26.4 实际问题与二次函数（第3课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用二次函数解决抛物线型实际问题，通过生活中石拱桥、投篮轨迹等抛物线实例导入，衔接已学的二次函数图象与性质，搭建从实际情境到数学模型的学习支架，引导学生建立坐标系解决问题。 特色在于通过问题驱动与对比探究，呈现拱桥问题三种建系方案，引导学生自主分析最优策略，发展创新意识与推理意识。例题精讲强化模型观念，规范“建系-设解析式-求解”步骤，助力学生掌握数学建模方法，为教师提供可操作的教学路径，提升课堂效率。

26.4　实际问题与二次函数（第3课时） 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 26.4　实际问题与二次函数（第3课时） 教学目标 1．经历分析和表示抛物线型实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数解决问题的过程，体会数形结合思想，发展模型观念和应用意识． 2．能根据实际问题的特点建立适当的平面直角坐标系，求出二次函数解析式，并运用二次函数的知识解决抛物线型的实际问题，知道解决问题方法的多样性，培养运算能力． 教学内容 教学重点 建立适当的平面直角坐标系，利用二次函数解决实际问题． 教学难点 根据实际问题的特点建立适当的平面直角坐标系，并依此求二次函数的解析式． 教学过程 教学环节 主要师生活动 新课导入 引导语：我们已经学习了二次函数的图象与性质，并解决了一些最值问题．生活中还有很多形状是抛物线的物体，比如石拱桥、投篮轨迹、喷泉水流．今天我们就来探究如何用二次函数解决这类抛物线型的实际问题． 问题1：同学们能举出生活中其他形状是抛物线形的物体的例子吗？ 师生活动：学生独立思考后举手发言，分享自己想到的生活中的抛物线实例．教师对学生的回答进行肯定和补充，引导学生观察这些例子的共同特征——都可以近似看作抛物线的一部分． 设计意图：从学生熟悉的生活实例入手，激活学生已有的生活经验，让学生直观感受抛物线型问题在生活中的广泛存在，激发学生的学习兴趣和探究欲望，自然引出本节课的研究主题． 新知探究 探究：一座抛物线形拱桥如图1所示，当拱顶离水面4 m时，水面宽10 m．突降暴雨后水面上升1 m，此时水面宽为多少？ 图1 问题2：拱桥的形状是抛物线，抛物线是什么函数的图象？要解决这个问题，我们首先需要做什么？ 师生活动：教师引导学生逆向思考解决问题的步骤．学生通过思考得出：要解决水面宽度问题，需要先知道抛物线对应的二次函数解析式；而要求二次函数解析式，首先需要建立平面直角坐标系． 设计意图：引导学生从问题出发，逐步拆解问题，培养学生的逻辑思维能力和逆向推理能力，让学生明确解决此类问题的第一步是建立数学模型． 追问1：大家尝试一下，看看能不能建立一个合适的平面直角坐标系，求出对应的二次函数的解析式？ 师生活动：教师让学生独立尝试，在草稿纸上画出自己认为合适的平面直角坐标系，标注已知关键点的坐标，并设出对应的二次函数解析式．教师巡视全班，收集学生中出现的不同建系方法，将收集到的建立平面直角坐标系的方法展示给全班，选取三种最具代表性的方案进行展示和讲解： （1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立坐标系； （2）以降雨前水面与拱桥的左交点为原点，水面所在直线为x轴建立坐标系； （3）以降雨前水面所在直线为x轴，水面的中点为原点建立坐标系． 追问2：这三种建立平面直角坐标系的方式，对应的二次函数的解析式分别要设成什么形式？ 师生活动：学生回答，第（1）种方式抛物线的顶点为原点，解析式可设为y＝ax2(a≠0)，经过的已知点坐标为(5，－4)；第（2）种方式经过原点，解析式可设为y＝ax2＋bx(a≠0)，经过的已知点坐标为(10，0)和(5，4)；第（3）种方式抛物线的对称轴为y轴，解析式可设为y＝ax2＋4(a≠0)，经过的已知点坐标为(5，0)．教师带领学生计算第（1）（2）种方式的解析式及降雨后的水面宽度： 第（1）种建立平面直角坐标系的方式： 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系． 设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2(a≠0)． 由抛物线经过(5，－4)，可得－4＝a×52． 解得． 因此，这条抛物线对应的二次函数为． 当水面上升1 m时，y＝－3， ， ， 解得． 因此，此时水面的宽度为（m）． 第（2）种建立平面直角坐标系的方式： 解：以降雨前水面与拱桥的左交点为原点，水面所在直线为x轴建立坐标系． 设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2＋bx(a≠0)． 由抛物线经过(10，0)和(5，4)，可得． 解得，． 因此，这条抛物线对应的二次函数为． 当水面上升1 m时，y＝1， ， 解得． 因此，此时水面的宽度为（m）． 追问3：请大家仔细对比两种建立平面直角坐标系的方法的计算结果，你发现了什么共同点？ 师生活动：学生发现两种方法的计算结果是相同的，两个二次函数的解析式中a的值也是相同的． 追问4：为什么我们建立了三种完全不同的平面直角坐标系，其中两种得到的二次项系数a的值却相等，最终计算出的水面宽度也相等？第③种建系方法算出的a的值及水面宽度会不会也和前面的相等？ 师生活动：学生讨论后回答，由于拱桥的抛物线开口大小和方向都是确定的，所以a的值一定相等，题目中降雨前的水面宽度是一个定值，结果也一定相等． 追问5：既然三种建系方法得到的最终结果完全相同，那我们在解决此类问题时，应该优先选择哪种建系方法？为什么？ 师生活动：教师引导学生结合三种方案的计算过程，从解析式形式、计算量大小等角度进行分析，自主得出最优的建立平面直角坐标系的策略．由于第（1）种方式抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，对应的二次函数解析式可设为y＝ax2(a≠0)，形式最简单，待定的系数只有a，计算就会更小，所以建立平面直角坐标系的时候尽量选择“以抛物线的顶点作为原点，抛物线的对称轴为y轴”的方式． 设计意图：充分发挥学生的主体性，让学生在自主尝试中体会坐标系建立的多样性，培养学生的独立思考能力和创新意识；通过展示三种典型的建系方法，让学生全面感受不同建系方式下解题过程的差异，体会建立适当坐标系对简化计算的重要性，突破本节课的教学难点；通过层层递进的追问，引导学生从表面现象深入到数学本质，培养学生的观察能力和逻辑推理能力；深化对二次项系数a几何意义的理解，并通过追问引导学生主动总结解题方法，让学生在对比分析中体会优化思想，形成清晰的解题思路，提升学生解决实际问题的能力． 例题精讲 例　如图2，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为20 m，顶点距水面8 m，小孔顶点距水面5 m．求当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度（结果保留小数点后一位）． 图2 师生活动：教师引导学生齐读题目，用笔圈画出关键信息，明确已知条件和所求问题．引导学生先观察三孔桥的几何特征，重点关注大孔抛物线的对称性，找出其顶点和对称轴的位置．引导学生尝试在草稿纸上画出不同的建系方案，对比不同方案下抛物线解析式的形式差异，通过分析计算量的大小，自主得出以大孔顶点为原点、对称轴为y轴是最优建系方法的结论． 设计意图：培养学生圈画关键信息的审题习惯，引导学生通过自主分析和对比，体会建立适当坐标系的重要性，强化“优先以顶点为原点建系”的最优策略，突破本节课的教学难点． 师生活动：学生按照最优方案建立平面直角坐标系，利用抛物线对称性标注已知点坐标．教师巡视全班，重点引导学生注意坐标符号与实际方向的对应关系，纠正坐标转化的典型错误． 设计意图：针对性突破本节课的教学难点——将实际数量关系准确转化为坐标，通过引导学生利用对称性简化坐标标注过程，培养学生严谨的数学思维． 师生活动：学生根据顶点位置设出最简二次函数解析式，代入已知点坐标求解系数a，得到大孔抛物线的完整解析式．教师巡视过程中，对计算有困难的学生进行分步提示，强调解题过程的规范性． 设计意图：巩固待定系数法求二次函数解析式的基本技能，让学生完整经历“建立坐标系→设解析式→代入求解”的核心步骤，进一步体会最优建系方法带来的计算便利． 师生活动：教师引导学生结合图形分析“水位上涨刚好淹没小孔”的实际意义，将其转化为坐标系中的纵坐标值，强调向下为y轴负方向．学生独立代入解析式求解x值，并利用对称性计算大孔水面宽度． 设计意图：聚焦本题的关键易错点，通过图形结合的方式引导学生准确理解实际条件的数学意义，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力． 师生活动：学生完成计算后，教师投影展示标准解题过程，带领全班核对答案．针对巡视中发现的计算错误、结果保留不当等共性问题进行集中讲解，带领学生回顾本题解题过程，引导学生从“分析图形特征”“建立坐标系”“转化坐标”“求解解析式”“解决实际问题”五个环节进行梳理，总结并板书无坐标系抛物线型实际问题的通用解题步骤． 解：以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系． 设大孔抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)． 因为正常水位时，大孔水面宽度为20 m，顶点距水面8 m， 所以抛物线经过点(10，－8)． 把(10，－8)代入y＝ax2，得－8＝a×102， 解得． 所以大孔抛物线的解析式为． 当水位上涨刚好淹没小孔时，由于小孔抛物线的顶点比大孔抛物线的顶点高度低3 m，水面所在直线的解析式为y＝－3． 把y＝－3代入，得， 解得． 所以此时大孔的水面宽度为6.1－(－6.1)＝12.2(m)． 答：当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度约为12.2 m． 设计意图：规范学生的解题过程，及时反馈学习效果，提炼升华解题方法，帮助学生形成结构化的知识体系，为后续解决同类问题提供清晰的思路指引，提升学生的归纳概括能力． 课堂小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）运用二次函数解决抛物线型实际问题的一般步骤是什么？ （2）建立平面直角坐标系时，需要注意什么？怎样建立坐标系更简便？ （3）本节课我们用到了哪些数学思想方法？ 设计意图：通过问题引导学生进行课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识脉络，总结解题方法和数学思想，提升学生的归纳概括能力和反思能力． 课后任务 1．教科书练习第1题． 2．某农户有一个蔬菜大棚，大棚的截面示意图如图3所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是对称轴与地面垂直的抛物线，其中AB是地面所在的直线，点A是抛物线与地面所在直线的交点，BC是保温墙，点C是保温墙与顶棚的交点，保温墙与地面所在直线垂直．已知塑料顶棚最高点O到点A的水平距离是7 m，到地面AB的距离是3.5 m． （1）建立适当的平面直角坐标系，并求出塑料顶棚抛物线对应的二次函数解析式； （2）在（1）的条件下，该农户希望在保温墙BC处安装支撑立柱进行加固，该立柱适用高度h的范围为2.5 m≤h≤2.9 m，经测量保温墙BC到点A的距离为9.8 m，请问该立柱能否用来加固保温墙BC？ 图3 学科网（北京）股份有限公司 $