湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期9月份月考数学自编卷

**基本信息** 高三数学月考卷以高考范围为依托，融合算盘文化、智能巡检等情境，通过函数、几何、概率等知识考查数学眼光、思维与语言，梯度分明且创新突出。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|不等式、三角函数、概率（算盘）、立体几何|第4题以算盘文化考查古典概型，体现文化传承；多选第10题结合导数性质考查逻辑推理| |填空题|3/15|函数零点、立体几何线面角、椭圆弦长|第14题利用椭圆定义求弦长，强化数学语言表达| |解答题|5/77|立体几何证明、数列、概率统计（机器人）、仿射坐标系、函数对称性|17题以智能巡检机器人考查条件概率与分布列，贴近科技前沿；18题仿射坐标系创新考查向量运算，拓展数学思维|

湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期9月份月考自编卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A C D A B AD ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】利用，结合基本不等式对进行放缩，得到关于的不等式，将目标式转化为只关于的单变量函数，对单变量函数求最值，可利用基本不等式求解，同时验证等号成立条件. 【详解】根据基本不等式，结合已知得， 整理得，当且仅当时等号成立. 把的上界代入目标式，可得， 对正数，由基本不等式，当且仅当即时等号成立， 代入得，当时，由和， 解得，均为正数，满足所有约束条件，等号成立，因此原式最小值为 . 2．A 【详解】，其图象如图： 由图可知，在上单调递减，在上单调递增. 时，，则，； ，. 由，得； ，得. 3．B 【分析】由余弦定理及三角形面积公式得到与的关系，再通过辅助角公式及三角形内角的角度范围即可得到答案. 【详解】由题意， 即①，②， 联立①②得， 整理得，即， 又，， ，，故选B. 4．A 【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中大于20的数有：26，35，53，62，71，80，故所求事件的概率为. 5．C 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足           6．D 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 7．A 【分析】先根据题意得到(*)，记满足(*)式的不同实数的个数为，再结合二次函数的性质即可逐个求得，，，，，...，再通过观察得到数列的递推公式，再构造等比数列，从而得到它的通项公式，进而即可求解 【详解】依题意可得，即(*)， 记满足(*)式的不同实数的个数为， 将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数， 当时，有一个交点，即有一个根； 当时，有2个交点，即有两个不同的根和，且， 当时，有2个交点，即有两个不同的根和， 由，则或，即； 则或或，即； 同理可得，，，... 通过观察可得，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为，即，， 所以满足(*)式的不同实数的个数为， 故满足条件的不同实数的个数为． 【点睛】记满足(*)式的不同实数个数为，结合二次函数的性质求得，，，，，...，再观察得到递推公式，再构造等比数列是解答本题的关键． 8．B 【分析】分别计算，再计算，判断A；计算，判断B；计算，判断C；计算，判断D. 【详解】； ； ； ； 因为，所以，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； 因为，所以，所以C错误； 因为， ，所以，所以D错误. 9．AD 【详解】由古典概型得，，故A正确； ，故B错误； 事件为“两次取出的球均是绿色”，则， 故，，故C错误，D正确. 10．ACD 【分析】根据题意，结合抽象函数的性质，得到图像关于中心对称，的图像关于对称，进而得到的周期，然后逐个选项判断即可. 【详解】因为， 所以，所以， 即，即， 所以图像关于中心对称， 又的图像关于对称， 所以的图像关于对称， 所以的周期为. 对于A，若为奇函数，则图像关于对称， 所以，即， 令，则，所以， 又周期为，所以，矛盾，A错误； 对于B，因为图像关于中心对称， 所以的图象关于原点对称，正确； 对于C，因为， 所以，C错误； 对于D，因为在上单调递减，图像关于中心对称， 所以在上单调递减， 又的图像关于对称， 所以在上单调递增，又周期为， 所以在处取得极大值， 又， 所以的极大值为，D错误. 11．ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令()，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据将用表示，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到，代入所求式，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 12． 【分析】利用零点的定义，对进行分类讨论，利用零点的性质，判断函数在定义域内的零点情况. 【详解】当时，，定义域为. 令，得.满足题意. 当时，. 所以必有零点. 因为函数恰有1个零点，则不能再出现其他异于的零点. 当时，由得，即的定义域为. 则，. 由得，即 两边平方化简得，又，解得或，且. 所以有两零点，不满足题意. 当时，由得或，即的定义域为. 由得. 当时，，则即. 化简得. 当时，解得，则在没有零点； 当时，解得或. 当时，，则有异于的零点，不满足题意. 当时，，则，函数在区间没有零点. 当时，，由得. 两边平方化简得. 当时，解得，所以在区间没有零点； 当时，解得或. 当时，，即. 所以有异于的零点，不满足题意. 综上所述，可得a的取值范围为. 13．/ 【分析】作出辅助线，结合线面垂直，找到异面直线夹角和线面角，结合边长得到答案. 【详解】连接，设与相交于点， 因为，所以即为直线与直线所成角，故， 因该几何体为正四棱柱，则，,则，故为等边三角形， 所以，连接，易得⊥， 因平面，平面，则⊥， 又，平面，所以⊥平面， 所以即为直线与平面所成的角， 因为，，所以， 故，即直线与平面所成角的大小为    14． 【分析】先根据直线经过左焦点，求出，再根据椭圆定义结合的周长为8，求出，进而求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，根据弦长公式即可求出弦长. 【详解】设左焦点为，又直线经过左焦点，则， 因为的周长为8，由椭圆定义可得，所以，又， 所以，因此椭圆标准方程为，设， 联立方程，化简得，则， 根据弦长公式可得. 15．(1)证明： 设，，如图所示，以为原点，为轴， 为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则. . ，所以. 因为平面，底面，所以. 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】设，建立空间直角坐标系，对于（1），利用垂直向量数量积为零证明，结合直四棱柱性质得，再结合面面垂直判定定理证明； 对于（2），由平面，得与平面内两条相交直线、的方向向量点积为0，求解出的值；再分别求平面和平面的法向量，利用两平面法向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题干条件可得， 因为平面，平面，则， ， 故，，， 设平面的一个法向量，则 ， 令，则，得. ， 设平面的一个法向量，则 ， 令，则，得， 故. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 16．（1） （2）① ②可知， 则， 由，所以. 【分析】（1）根据数列前项和的性质，通过作差法求出数列递推公式，判断数列的性质，进而求出通项公式； （2）①根据等差数列的性质，以及等比中项的概念，列出方程，求出数列公差，写出通项公式；   ②根据裂项求和法，求出数列的前项和，进而判断的范围即可. 【详解】（1）由题意可知，可得， 得，即，即， 可得数列从第二项开始，后面每一项都是前面一项的2倍， 由题意可知，所以. （2） ①由题意可得，即， 代入得，化简得， 由，解得，所以. ②略. 17．(1) (2) (3)的分布列为 2 3 4 5 ． 【分析】（1）根据全概率公式，列式求出的值即可；（2）根据条件概率公式直接求解即可；（3）先写出变量可能的取值，再求出各自变量对应的概率，最后写出概率分布列，利用数学期望的公式计算即可. 【详解】（1）设甲厂在仓库中的供货占比为，则乙厂在仓库中的供货占比为， 设从仓库中随机抽取一台，该产品是甲厂产品为事件；该产品是乙厂产品为事件；该产品是次品为事件． 则，所以； （2）由题意得，所以若已知抽到的产品是次品，则它产自甲厂的概率为； （3）由题意知的可能取值是2，3，4，5， ，， ，， 故的分布列为 2 3 4 5 所以． 18．(1) (2) (3) . 【分析】（1）将普通直角坐标系下的模长公式推广到夹角为的情形，即，代入已知条件计算即可； （2）将、、用表示出来，再代入夹角余弦公式，转化为关于的方程求解； （3）设出的坐标，利用的模长公式建立的等量关系，利用中点坐标公式和求出点的坐标，然后计算的表达式，将其转化为关于的二次函数，根据约束条件求出的取值范围，从而得到目标数量积的值域. 【详解】（1）由题设 ，所以； （2）由 ， ， ， 由此， 由题意，即， 所以，解得； （3）设，，其中， 由，得， 由①， 由，得， 因为分别为中点，则，， 所以 ， 由①得，代入上式 由①，关于的一元二次方程必须有正实数解， 所以，解得，则， 所以的取值范围为. 19．(1) (2)（ⅰ）证明：由，得，则的定义域为．     ， ， 所以，， 所以的图象是中心对称图形且对称中心的坐标为． （ⅱ） 【分析】（1）根据对称中心的定义列式求解即可； （2）（ⅰ）根据对称中心的定义列式求解即可证明； （ⅱ）根据复合函数的单调性可得在上单调递减，根据对称中心的定义可求出函数的解析式，作出函数的图象，结合图象分析，列出式子求解即可. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的图象的对称中心为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）解：． 由在上单调递减，且在定义域内单调递增， 所以在上单调递减． 所以当时，． 由的图象关于点成中心对称图形，则． 当时，则， ， 所以 . ，，有， 则，． 当时，， 得化简得：； 当时，， 得化简得：． 综上所述，， 则，即化简得：． 所以实数m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期9月份月考自编卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：高考范围。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．设，如果，且，则有（ ） A． B． C． D． 3．已知在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则角的值为（    ） A． B． C． D．或 4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（ ） A． B． C． D． 5．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（    ） A． B． C． D． 8．某工厂某次送检的产品中有3件一等品和2件二等品，质检员每次从这批产品中随机抽取一件进行检测，若抽到一等品则放回，若抽到二等品则不放回（留作下一步检验）.记为进行了次检测后，二等品恰好全部被抽出的概率，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9．一个盒子中有2个红球，3个绿球，每个球大小、质地均相同，采用不放回的方式从中依次随机取出2个球．记事件为“第1次取出的球是红色”，事件为“第2次取出的球是红色”，则（    ） A． B． C． D． 10．设与其导函数的定义域均为，，若，的图像关于对称，在上单调递减，且，则下列选项错误的是（   ） A．为奇函数 B．的图象关于原点对称 C． D．的极小值为 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．函数恰有1个零点，则的取值范围为______． 13．如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为____________．    14．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图所示，已知直四棱柱中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求二面角的余弦值． 16．（1）已知数列的前项和为，且满足，，求数列的通项公式． （2）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． ①求数列的通项公式； ②设，记的前项和为，求证：． 17．某仓库中同一型号的智能巡检机器人由甲、乙两厂供货．已知甲厂产品的次品率为0.05，乙厂产品的次品率为0.10．从仓库中随机抽取一台，发现其为次品的概率为0.07． (1)设甲厂在仓库中的供货占比为，求的值； (2)若已知抽到的产品是次品，求它产自甲厂的概率； (3)基于上述供货占比，质检员对这批机器人进行有放回的随机抽检，每次记录其生产厂．一旦累计抽到2台甲厂产品，或抽取次数达到5次，立即停止，记停止时已抽取的总次数为，求的分布列和数学期望． 18．设、是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与，正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的取值范围． 19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点（）成中心对称图形的充要条件是． 结合以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数的图象的对称中心； (2)若函数． （ⅰ）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心； （ⅱ）已知函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，．若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $