、比较与归纳能力。 （二）可能困难1. 联系难以建立：学生习惯把“解方程求根”与“画图象”看作两条互不相关的路径，不易主动把图象与 x 轴公共点的横坐标与方程的根对应起来，数形结合意识薄弱。 2. 特殊情形理解不透：对 Δ = 0 时“抛物线与 x 轴只有一个公共点”（即顶点落在 x 轴上）缺乏直观支撑，容易与“没有公共点”混淆。 3. 实际情境缺约束：解决实际问题时容易忽略自变量取值范围（如时间 t ≥ 0），对不符合实际意义的根缺乏检验意识。 4. 近似根缺乏方法：用图象估算根时取点随意，不会主动缩小范围以提高精度，把“估算”等同于“随意猜”。 （三）教学对策· 用“同一组数据、两种表征”的任务驱动学生自主发现联系，让结论从实例中自然生长出来。 · 借助几何画板动态演示 Δ 变化时抛物线与 x 轴位置关系的连续变化，让 Δ = 0 成为“两个公共点逐渐靠近、重合”的自然结果，而非孤立的记忆结论。 · 设置“回到情境检验”的固定环节，把“舍根”的判断权交给学生，使检验成为解题习惯。 · 给出“取点—读值—缩小区间—再读值”的操作程序，并配合表格记录，让近似方法可操作、可复现。 四、教学目标依据课标要求与学情，本节课确定如下教学目标： 1. 经历观察图象、求解方程、对比归纳的过程，理解抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴公共点的横坐标就是方程 ax² + bx + c = 0 的根，能用自己的语言说出二次函数与一元二次方程的联系。（抽象能力、几何直观） 2. 通过分析 Δ = b² - 4ac 的符号与抛物线和 x 轴公共点个数的对应关系，掌握“2 个公共点 ⇔ 两个不相等的实数根、1 个公共点 ⇔ 两个相等的实数根、无公共点 ⇔ 没有实数根”的结论，并能用它快速判断、灵活互推。（推理能力、运算能力） 3. 能借助函数图象求一元二次方程的近似根；会根据实际问题中的数量关系建立二次函数模型并求解，能依据实际意义检验并取舍结果。（模型观念、应用意识） 4. 在“数”与“形”互译的过程中，体会函数与方程相互转化的思想，感受数学知识之间的内在联系，增强学习数学的信心与兴趣。（情感态度） 五、教学重点与难点教学重点：理解二次函数图象与一元二次方程根的关系，掌握判别式与抛物线同 x 轴公共点个数的对应。 教学难点：理解 Δ = 0 时抛物线与 x 轴只有一个公共点的意义；用图象估算方程的近似根；实际问题中自变量取值范围的检验。 突破策略： · 动态演示与表格归纳相结合，让三种对应关系从特殊实例中自然生长出来。 · 把近似根的估算程序化，配合表格记录逐步逼近的过程，降低思维跨度。 · 设置“回到情境检验”环节，把取值范围的判断权交给学生。 六、教学准备· 教师：多媒体课件、几何画板动态演示文件（Δ 变化与抛物线位置关系）、实物投影。 · 学生：直尺、铅笔、坐标纸、计算器、学案。 七、教学过程环节一　复习导入，唤醒旧知（5分钟）教师活动：出示复习问题串，请学生口答。 1. 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的情况由什么决定？Δ = b² - 4ac 的符号分别对应怎样的根？ 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象是什么？图象上任意一点的坐标（x, y）满足什么关系？ 追问引新：我们已经知道，一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴公共点的横坐标，就是一元一次方程 kx + b = 0 的根。那么，二次函数与一元二次方程之间，是否也存在类似的联系？ 学生活动：回顾判别式与根的关系并口答；在教师引导下产生“类比—猜想”的探究动机。 【设计意图】从学生已有的“一次函数与一元一次方程”经验出发，通过类比自然引出研究问题，把新知识纳入已有认知结构，同时明确本课的探究方向——沟通“形”与“数”的联系。 环节二　动手探究，发现联系（12分钟）任务1　观察图象，寻找“数”与“形”的对应出示三个二次函数：(1) y = x² + x - 2；(2) y = x² - 8x + 16；(3) y = x² - x + 1。 学生活动（小组合作，完成学案表格）：① 分别画出（或由课件呈现）三个函数的图象；② 观察图象与 x 轴有没有公共点？有几个？公共点坐标是什么？③ 令 y = 0，解对应的方程，求出方程的根；④ 比较：公共点的横坐标与方程的根有什么关系？ 二次函数 与 x 轴的公共点 对应方程 方程的根 Δ = b² - 4ac y = x² + x - 2 (-2, 0)、(1, 0)，2 个 x² + x - 2 = 0 x1 = -2，x2 = 1 Δ = 9 > 0 y = x² - 8x + 16 (4, 0)，1 个 x² - 8x + 16 = 0 x1 = x2 = 4 Δ = 0 y = x² - x + 1 没有公共点 x² - x + 1 = 0 没有实数根 Δ = -3 < 0 学生汇报，教师板书，师生共同归纳： 结论1：若抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交于点（x0, 0），则当 x = x0 时 y = 0，即 x = x0 是方程 ax² + bx + c = 0 的一个根；反之，若 x0 是方程 ax² + bx + c = 0 的根，则点（x0, 0）在抛物线上。即：公共点的横坐标就是方程的根。 结论2（三种对应关系）： · Δ = b² - 4ac > 0 ⇔ 抛物线与 x 轴有 2 个公共点 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； · Δ = b² - 4ac = 0 ⇔ 抛物线与 x 轴有 1 个公共点 ⇔ 方程有两个相等的实数根； · Δ = b² - 4ac < 0 ⇔ 抛物线与 x 轴没有公共点 ⇔ 方程没有实数根。 任务2　动态验证，理解“Δ = 0”教师演示：用几何画板固定 a、b 的值，连续改变 c，观察抛物线上下平移时与 x 轴公共点个数的变化；再演示 Δ 由正变零、由零变负的完整过程。 追问：当 Δ = 0 时，抛物线与 x 轴“只有一个公共点”，这个点在哪里？它与抛物线的顶点有什么关系？ 学生活动：观察、讨论，得出“此时顶点恰好落在 x 轴上，两个公共点‘重合’为一个点”。 即时巩固：判断抛物线 y = x² - 2x - 1 与 x 轴的公共点个数，并说明理由。（解：Δ = (-2)² - 4 × 1 × (-1) = 8 > 0，故有 2 个公共点。） 【设计意图】以“同一问题的两种表征”驱动学生自主发现联系，避免直接告知结论；用表格把三个实例的“形”与“数”并列呈现，让规律从实例中自然生长出来；借动态演示把 Δ = 0 这一难点转化为可观察的连续过程，突破“只有一个公共点”的理解障碍。 环节三　例题精讲，应用模型（10分钟）例1（实际问题中的函数与方程）　以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）满足 h = 20t - 5t²。小球飞行的高度能否达到 20 m？若能，需要多长时间？ 分析：高度能否达到 20 m，就是问“是否存在 t，使 h = 20”，即方程 20t - 5t² = 20 是否有符合实际意义的解。 解：令 h = 20，得 20t - 5t² = 20，整理得 t² - 4t + 4 = 0，即 (t - 2)² = 0，解得 t1 = t2 = 2。因为 t = 2 符合实际意义，所以小球飞行 2 s 时，高度达到 20 m。 追问：若把 20 m 改为 20.5 m，小球能否达到？请说明理由。（解：令 20t - 5t² = 20.5，得 t² - 4t + 4.1 = 0，Δ = 16 - 16.4 = -0.4 < 0，方程无实数根，所以不能达到。也可从函数角度看：h = 20t - 5t² 的最大值为 20 m，故不能达到 20.5 m。） 课堂练习（学生独立完成，两名学生上台板书）：小球飞行高度 h = 20t - 5t²（0 ≤ t ≤ 4）。 1. 小球能否达到 15 m？若能，需要多长时间？ 2. 小球能否达到 20.5 m？为什么？ 3. 小球从飞出到落地需要多长时间？ 解答要点：(1) 令 20t - 5t² = 15，得 t² - 4t + 3 = 0，解得 t1 = 1，t2 = 3，均符合实际意义，即飞行 1 s 和 3 s 时高度为 15 m。(2) 令 20t - 5t² = 20.5，得 t² - 4t + 4.1 = 0，Δ = -0.4 < 0，无实数根，不能达到。(3) 落地时 h = 0，令 20t - 5t² = 0，解得 t1 = 0（击出瞬间），t2 = 4，即小球飞行 4 s 后落地。 教师点拨：用函数与方程解决实际问题时，求出方程的根之后，还要回到实际情境中检验——时间不能为负，高度不能超过实际可能的范围，不合理的根要舍去。 【设计意图】以小球飞行为载体，让学生完整经历“实际问题 → 函数模型 → 方程求解 → 回到情境检验”的过程，体会函数与方程是刻画同一数量关系的两种语言；通过“20 m 与 20.5 m”的对比，把判别式的意义自然融入问题解决，避免机械套用公式；强调实际意义的检验，直击学情分析中的第三个困难。 环节四　图象估算，逼近真值（7分钟）例2　利用函数图象求方程 x² - 2x - 2 = 0 的近似根（结果保留一位小数）。 思路：方程 x² - 2x - 2 = 0 的根，就是抛物线 y = x² - 2x - 2 与 x 轴公共点的横坐标。 操作步骤： 1. 画出 y = x² - 2x - 2 的图象； 2. 观察图象与 x 轴的公共点位置：一个在 -1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间； 3. 缩小范围：列表计算函数值，判断根在哪两个相邻的一位小数之间； 4. 读出近似值：x1 ≈ -0.7，x2 ≈ 2.7。 x -0.8 -0.7 -0.6 2.6 2.7 2.8 y = x² - 2x - 2 0.24 -0.11 -0.44 -0.44 -0.11 0.24 由表可知，当 x 从 -0.8 变到 -0.7 时，y 由正变负，说明根在 -0.8 与 -0.7 之间，且更接近 -0.7，故 x1 ≈ -0.7；同理可得 x2 ≈ 2.7。 说明：由于根是“看”出来的，用图象法求得的根一般是近似值；要提高精度，可以继续缩小范围——这种“逐步逼近”的方法，就是二分法的基本思想。 课堂练习：利用函数图象求方程 x² - 3x + 1 = 0 的近似根（结果保留一位小数）。（提示：画出 y = x² - 3x + 1 的图象，与 x 轴公共点的横坐标约为 0.4 和 2.6。） 【设计意图】把“估算”从“随意看图”提升为“有程序的操作”，用表格把逐步逼近的过程外显化，既训练估算能力，又为高中学习二分法埋下伏笔；同时明确图象法的近似性，培养严谨态度。 环节五　总结提升，建构网络（4分钟）以问题串引导学生自主梳理： 1. 本节课我们研究了什么问题？得到了什么结论？ 2. 二次函数与一元二次方程是通过什么“桥梁”联系起来的？ 3. 判断方程根的情况，你有哪些方法？各有什么优势？ 4. 用函数观点解决实际问题，要注意什么？ 形成结构：形（抛物线）—— 公共点横坐标 —— 方程的根（数）；判别式 Δ —— 公共点个数 —— 根的个数。 方法总结：数形结合、函数与方程互相转化。 【设计意图】通过结构化的问题串，引导学生把零散的知识点串成线、连成网，从“学会”走向“会学”。 环节六　布置作业，延伸课堂（2分钟）布置分层作业，具体要求见第九部分。 八、板书设计主板书（左侧约三分之二） · 课题：26.3 二次函数与一元二次方程 · 1. 联系：抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴公共点（x0, 0）⇔ x0 是方程 ax² + bx + c = 0 的根 · 2. 三种对应：Δ > 0 —— 2 个公共点 —— 两个不相等的实数根；Δ = 0 —— 1 个公共点 —— 两个相等的实数根；Δ < 0 —— 无公共点 —— 没有实数根 副板书（右侧） · 例1 的解答过程（h = 20t - 5t²） · 例2 的近似根表格 思想方法栏（底部）：数形结合 · 函数与方程互相转化 · 回到情境检验。 九、作业设计（分层）A层　基础巩固（必做）—— 面向全体，落实基本结论1. 不画图象，判断下列抛物线与 x 轴的公共点个数：(1) y = x² - 4x + 4；(2) y = x² - 2x + 3；(3) y = 2x² - 3x - 2。 2. 已知抛物线 y = x² + 2x + m 与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值。 3. 教材习题 26.3 复习巩固第 1、2 题。 B层　能力提升（选做）—— 面向多数，训练转化与表达1. 教材习题 26.3 综合运用第 4 题。 2. 利用函数图象求方程 x² - 4x + 1 = 0 的近似根（结果保留一位小数）。 C层　拓展探究（学有余力）—— 面向学优，发展思维1. 教材习题 26.3 拓广探索第 5 题。 2. 已知二次函数 y = x² - 2x - 3。(1) 求它的图象与 x 轴公共点的坐标；(2) 结合图象，直接写出不等式 x² - 2x - 3 > 0 的解集；(3) 思考：不等式的解集与方程的根、函数的图象之间有什么关系？ 【设计意图】分层作业兼顾不同水平学生的最近发展区：A 层保底、B 层提能、C 层引思。其中 C 层第 2 题以“用函数观点看不等式”为下节课埋伏笔，实现课内外的自然衔接。 十、教学评价设计 评价维度 评价内容 评价方式 知识理解 能说出抛物线与 x 轴公共点横坐标与方程根的对应关系；能由 Δ 的符号判断公共点个数。 课堂问答；即时练习（判断 y = x² - 2x - 1 的公共点个数） 技能运用 能正确计算 Δ 并判断根的情况；能建立函数模型解决实际问题并检验结果。 例1 与课堂练习的板演、巡视反馈 思想方法 能主动用图象解释方程根的几何意义；能在估算中逐步缩小范围、提高精度。 例2 的表格记录与小组交流表现 学习情感 主动参与观察、讨论与汇报，敢于表达不同想法。 课堂观察记录 十一、教学反思（一）课前预设1. 学生能否自主建立图象公共点与方程根的对应，是本节课成败的关键。若小组归纳出现困难，应及时以“y 等于几时，点在 x 轴上”这一问题搭桥。 2. 实际问题中自变量取值范围容易被忽略，例题教学时要把“检验”作为固定环节，让检验成为习惯。 3. 近似根中的逐步逼近思想对部分学生仍有难度，可借助动态演示直观呈现“范围不断缩小”的过程，降低理解门槛。 （二）课后记录（课后填写）1. 目标达成情况： 2. 学生典型表现与课堂生成资源： 3. 存在的问题与改进设想： 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $