精品解析：上海市回民中学2025-2026学年高三第一学期期中数学试卷

2025学年第一学期高三数学期中试卷 2025.11 一、填空题（本大题共54分，第1-6题每题4分．第7-12题每题5分） 1. 若集合，，则______． 2. 函数的定义域为___________________ 3. 不等式的解集为______． 4. 若复数（为虚数单位），则________． 5. 求直线与直线的夹角为________. 6. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______. 7. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 8. 关于的方程的解集为_______． 9. 已知，均为锐角，，，的值为_______． 10. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 11. 已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，且，则的最小值是______. 12. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 二、选择题 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A. B. C. D. 15. 已知直线与圆有两个不同的公共点A，B，则下列命题判断错误的个数是（ ） ①直线过定点；②当时，线段AB长的最小值为 ③半径的取值范围是；④当时，有最小值为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 16. 已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，． （1）求∠B； （2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积． 18. 已知为坐标原点，，，若． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 19. 杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为 （1）若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台? （2）现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑、其中，，则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由. 20. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 21. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高三数学期中试卷 2025.11 一、填空题（本大题共54分，第1-6题每题4分．第7-12题每题5分） 1. 若集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先解得集合，再根据交集的运算即可求得. 【详解】集合， 因为，所以， 故答案为：. 2. 函数的定义域为___________________ 【答案】. 【解析】 【分析】由正切函数的定义域得出，解出不等式可得出所求函数的定义域． 【详解】由于正切函数为， 解不等式，得， 因此，函数的定义域为， 故答案为． 【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 3. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】由可得， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 4. 若复数（为虚数单位），则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，利用复数模的运算可得. 【详解】， ， 故答案为： 5. 求直线与直线的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 6. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______. 【答案】##0.28. 【解析】 【分析】运用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式计算即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为：. 7. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 【答案】6 【解析】 【详解】由题意得双曲线的方程为，则， 则，右焦点为， 抛物线的焦点为， 则有，解得. 8. 关于的方程的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给等式，去绝对值，讨论的范围求解即可． 【详解】由可知， 则，解得，故解集为． 9. 已知，均为锐角，，，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过将未知角转化为已知角与的差，利用正弦的两角差公式进行计算即可． 【详解】因为为锐角，且，则； 又因为，均为锐角，则，则； 因为，则； 故 ； 10. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题中函数奇偶性，得出函数的周期为4且，可求出结果. 【详解】根据题意知为偶函数，为奇函数， 所以， ， ， 可得， 所以，则是以4为周期的函数， 又因为奇函数，令，可得， 所以. 11. 已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，且，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知函数解析式作出函数图象，根据图象及已知得，、，且，根据对数运算得，对目标式化简得出，再根据基本不等式得出答案. 【详解】作函数与图象如下： 存在四个不相等的实根，，，，且， 则，、，且，即，得， 则， 当且仅当时，即，时，等号成立， 故答案为：. 12. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 二、选择题 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：利用作差法分析判断即可. 【详解】对于选项AD：例如，满足，但，故AD错误； 对于选项B：利用，满足，但，故B错误； 对于选项C：因为， 且，、是非零实数，则， 可得，即，故C正确； 故选：C. 14. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量公式，与题中给出的投影向量比较，可求出, 用公式求出与夹角余弦值，确定夹角大小. 【详解】因为在上的投影向量为， 则，， ， 所以与的夹角为. 故选：B. 15. 已知直线与圆有两个不同的公共点A，B，则下列命题判断错误的个数是（ ） ①直线过定点；②当时，线段AB长的最小值为 ③半径的取值范围是；④当时，有最小值为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程、圆的几何性质，结合平面向量数量积的定义逐一判断即可. 【详解】①：，显然直线过定点，故本序号命题是真命题； ②：当时，点在圆内， 当直线与直线垂直时，线段AB长有最小值， 最小值为，本序号命题是真命题； ③：因为直线与圆有两个不同的公共点A，B， 所以点在内，则有，本序号命题是假命题； ④：， 当直线过圆心时，即时， 有最小值为，本序号命题是真命题， 所以命题判断错误的个数是1个， 故选：B 16. 已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判断③④,即可得答案. 【详解】对于①，，为偶函数，定义域为， 对于任意实数对， 则存在，满足，集合M是“垂直对点集”； 对于②，，取实数对, 假设存在，使成立，则，与矛盾， 即不是“垂直对点集”； 对于③，,作出函数的图象如图， 图象过点，向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 对于④，作出函数的图象如图， 图象向左向右无线延伸， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 故集合M是“垂直对点集”的有3个， 故选：D 三、解答题 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，． （1）求∠B； （2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理即可求得，进而可求B； （2）由余弦定理及已知条件可求的值，进而利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 在△ABC中，由正弦定理，因为， 所以，又， ∴，所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 因为b＝2，c＝2a，由余弦定理得， ∴，解得，则， 所以△ABC的面积. 18. 已知为坐标原点，，，若． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先用向量数量积及二倍角公式化简为，再根据正弦函数的单调性求递增区间. （2）由角的范围结合正弦函数的图象性质求值域即可. 【小问1详解】 由题意得 ， 由正弦型函数的性质可得其单调递增区间满足， 化简得， 即的单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为，所以， 在该区间内，， 故. 19. 杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为 （1）若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台? （2）现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑、其中，，则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由. 【答案】（1） （2）当时，“汪1”、“汪2”“汪3”，用的时间相同；当时，“汪1”用的时间最少. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到每台机器狗的平均成本为，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，分别求得，，，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，购买台“机器狗”的总成本为， 则每台机器狗的平均成本为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台. 【小问2详解】 由题意，汪1满足，可得， 汪2满足，可得， 汪3满足 因为，，可得， 又由，可得 当且仅当时，等号全部成立，所以， 所以当时，“汪1”、“汪2”“汪3”，用的时间相同； 当时，“汪1”用的时间最少. 20. 已知椭圆，点P为C的上顶点． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； （3）设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【小问1详解】 由题，，． 所以离心率． 【小问2详解】 由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． 【小问3详解】 如图： 设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 21. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，求出，结合，从而利用导函数几何意义得到切线方程； （2）转化为对恒成立，结合得到，从而求出答案； （3）求导，分，，及，结合函数定义域，结合函数单调性，得到函数极值情况，得到实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 又， 在处的切线方程为． 【小问2详解】 即对恒成立， ， 即对恒成立， 且，解得． 【小问3详解】 ， ①当时，，此时函数定义域为， 其中，对恒成立， 在上单调递增，不存在极值，不符题意． ②当时，，此时函数定义域为，， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值，但不符题意． ③当时，，此时函数定义域为，令得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 不存在极大值，不符题意． ④当时，的定义域为， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值， ， ， ，即，符合题意． 综上，． 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $