专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，上海专用）高三数学上学期

专题03 函数的概念与性质 5大高频考点概览 考点01 函数的定义域与值域 考点02 函数的奇偶性与单调性 考点03 函数的图象与变换 考点04 指数函数与对数函数 考点05 函数的零点与方程 地 城 考点01 函数的定义域与值域 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海闵行·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知．在内的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 4．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数 的定义域为，值域为，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海·期中）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 二、填空题　 6．（25-26高三上·上海·期中）函数 的定义域为________. 7．（25-26高三上·上海·期中）函数的定义域为___________________ 8．（25-26高三上·上海·期中）函数的定义域是______． 9．（25-26高三上·上海·期中）函数的定义域为__________. 10．（25-26高三上·上海松江·期中）函数的定义域是__________. 11．（25-26高三上·上海嘉定·期中）函数的定义域是______. 12．（25-26高三上·上海闵行·期中）函数的值域是______. 13．（25-26高三上·上海长宁·期中）函数的值域为_______________. 14．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 15．（25-26高三上·上海浦东新·期中）函数在区间上的值域是________. 16．（25-26高三上·上海·期中）若函数为奇函数，则函数，的值域为________. 17．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是______． 18．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 19．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则函数的值域为__________． 20．（25-26高三上·上海·期中）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______． 21．（25-26高三上·上海·期中）函数是偶函数，且定义域是，则______． 22．（25-26高三上·上海·期中）若函数的值域是，则函数的值域为 __． 23．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为__________. 24．（25-26高三上·上海·期中）定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则__________． 三、解答题　 25．（25-26高三上·上海·期中）已知， (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最小正周期为，且函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围. 26．（25-26高三上·上海·期中）已知，函数. (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值. 地 城 考点02 函数的奇偶性与单调性 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海闵行·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海徐汇·期中）下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海松江·期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海浦东新·期中）下列函数中，在区间上单调增的是（   ）. A． B． C． D． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 7．（25-26高三上·上海·期中）若幂函数在上是严格减函数，且经过点，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·上海·期中）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数        ②的最大值为2 ③在有4个零点    ④在区间单调递减 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 11．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 12．（25-26高三上·上海·期中）函数是（   ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，则命题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 14．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，对于下列两个命题：①②的值域为.判断正确的是（    ）. A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 15．（25-26高三上·上海杨浦·期中）若，，则（    ） A．1 B． C． D．0 16．（25-26高三上·上海·期中）设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（    ） A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误 17．（25-26高三上·上海·期中）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题　 18．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知为奇函数，，则____________． 19．（25-26高三上·上海·期中）若函数是上的偶函数，则______． 20．（25-26高三上·上海·期中）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则______． 21．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 22．（25-26高三上·上海·期中）若函数为上严格增函数，则实数的取值范围是__________． 23．（25-26高三上·上海·期中）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________. 24．（25-26高三上·上海·期中）已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 25．（25-26高三上·上海松江·期中）函数的单调减区间为______． 26．（25-26高三上·上海·期中）已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为_____. 27．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________． 28．（25-26高三上·上海黄浦·期中）函数的严格增区间是______ . 29．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若，则__________. 三、解答题　 30．（25-26高三上·上海·期中）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 31．（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，，，若． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 32．（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围． 33．（25-26高三上·上海·期中）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 34．（25-26高三上·上海·期中）对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的＂位差奇函数＂. (1)判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； (2)若是位差值为的位差奇函数，求的值； (3)若对于任意都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围． 35．（25-26高三上·上海·期中）某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、 F，记 (1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好 ，且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB； (2)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线. 求此大卡车的车长AB的最大值. 地 城 考点03 函数的图象与变换 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）数学中一般用表示，中的较小值.关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称： ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中是真命题的个数是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·上海·期中）函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 二、填空题　 6．（25-26高三上·上海·期中）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为___________. 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________. 9．（25-26高三上·上海·期中）设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______． 10．（25-26高三上·上海·期中）函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是______． 11．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点；④若在上有且仅有两个极大值点，则． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． 若，且，求的值； 地 城 考点04 指数函数与对数函数 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知，则下列三个命题中正确的个数为（    ）个. ①若，则； ②若，则； ③若，则. A．3 B．2 C．1 D．0 4．（25-26高三上·上海·期中）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ） A．3.8小时 B．4小时 C．4.4小时 D．5小时 二、填空题　 5．（25-26高三上·上海·期中）对数有意义，那么的取值范围是__________． 6．（25-26高三上·上海浦东新·期中）_____． 7．（25-26高三上·上海·期中）若，则的值为______. 8．（25-26高三上·上海·期中）若，且，则______． 9．（25-26高三上·上海·期中）函数的最小值为______. 10．（25-26高三上·上海·期中）某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是__________． （1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型； （2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟； （3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短. 地 城 考点05 函数的零点与方程 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若函数的零点均在区间[a，b]内，，则的最小值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 5．（25-26高三上·上海徐汇·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 6．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 7．（25-26高三上·上海闵行·期中）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题　 9．（25-26高三上·上海·期中）已知关于的方程的两个实数根分别为.若，则实数的值为__________． 10．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，且，则的最小值是______. 11．（25-26高三上·上海·期中）已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________. 12．（25-26高三上·上海徐汇·期中）方程有两根，，且，则的取值范围为______. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若方程有2个根，则的范围是______． 14．（25-26高三上·上海松江·期中）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 15．（25-26高三上·上海宝山·期中）方程的解为________． 16．（25-26高三上·上海嘉定·期中）定义在区间的函数与的图像交点个数为______． 17．（25-26高三上·上海·期中）函数的零点为___________； 三、解答题　 18．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，. (1)若，当时，求的值域； (2)若的最小正周期是，在（）上有且仅有三个零点，求实数a的取值范围. 19．（25-26高三上·上海·期中）设函数． (1)设，求函数的单调区间； (2)求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件； (3)设，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得. 20．（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 21．（25-26高三上·上海·期中）已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有． (1)若，，求实数a的取值范围； (2)证明：方程至多只有一个实根； (3)若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 5大高频考点概览 考点01 函数的定义域与值域 考点02 函数的奇偶性与单调性 考点03 函数的图象与变换 考点04 指数函数与对数函数 考点05 函数的零点与方程 地 城 考点01 函数的定义域与值域 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海闵行·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义，分别求出各选项所对应的函数的定义域，即可判断. 【详解】对于A：，所以函数的定义域为，故A错误； 对于B：，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：，所以函数的定义域为，故C错误； 对于D：，所以函数的定义域为，故D错误. 故选：B 2．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知．在内的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出余弦函数图象，分析值域为时对应的定义域，由此得到关于的不等式并求解出结果. 【详解】因为，所以， 又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）： 可知，所以解得， 故选：D. 3．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 【答案】D 【分析】先由函数的定义域为确定函数的定义域，再通过换元法令将原函数转化为关于新变量t的二次函数，最后根据二次函数在闭区间上求出最大值. 【详解】 因为，的定义域为； 所以中，解得； 所以，的定义域是 令，，则，所以， 在上单调递增，当时，即时，取得最大值为. 故选：D 4．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数 的定义域为，值域为，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质得出，由此得出，即可得出的最大值结合选项即得. 【详解】， ，即， 函数的值域为， ， 则的最大值是， 若，值域为，； 若，值域为，； 若，值域为，. 故选：D. 5．（25-26高三上·上海·期中）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，可判断AB选项；利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断C选项；利用正弦型函数的周期性可判断D选项. 【详解】设，由可得， 所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数不是偶函数，A错B错； 当时，则 ， 当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对； 因为， 结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错. 故选：C. 二、填空题　 6．（25-26高三上·上海·期中）函数 的定义域为________. 【答案】 【分析】根据对数函数有，解出即可. 【详解】由题意有：，所以， 所以函数 的定义域为， 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·期中）函数的定义域为___________________ 【答案】. 【分析】由正切函数的定义域得出，解出不等式可得出所求函数的定义域． 【详解】由于正切函数为， 解不等式，得， 因此，函数的定义域为， 故答案为． 【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 8．（25-26高三上·上海·期中）函数的定义域是______． 【答案】 【分析】由对数函数的定义可得，解不等式即可得出答案. 【详解】依题意得，即，解得或， 所以函数的定义域为， 故答案为： 9．（25-26高三上·上海·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得. 故定义域为. 故答案为： 10．（25-26高三上·上海松江·期中）函数的定义域是__________. 【答案】. 【分析】应用对数复合函数定义域结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为，所以或， 函数的定义域是. 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海嘉定·期中）函数的定义域是______. 【答案】. 【分析】化分数指数幂为根式，再由分母不为0即可求得定义域. 【详解】因为函数，所以其定义域为. 故答案为：. 12．（25-26高三上·上海闵行·期中）函数的值域是______. 【答案】 【分析】利用整体思想先求真数的范围，再根据对数函数的单调性计算即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递增， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高三上·上海长宁·期中）函数的值域为_______________. 【答案】 【解析】利用两角和的余弦公式及辅助角公式化简，集合正弦函数的性质求解. 【详解】解： 即函数的值域为 故答案为： 【点睛】本题考查三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题. 14．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 15．（25-26高三上·上海浦东新·期中）函数在区间上的值域是________. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性可确定最值点，由此可得值域. 【详解】， 在上单调递增，在上单调递减，且关于直线对称， 当时，，， 所求值域为. 故答案为：. 16．（25-26高三上·上海·期中）若函数为奇函数，则函数，的值域为________. 【答案】 【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域. 【详解】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 17．（25-26高三上·上海松江·期中）函数在区间上的值域是______． 【答案】 【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域． 【详解】当时，， ，即的值域为． 故答案为：． 18．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质得出，再结合对数复合函数定义域求解. 【详解】函数的定义域是，所以，所以， 所以函数的定义域是， 则函数满足且且不是3， 则函数的定义域为. 故答案为：. 19．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由指数函数单调性、基本不等式即可得解. 【详解】因为在单调递增，所以， 而当时，由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 20．（25-26高三上·上海·期中）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______． 【答案】或 【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值. 【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或. 故答案为：或 21．（25-26高三上·上海·期中）函数是偶函数，且定义域是，则______． 【答案】2 【分析】根据函数的奇偶性与定义域，列出方程组即可确定的值，进一步即可得到的值. 【详解】是偶函数，且定义域是， 且，则， 又， ，故， . 故答案为：2. 22．（25-26高三上·上海·期中）若函数的值域是，则函数的值域为 __． 【答案】 【分析】根据的值域是，分步求出的值域. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域为， 则的值域为， 所以函数的值域为． 故答案为：． 23．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】运用辅助角公式将函数化为，根据和得到的范围，结合，，得到，再联立不等式组，得到的取值范围. 【详解】由题意可得. 由，得， 由，得. 因为，所以， 则解得，即的取值范围是 故答案为：. 24．（25-26高三上·上海·期中）定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则__________． 【答案】 【分析】根据的定义、，依次求出数列的前5项，归纳出，利用累加法求出，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【详解】当时，由，得，所以， 所以，得； 当时，由，得，所以， 所以，得； 当时，由，得，所以， 所以，得； 当时，由，得，所以， 所以，得； 当时，由，得，所以， 所以，得， 以此类推，得，即， 所以， 各式相加，得，所以，则， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和. 三、解答题　 25．（25-26高三上·上海·期中）已知， (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最小正周期为，且函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式可得，结合，可求值域； （2）化简得，利用周期求得，求得函数的零点为，或，可求实数的取值范围. 【详解】（1）若，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以函数的值域； （2）， 又因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以. 令，所以， 所以，或， 解得，或， 当时，有零点，， 当时，有零点，， 因为函数在上恰有2个零点，所以， 所以实数的取值范围为. 26．（25-26高三上·上海·期中）已知，函数. (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先根据题意得到，再求其值域即可. （2）首先根据得到，再利用余弦定理和基本不等式得到，再求面积的最大值即可. 【详解】（1）因为函数. 所以， 因为，所以， 可得：. （2）因为，可得：， 因为，可得：，解得：. 因为，可得. （当且仅当时取等号） 则，即. . 因为，所以 当且仅当时，取等号. 因此，面积的最大值为. 地 城 考点02 函数的奇偶性与单调性 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海闵行·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可． 【详解】选项A，令，定义域为， 且，即为奇函数， 选项B，令，定义域为，， 即为奇函数； 选项C，令，，， 故不是偶函数； 选项D，，定义域为，且，则为偶函数， 故选：D． 2．（25-26高三上·上海徐汇·期中）下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性和单调性的概念可判断选项. 【详解】由，则为偶函数， 再根据幂函数的定义与性质，可得在增函数，故A错误； 由,则为偶函数， 再根据三角函数与复合函数，可得在不单调，故B错误； 由,则为奇函数，故C错误； 由，则为偶函数， 再根据对数函数与复合函数，可得在单调递减，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高三上·上海松江·期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A：是非奇非偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B：是奇函数又是增函数，故B正确； 对于C：是非奇非偶函数，不是奇函数，故C错误； 对于D：是非奇非偶函数，不是奇函数，故D错误； 故选：B 4．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象和的奇偶性判断. 【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数， A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 5．（25-26高三上·上海浦东新·期中）下列函数中，在区间上单调增的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，由反比例函数性质知：在上单调递减，A错误； 对于B，由二次函数性质知：在上单调递减，B错误； 对于C，由指数函数性质知：在上单调递增，C正确； 对于D，由对数函数性质知：在上单调递减，D错误. 故选：C. 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断①，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解②，代值逐步求解即可判断③④. 【详解】令，，，所以. 令，，，则. 令，得，故为偶函数．①错误； 任取，，，则， 则，故在上为减函数． 由已知，可得， 故，解得，且，②错误； 若，则，， ，③正确； 若，则，， ，所以，故④错误， 故选：C． 7．（25-26高三上·上海·期中）若幂函数在上是严格减函数，且经过点，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的性质可作出判断. 【详解】幂函数在上是严格减函数，则，故BD错误； 又因为经过点，而，故A错误； 而，故C正确； 故选：C 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由①可得函数在上单调递增，由②可得函数为周期函数，周期为8，由③可得函数关于直线对称，进而得到，，，进而根据单调性判断大小即可. 【详解】由①，对任意的，当时，都有， 则，故函数在上单调递增， 由②，，则， 则函数为周期函数，周期为8， 由③，是偶函数，则函数关于直线对称， 所以， ， 而，且函数在上单调递增， 所以，即. 故选：C. 9．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，可证得是奇函数，且在上单调递增. 可化为，进而可解得结果. 【详解】令，（）， 则， 所以是奇函数； 又都是上增函数， 所以在上单调递增. 所以可化为， 进而有， 所以， 解得或. 故选：B. 10．（25-26高三上·上海·期中）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数        ②的最大值为2 ③在有4个零点    ④在区间单调递减 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析. 【详解】解：的定义域为， 因为， 故为偶函数，结论①正确， 当， 当， 故当时， 根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示 故函数的最大值为2，结论②正确， 根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误， 由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等. 11．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得出在上单调递增，，然后将不等式等价变形为即可求解. 【详解】设函数，则函数是定义域为， 因为是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 因为， 所以其图象关于点对称，即有，即． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 12．（25-26高三上·上海·期中）函数是（   ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【分析】根据函数图象结合极值点的定义即可得出结论. 【详解】画出的图象，函数是偶函数， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有一个极大值点. 故选：B. 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，则命题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析两个命题的关系，结合充分必要条件的定义可得答案． 【详解】解：根据题意，若是偶函数，即，必有成立， 反之，若，当时，有，则函数为偶函数， 故题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的充分必要条件， 故选：C． 14．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，对于下列两个命题：①②的值域为.判断正确的是（    ）. A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】D 【分析】利用周期性判断①，利用指数函数的单调性，以及偶函数的性质和函数的周期性求得值域判断②. 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以，故①错. 当时，，所以，即， 又因为函数是偶函数，所以，可得， 所以当时，， 又因为函数是周期为4的周期函数，所以的值域为，故②对. 故选：D. 15．（25-26高三上·上海杨浦·期中）若，，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】对已知条件进行化简，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性来找出与的关系，最后根据三角函数的性质求出的值. 【详解】根据诱导公式，则可化为 ①. 对，可得，即 ②. 设，其定义域为，关于原点对称. 且，所以是奇函数. 对求导，， 若，，，所以； 若，，则， 所以在上单调递增. 由①式可得，由②式可得，所以. 因为是奇函数，所以. 又因为在上单调递增，所以，即. 将代入，可得. 的值为. 故选：A. 16．（25-26高三上·上海·期中）设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（    ） A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②. 【详解】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式． 17．（25-26高三上·上海·期中）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 二、填空题　 18．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知为奇函数，，则____________． 【答案】 【分析】根据奇偶性求函数值. 【详解】因为为奇函数，， 所以. 故答案为：. 19．（25-26高三上·上海·期中）若函数是上的偶函数，则______． 【答案】 【分析】根据为偶函数先得到的可取值，然后根据的取值范围确定出的值. 【详解】因为是上的偶函数， 所以， 又因为，所以， 故答案为：. 20．（25-26高三上·上海·期中）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则______． 【答案】/ 【分析】首先根据题意得到函数的周期为，再根据求解即可. 【详解】因为定义在R上的奇函数，且时，， 所以，解得，即时，. 因为， 所以，则函数的周期为， 所以. 因为， 所以. 故答案为： 21．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 【答案】0 【分析】根据题中函数奇偶性，得出函数的周期为4且，可求出结果. 【详解】根据题意知为偶函数，为奇函数， 所以， ， ， 可得， 所以，则是以4为周期的函数， 又因为奇函数，令，可得， 所以. 22．（25-26高三上·上海·期中）若函数为上严格增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的性质列出不等式组并求解即可. 【详解】由于函数为上严格增函数， 令，则在时单调递增，令， 即在时恒成立，只需， 从而要使函数为上严格增函数，需满足，解得. 故答案为：. 23．（25-26高三上·上海·期中）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【分析】求导，结合奇函数的定义即可求解； 【详解】由，得， 所以， 因为为奇函数，定义域为， 所以，所以， 即，，满足； 所以， 故答案为： 24．（25-26高三上·上海·期中）已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设，则，又为上的奇函数， 所以， 即当时，，当时，， 所以的图象在处的切线方程为，即． 故答案为： 25．（25-26高三上·上海松江·期中）函数的单调减区间为______． 【答案】 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 又，令，则，解得， 所以函数的单调减区间为. 故答案为：. 26．（25-26高三上·上海·期中）已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为_____. 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，则， 因为函数为奇函数，则，即，解得， 所以，， 当时，，，，满足，合乎题意， 所以，若函数为奇函数，则. 故答案为：. 27．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________． 【答案】 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式. 故答案为： 28．（25-26高三上·上海黄浦·期中）函数的严格增区间是______ . 【答案】 【分析】根据对数型复合函数单调性的求法可得答案． 【详解】根据题意函数， 设，有， 解可得，即函数的定义域为， 在区间上，为减函数， 也为减函数， 由复合函数的单调性法则得： 函数在上单调递增． 故答案为： 29．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若，则__________. 【答案】 【分析】由奇函数的性质进行求解即可． 【详解】设，显然定义域为， 又， 则，所以是上的奇函数： 又也是上的奇函数，所以也是上的奇函数， 因此，则. 故答案为： 三、解答题　 30．（25-26高三上·上海·期中）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 31．（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，，，若． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先用向量数量积及二倍角公式化简为，再根据正弦函数的单调性求递增区间. （2）由角的范围结合正弦函数的图象性质求值域即可. 【详解】（1）由题意得 ， 由正弦型函数的性质可得其单调递增区间满足， 化简得， 即的单调递增区间为，. （2）因为，所以， 在该区间内，， 故. 32．（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时， 为偶函数，当时，为非奇非偶函数； (3). 【分析】（1）由条件可得，解出的值，然后验证即可； （2），分、两种情况讨论即可； （3）当时，，然后化简可得，然后可得答案. 【详解】（1）因为为偶函数，所以 解得或 当时，为偶函数，满足题意 当时，是非奇非偶函数，不满足题意 所以 （2）因为，所以 所以当时，，为偶函数， 当时，，为非奇非偶函数， （3）因为函数在上是严格增函数， 所以当时，，即 所以， 因为，所以，所以 因为，所以，所以 33．（25-26高三上·上海·期中）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可； （2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 34．（25-26高三上·上海·期中）对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的＂位差奇函数＂. (1)判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； (2)若是位差值为的位差奇函数，求的值； (3)若对于任意都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是，不是 ，理由如下： 由， 所以为奇函数． 故对于任意有为位差奇函数． 又，设. 此时， 假设存在，为奇函数，则恒成立，即恒成立，矛盾， 故不存在有为位差奇函数. (2) (3) 【分析】（1）根据新定义结合奇函数定义判断即可； （2）根据新定义、奇函数的性质，正弦函数的诱导公式得解； （3）根据新定义及指数的运算性质、奇函数的定义求解. 【详解】（1）略 （2）由是位差值为的位差奇函数， 可得为上的奇函数． 为奇函数． 即，化简得， 因为对于任意恒成立，所以， 所以. （3）． 由题意对任意的均不恒成立． 此时， 即对任意的均不恒成立，故在无解． 又，故．故. 35．（25-26高三上·上海·期中）某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、 F，记 (1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好 ，且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB； (2)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线. 求此大卡车的车长AB的最大值. 【答案】(1) 米 (2)（）米 【分析】（1）通过解直角三角形，分别求出，即可求得本题答案； （2）用表示，利用换元法并结合函数的单调性，求出的最小值，即可得到大卡车车长的最大值. 【详解】（1）如图 所示， 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ， 因为 ，所以 ，  在中，， 在中， 在中，，在 中，， 所以 米. （2）因为 ，所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 设 ，则 ，所以 ， 易知 在 上单调递增，且 ， 所以 在 上单调递减， 所以当 ，即 时， 取得最小值 .所以最终符合条件的大卡车车长最大值为 （）米. 【点睛】方法点睛：对于含有和的三角函数值域问题，可以通过换元转化为熟悉的函数，如二次函数，分式函数来解答. 地 城 考点03 函数的图象与变换 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）数学中一般用表示，中的较小值.关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称： ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中是真命题的个数是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意作出函数的图象，结合图象确定函数的性质，进而判断各个命题的真假性． 【详解】因为，， 根据题意作出的部分图象如图所示(图中实线部分)， 由图象可知的最小正周期为，故①错误； 由图可知的图象的对称轴位于两条正弦曲线的交点处， 由得， 所以，时，，所以②正确； 当时，取得最大值1，且容易看出的最小值为， 所以的值域为，故③错误； 当时，， 此时，可得在区间上单调递增，故④正确； 综上所述：真命题的个数是2. 故选：B． 2．（25-26高三上·上海·期中）函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象与性质列不等式，求得的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象； 再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， ， . 故选：A. 【点睛】本题主要考查的图象与性质以及变换规律，由零点个数，确定的范围. 3．（25-26高三上·上海·期中）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，排除A和B选项；求得，得到有一零点，得到函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数，且定义域关于原点对称， 所以函数是上的偶函数，其图象关于轴对称， 又由，因为，可排除A和B选项； 当时，可得，则， 由和的图象可知，两个函数图象在只有一个公共点， 所以有一零点，设为， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数，所以选项D符合题意. 4．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将利用辅助角公式化为，利用函数的图像关于y轴对称，得到，计算求解. 【详解】，， 的图像关于y轴对称， ，， 当时，. 故选：B. 二、填空题　 6．（25-26高三上·上海·期中）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______． 【答案】 【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案. 【详解】令，可得恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·期中）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围 【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象， 由， 当时，，结合图象可得； 当时，，可得， 所以的解为或. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题设可得、是函数的零点，也是的两个根，即可得函数解析式，进而有，应用换元法及二次函数性质求其最大值. 【详解】由，可得为的两个零点， 又函数图象关于直线对称，则、也是函数的零点， 所以是的两个根，则， 所以 ， 令，则， 所以，当，即时，最大值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据对称性可得是的两个根，即可得参数值，再应用换元法将函数化为二次函数求最值. 9．（25-26高三上·上海·期中）设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______． 【答案】 【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于的等式,再根据的范围即可得到解析式. 【详解】解:由题知,因为对称轴与对称中心的最小距离为, 所以,即, 所以,此时, 因为对称轴为, 故有:, 即, 因为, 所以, 故. 故答案为: 10．（25-26高三上·上海·期中）函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据新定义，作出的图象，再求出图象关于原点对称的图象对应的函数解析式，由交点个数并结合图象列式求解 【详解】根据新定义，作出的图象如下： 由的图象上恰有3对点关于原点对称，得函数图象关于原点对称的图 象与的图象有3个交点，由，得，则， 因此函数的图象与的图象恰有3个交点， 当时，函数的图象与的图象只有2个交点，不符合题意， 则，即，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 11．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点；④若在上有且仅有两个极大值点，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】由图求得判断①，由解析式结合正弦函数性质判断②③④. 【详解】设函数的最小正周期为由图可知，解得， 因为，所以函数的最小正周期是，①正确； 所以，又图象经过，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以， 当时，，此时且单调递减， 所以，且单调递增，②正确； 因为，所以的图象过点，③错误； 由，得， 在上，的第一个极大值点，第二个极大值点，第三个极大值点， 因为在上有且仅有两个极大值点，所以，④正确； 故答案为：①②④. 三、解答题 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． 若，且，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出的值，即得函数解析式； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到的解析式，由题求得，结合的范围，求得，通过凑角后利用和角的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．所以． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． 因为，所以． 因为，则，则， 所以 ． 地 城 考点04 指数函数与对数函数 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数过定点可得. 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据一次函数的横截距和纵截距的大小，结合幂函数的图象的增减性可得选项. 【详解】由得，所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项； 对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确； 故选：C. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知，则下列三个命题中正确的个数为（    ）个. ①若，则； ②若，则； ③若，则. A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据题意，分别利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性，进行分析判断，即可求解. 【详解】对于①，由指数函数，它在定义域上是减函数， 因为，所以，故命题①错误. 对于②，由对数函数，它在定义域上是减函数， 因为，所以，故命题②正确. 对于③，由幂函数，其定义域为，且在上单调递增， 因为，所以，故命题③正确. 综上可得，命题②③正确，正确的命题有2个. 故选：B. 4．（25-26高三上·上海·期中）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ） A．3.8小时 B．4小时 C．4.4小时 D．5小时 【答案】B 【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解. 【详解】由题意可知，即有， 令，则有，解得， ，故还需要4小时才能消除至最初的. 故选：B. 二、填空题　 5．（25-26高三上·上海·期中）对数有意义，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由对数的真数大于0即可求解. 【详解】要使对数有意义， 则，即，解得：或. 故的取值范围是：. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海浦东新·期中）_____． 【答案】 【分析】根据指数幂运算性质和运算法则计算即可得到结果. 【详解】 本题正确结果： 【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题. 7．（25-26高三上·上海·期中）若，则的值为______. 【答案】 【分析】由换底公式结合对数定义可得答案. 【详解】，则. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海·期中）若，且，则______． 【答案】6 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 由于，故， 故答案为：6 9．（25-26高三上·上海·期中）函数的最小值为______. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 10．（25-26高三上·上海·期中）某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是__________． （1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型； （2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟； （3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短. 【答案】（2）（3） 【分析】对（1），利用指对互化即可判断；对（2），将数据代入公式即得到；对（3），分别代入公式计算冷却时间，作差比较大小即可． 【详解】对于（1），由于， 得，整理得，所以（1）错误； 对于（2），时，所以（2）正确； 对于（3），设壶水从到所需时间为，则 设壶水从到所需时间为，则， ，所以，故（3）正确； 故答案为：（2）（3）． 地 城 考点05 函数的零点与方程 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦函数图象计算即可得. 【详解】， 当时，， 令，则， 则有，解得， 故t的取值范围为. 故选：A. 2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据零点的存在性定理分析充分性，然后再举例分析必要性，由此判断出属于何种条件. 【详解】由零点存在性定理，可知充分性成立； 反之，若函数，则易知， 且在区间内有两个零点，故必要性不成立. 故选：A. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据零点的存在性定理分析充分性，然后再举例分析必要性，由此判断出属于何种条件. 【详解】由零点存在性定理，可知充分性成立； 反之，若函数，则易知， 且在区间内有两个零点，故必要性不成立. 故选：A. 4．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若函数的零点均在区间[a，b]内，，则的最小值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】根据导数求和的单调性,，即在上单调递增，, 在上单调递减,再应用零点存在定理确定零点所在区间,根据图像平移即可求得结果. 【详解】由题知 , 所以，，则， 当时，， 当时，，； 当时，，， 当时显然成立， 所以，即在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点， 同理，， 所以，，当，， 所以在上单调递减， 又， ， 所以在有唯一的零点． 则的零点在区间内，的零点在区间内， 所以零点均在区间中的最大值为，的最小值为， 所以的最小值为． 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用导数判断函数的单调性，进而根据零点存在定理求得，的零点所长区间. 5．（25-26高三上·上海徐汇·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 【答案】A 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示：    由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是4.， 故选：A 【点睛】关键点点睛：明确点集表示的几何意义为平面区域，这是解答的关键. 6．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 7．（25-26高三上·上海闵行·期中）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，方程有三个零点，利用三角函数的性质，得出不等式，即可求解. 【详解】当时，令，即，即， 因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示，    所以时，函数只有一个零点， 又由函数有4个零点， 所以时，方程有三个零点，如图所示，    因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 由于方程至多两个实根，设为和， 由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4， 由于关于x的方程有7个不同实数解， 则关于u的二次方程的一根为，则， 则方程的另一根为， 直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得. 所以且. 故选：C. 二、填空题　 9．（25-26高三上·上海·期中）已知关于的方程的两个实数根分别为.若，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】由韦达定理可得，，再根据代入求解即可． 【详解】由题知，， ， ， 即， 解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 10．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，且，则的最小值是______. 【答案】 【分析】根据已知函数解析式作出函数图象，根据图象及已知得，、，且，根据对数运算得，对目标式化简得出，再根据基本不等式得出答案. 【详解】作函数与图象如下： 存在四个不相等的实根，，，，且， 则，、，且，即，得， 则， 当且仅当时，即，时，等号成立， 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海·期中）已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】原方程可化为，令，，即得在有两个不相等的实根，再转化为和，有两个不同的交点，利用导数研究函数图象，并结合图象得到结果即可. 【详解】由，可得方程 可化为， 令，， 因为在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故时，值域为. 方程可化为， 当时，方程可化为，不成立， 故，故原方程可化为， 由已知在有两个不相等的实根， 即和，有两个不同的交点. ， 当和时，， 即在上递减，在上递减； 当时，，在递增. 另外，时，；时，； ，当时，， 当，且时，， 当，且时，， 根据以上信息，函数，大致图象如下， 当时，和，的图象有两个不同的交点. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)或已知零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 12．（25-26高三上·上海徐汇·期中）方程有两根，，且，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】令，易得，依题意可得，解之即得. 【详解】令，图象恒过点， 方程0在区间内有两个不同的根， ，解得. 故答案为：. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若方程有2个根，则的范围是______． 【答案】 【分析】利用函数在时的单调性，进而可得函数在时的值域，再利用二次函数的性质可得函数时的值域，即得函数的值域，然后作出函数图象，结合函数图象即可求出参数的取值范围； 【详解】因为， 当时，由单调递增， ∴在上单调递增， ∴当时，， 当时，所以， 综上，函数的值域为， 作出函数的图象与直线如图所示：    函数有2个零点，即与有2个交点， 所以，即. 故答案为：. 14．（25-26高三上·上海松江·期中）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解. 【详解】由题意，当时，不能满足在上极值点比零点多， 当时，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由的部分图象如下图所示：    则，解得，即， 故答案为：. 15．（25-26高三上·上海宝山·期中）方程的解为________． 【答案】 【详解】设，则 考点：解指对数不等式 16．（25-26高三上·上海嘉定·期中）定义在区间的函数与的图像交点个数为______． 【答案】4 【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解. 【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示， 根据图像，可得函数与的图像交点个数为4. 故答案为：4. 17．（25-26高三上·上海·期中）函数的零点为___________； 【答案】 【分析】求解出的解，结合定义域可知结果. 【详解】令，解得，， 又因为，所以， 所以的零点为， 故答案为：. 三、解答题　 18．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，. (1)若，当时，求的值域； (2)若的最小正周期是，在（）上有且仅有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先求整体角的取值范围，结合正弦函数的图象性质求值域； （2）由周期公式求出，将零点问题转化为整体角范围内正弦函数的零点个数问题，列不等式求解的范围. 【详解】（1）当时，. 因为，所以. 根据正弦函数的单调性：当即时，取最大值； 当即时，取最小值. 因此的值域为. （2）由的最小正周期，且，解得，故. 令，当时，. 在上有且仅有3个零点等价于在上有且仅有3个零点. 正弦函数的零点为，满足的前4个零点依次为， 要恰有3个零点，需满足. 解不等式得： . 因此实数的取值范围为. 19．（25-26高三上·上海·期中）设函数． (1)设，求函数的单调区间； (2)求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件； (3)设，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得. 【答案】(1)增区间和；减区间 (2) 因为有三个不同的零点，必然会有两个极值点， 所以有两个不同的根，所以，所以， 又因为有两个极值点，极小值不一定小于0，所以函数值受到的影响， 所以是有三个不同零点的必要不充分条件； (3) ， 因为，所以函数单调递增， 当时，，当时，， 所以存在唯一零点， 所以， ， 故数列，是满足题设要求的数列， 若存在两个不同的递增正整数数列和，满足， ， 去掉上面等式两边相同的项，有， 这里的，所有的都是不同的整数， 不妨设，则 即，矛盾， 故满足题意的数列是唯一的. 【分析】（1）由题意可知，，利用导数求函数的单调区间； （2）由函数有三个不同的零点，转化为函数有两个极值点，再结合函数的性质，以及充分，必要条件的定义，即可说明； （3）首先结合零点存在性定理，说明函数恰有一个零点r，再结合反证法，说明等式成立. 【详解】（1），， 令，得，得，， ，解得：或，，解得：， 所以在和单调递增，在单调递减， （2）略 （3）略 【点睛】思路点睛：本题的难点是后两问，第二问的关键是转化为函数存在两个极值点问题，第三问的关键是利用反证法说明存在，且唯一. 20．（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 【答案】(1) ， 根据题意可令，解得， 所以函数与是“局部相等”； (2)； (3) 【分析】（1）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案； （2）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案； （3）求出两函数的导函数，根据题意列方程，消去n可得关于的不等式有解，设，求导研究单调性，画出图象，即得答案. 【详解】（1）略 （2）， 若函数与“局部相等”， 则，解得，； （3） 根据题意可得关于m的不等式：有解， 消去n可得关于的不等式有解， 设，所以， 所以的符号为： 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且时，；时，， 所以 所以 21．（25-26高三上·上海·期中）已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有． (1)若，，求实数a的取值范围； (2)证明：方程至多只有一个实根； (3)若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有． 【答案】(1) (2) 令，故， 所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根； (3) 设的最大值为，最小值为， 在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值， 设，， 因为函数是周期为2，取一个周期，且， 则有， 若，则成立， 若，设，即，故，且，则， 所以成立， 综上，对任意实数，都成立，所以原式得证． 【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果； （2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明； （3）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【详解】（1）因为，，所以， 由题意知，在上恒成立，即在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，易知，在上，函数和均单调递增， 所以. （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：对于（1）恒（能）成立问题，常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解； 对于（3），设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用基本不等式的性质可证明. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $