26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时） 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的关联，核心是利用二次函数图象求方程根的近似值。通过知识回顾衔接上节课二次函数与x轴公共点和方程根的关系，新课引入以具体方程求近似值问题搭建学习支架。 此资料亮点在于“夹逼法”求近似值的实操引导，结合数形结合思想，通过列表计算函数值、取平均数缩小根的范围，发展学生几何直观（数学眼光）、运算能力（数学思维）与模型意识（数学语言）。助力学生提升推理与运算能力，为教师提供清晰教学路径，夯实函数与方程综合应用基础。

26.3　二次函数与一元二次方程（第2课时） 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 26.3　二次函数与一元二次方程（第2课时） 教学目标 1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值． 2．理解二次函数与一元二次方程知识之间的整体性和关联性，体会数形结合思想，发展推理能力、运算能力． 教学内容 教学重点 利用二次函数图象和函数值的变化，求一元二次方程根的近似值． 教学难点 理解通过不断取平均数求根的近似值的方法． 教学过程 教学环节 主要师生活动 知识回顾 引导语：在上一节课，我们学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题． 问题1：函数y＝x2＋2x－3与x轴是否有公共点？如果有公共点，写出公共点的坐标． 师生活动：经过上节课的学习，学生可以从一元二次方程的根的情况确定二次函数的图象与x轴的公共点的情况.进一步回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点的情况，分别对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况． 设计意图：引导学生回顾将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题． 新课引入 引导语：在问题1中，我们将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题，类似于一次函数与一元一次方程的联系，也可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题． 问题2：求一元二次方程x2－2x－2＝0的根． 师生活动：学生回顾一元二次方程的解法，用配方法或公式法求出方程的根． 追问：如何求出方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）？ 师生活动：有的学生知道，可求出两个根的近似值．教师进一步追问，除了用计算器，如何求出？师生共同回顾用“夹逼法”求的近似值的过程． 设计意图：回顾已学过的知识，启发学生用学过的知识解答，为利用函数图象求方程的根的近似值作铺垫． 例题精讲 引导语：根据二次函数y＝x2－2x－2与一元二次方程x2－2x－2＝0的联系，是否也可以从函数的角度求得方程根的近似值？ 例　利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的根的近似值（结果保留小数点后一位）． 师生活动：用描点法画出函数y＝x2－2x－2的图象．学生先配方确定函数的顶点，再根据图象的对称性列表，然后描点画图，得到y＝x2－2x－2的图象（图1）．教师引导学生理解函数y＝x2－2x－2与方程x2－2x－2＝0的关系：求方程的根即为确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标． 表1 x … －1 0 1 2 3 … y … 1 －2 －3 －2 1 … 图1 图2 教师进一步引导学生观察函数图象，如图1，从“形”的角度——点(2，－2)在x轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于0，点(3，1)在x轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于0，两个函数值异号．因为抛物线y＝x2－2x－2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2－2x－2在2＜x＜3这一段经过x轴．也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2－2x－2＝0在2，3之间有根． 从“数”的角度，由表1看到当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝1，两个函数值异号，所以自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2－2x－2＝0在2，3之间有根． 表1 x … 2 x 3 … y … －2 0 1 … 进而，如图2，可以判断两个根的范围分别是－1＜x1＜0，2＜x2＜3． 追问1：可以进一步缩小根所在的范围吗？要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1． 师生活动：学生观察发现，从图象上难以进一步确定根的范围，可以从“数”的角度，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.利用计算器求相应的函数值，重复步骤，求出根的近似值． 具体做法：取2和3的平均数2.5，当x＝2.5时，y＝x2－2x－2＝2.52－2×2.5－2＝－0.75，与x＝3时的函数值异号（表2），所以这个根的范围为2.5＜x＜3，如图3． 表2 x … 2 2.5 x 3 … y … －2 －0.75 0 1 … 图3 取2.5和3的平均数2.75，当x＝2.75时，用计算器可以算得y＝x2－2x－2＝2.752－2×2.75－2＝0.062 5，与x＝2.5时的函数值异号（表3），所以这个根的范围为为2.5＜x＜2.75． 表3 x … 2.5 x 2.75 3 … y … －0.75 0 0.062 5 1 … 取2.5和2.75的平均数2.625，当x＝2.625时，用计算器算得y＝－0.359 375，与x＝2.75时的函数值异号（表4），所以这个根的范围为2.625＜x＜2.75． 表4 x … 2.625 x 2.75 … y … －0.359 375 0 0.062 5 … 取2.625与2.75的平均数2.687 5，当x＝2.687 5时，用计算器算得y＝－0.152 343 75，与x＝2.75时的函数值异号（表5），所以这个根的范围为2.687 5＜x＜2.75． 表5 x … 2.6875 x 2.75 … y … －0.152 343 75 0 0.062 5 … 重复上述步骤，我们可以逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.687 5，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值． 当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.687 5－2.75|＝0.062 6＜0.1，所以可以将2.687 5作为根的近似值． 利用数轴可以进一步看清如何利用取平均值判断根的近似值： 图4 图5 图6 图7 追问2：可以用这种方法得出方程x2－2x－2＝0的另一个根的近似值吗？要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1． 师生活动：学生自己完成，教师适当点拨，可以求得这个根的近似值为－0.687 5． 追问3：通过例题的学习，你可以归纳出利用函数图象求方程根的近似值的一般步骤吗？ 师生活动：学生按自己的理解归纳，教师及时给予点评，引导学生归纳一般步骤：（1）用描点法画出函数图象；（2）由函数图象或列表中函数值符号判断方程的根的范围——当两个函数值y异号时，方程的根在对应两个自变量x之间；（3）取函数值异号的两个自变量的平均数，计算这个平均数的函数值；（4）求出当x取平均数时的函数值；（5）通过异号的函数值写出方程的根在对应自变量之间，从而得到根的范围．这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程． 设计意图：让学生经历通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.体会用二次函数的图象解决一元二次方程根的问题． 课堂小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 如何用二次函数的图象求出对应的一元二次方程根的近似值？ 设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，并建立知识之间的联系．结合图象理解利用函数值异号可以缩小方程的根所在的范围． 课后任务 教科书习题26.3第2题． 学科网（北京）股份有限公司 $