26.4 实际问题与二次函数（第3课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课程基本信息

学科

数学

年级

九年级

学期

秋季

课题

26.4　实际问题与二次函数（第3课时）

教学目标

1．经历分析和表示抛物线型实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数解决问题的过程，体会数形结合思想，发展模型观念和应用意识．

2．能根据实际问题的特点建立适当的平面直角坐标系，求出二次函数解析式，并运用二次函数的知识解决抛物线型的实际问题，知道解决问题方法的多样性，培养运算能力．

教学内容

教学重点

建立适当的平面直角坐标系，利用二次函数解决实际问题．

教学难点

根据实际问题的特点建立适当的平面直角坐标系，并依此求二次函数的解析式．

教学过程

教学环节

主要师生活动

新课导入

引导语：我们已经学习了二次函数的图象与性质，并解决了一些最值问题．生活中还有很多形状是抛物线的物体，比如石拱桥、投篮轨迹、喷泉水流．今天我们就来探究如何用二次函数解决这类抛物线型的实际问题．

问题1：同学们能举出生活中其他形状是抛物线形的物体的例子吗？

师生活动：学生独立思考后举手发言，分享自己想到的生活中的抛物线实例．教师对学生的回答进行肯定和补充，引导学生观察这些例子的共同特征——都可以近似看作抛物线的一部分．

设计意图：从学生熟悉的生活实例入手，激活学生已有的生活经验，让学生直观感受抛物线型问题在生活中的广泛存在，激发学生的学习兴趣和探究欲望，自然引出本节课的研究主题．

新知探究

探究：一座抛物线形拱桥如图1所示，当拱顶离水面4 m时，水面宽10 m．突降暴雨后水面上升1 m，此时水面宽为多少？

图1

问题2：拱桥的形状是抛物线，抛物线是什么函数的图象？要解决这个问题，我们首先需要做什么？

师生活动：教师引导学生逆向思考解决问题的步骤．学生通过思考得出：要解决水面宽度问题，需要先知道抛物线对应的二次函数解析式；而要求二次函数解析式，首先需要建立平面直角坐标系．

设计意图：引导学生从问题出发，逐步拆解问题，培养学生的逻辑思维能力和逆向推理能力，让学生明确解决此类问题的第一步是建立数学模型．

追问1：大家尝试一下，看看能不能建立一个合适的平面直角坐标系，求出对应的二次函数的解析式？

师生活动：教师让学生独立尝试，在草稿纸上画出自己认为合适的平面直角坐标系，标注已知关键点的坐标，并设出对应的二次函数解析式．教师巡视全班，收集学生中出现的不同建系方法，将收集到的建立平面直角坐标系的方法展示给全班，选取三种最具代表性的方案进行展示和讲解：

（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立坐标系；

（2）以降雨前水面与拱桥的左交点为原点，水面所在直线为x轴建立坐标系；

（3）以降雨前水面所在直线为x轴，水面的中点为原点建立坐标系．

追问2：这三种建立平面直角坐标系的方式，对应的二次函数的解析式分别要设成什么形式？

师生活动：学生回答，第（1）种方式抛物线的顶点为原点，解析式可设为y＝ax2(a≠0)，经过的已知点坐标为(5，－4)；第（2）种方式经过原点，解析式可设为y＝ax2＋bx(a≠0)，经过的已知点坐标为(10，0)和(5，4)；第（3）种方式抛物线的对称轴为y轴，解析式可设为y＝ax2＋4(a≠0)，经过的已知点坐标为(5，0)．教师带领学生计算第（1）（2）种方式的解析式及降雨

后的水面宽度：

第（1）种建立平面直角坐标系的方式：

解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．

设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2(a≠0)．

由抛物线经过(5，－4)，可得－4＝a×52．

解得．

因此，这条抛物线对应的二次函数为．

当水面上升1 m时，y＝－3，

，

，

解得．

因此，此时水面的宽度为（m）．

第（2）种建立平面直角坐标系的方式：

解：以降雨前水面与拱桥的左交点为原点，水面所在直线为x轴建立坐标系．

设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2＋bx(a≠0)．

由抛物线经过(10，0)和(5，4)，可得．

解得，．

因此，这条抛物线对应的二次函数为．

当水面上升1 m时，y＝1，

，

解得．

因此，此时水面的宽度为（m）．