第1章一元二次方程 综合测试卷(A) 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章综合测试卷(A) 考试时间:120分钟 满分:120 分 成绩: 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.若关于x的一元二次方程( 的一个根是x=0,则a 的值为 ( ) A. 2 B. - 2 C. 2或-2 D. 2.关于x 的方程. 根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 3.某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是( ) A. B. C. 6 000(1+2x)=6 200 D. 4.若一元二次方程 化为一般形式后为 则一次函数y=bx+c的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费有如下规定：若一间宿舍一个月用电量不超过a kW·h，则一个月的电费为20元；若超过a kW·h，则除了交20元外，超过部分按 元/(kW·h)交.已知某宿舍3月份用电80kW·h，交电费35元；4月份用电45 kW·h，交电费20元，则a 的值为( ) A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 6.定义新运算“※”:对于实数m,n,p,q,有[m,p]※[[q,n]= mn+ pq,其中等式右边是通常的加法和乘法运算.例如：|:[2,3]※[4,5]=2×5+3×4=22.若关于x的方程 ※[5-2k,k]=0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A. 且k≠0 B. C. 且k≠0D. 7.若关于x 的方程 的两个根x₁，x₂满足 且x₁>x₂,则m的值为( ) A. - 3 B. 1 C. 3 D. 9 8.已知m，n是关于x的一元二次方程 的两个实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是( ) A. 7 B. 11 C. 12 D. 16 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=7 cm.点 P 以2cm /s的速度从点 B出发沿边BA 向点A 移动，同时点 Q 以1 cm/s的速度从点 C 出发沿边CB 向点B 移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止，连接PQ.当四边形APQC 的面积为11 cm²时，点P 的移动时间为 ( ) A. 1 s B. 1 s或 2.5s C. 2s D. 2 s或5s 10.若非零实数a，b满足 且ab≠1，则代数式 的值为( ) A. C.8 D. 16 二、填空题(每小题2分，共16 分) 11.若非零实数a,b,c满足4a-2b+c=0,则关于x的一元二次方程( c=0一定有一个解为 . 12.若m,n是一元二次方程. 的两个实数根，则 的值为 . 13.若关于x 的一元二次方程( 有实数根，则m 的最大整数值是 . 14.对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”.如：四位数2 156，因为2×6=2×(1+5)，所以2 156是“共生数”.现有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字大3，十位上的数字比个位上的数字的一半少1，则这个四位数个位上的数字是 . 15.已知关于x 的一元二次方程 的解是 则关于x 的一元二次方程 的两根之积是 . 16.如图，某军舰从军港A 出发匀速巡航，先沿正南方向航行200海里到点B，再沿正东方向航行200海里到点C，位于AC中点D 处的一渔船沿南偏东方向匀速直线航行.若该军舰的速度是渔船速度的3 倍，且军舰在由点 B 向点C 航行的途中与渔船相遇于点 E 处，则相遇时渔船航行了 海里. 17.已知关于x 的一元二次方程. 若该方程的根都是整数，则满足条件的正整数m 的值为 . 18.如图，在平面直角坐标系中，M，N两点在x轴负半轴上，线段OM，ON(OM<ON)的长是关于x的一元二次方程. 的两根，P是y 轴负半轴上一点，连接PM，以点 P 为旋转中心，将线段 PM 逆时针旋转 90°得到线段 PQ，连接 QN.当线段 QN 的长取最小值时，点 P 的坐标为 ，此时线段QN 的长为 . 三、解答题(共74分) 19. (8分)解下列方程: (3) (4)(3x-2)(x-3)=7. 20. (6分)先化简,再求值: 其中x是方程 的根. 21.(6分)如图，某校有一个长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分)，小路把种植园分成面积均为 的9个矩形地块.请你求出小路的宽度. 22.(6分)已知关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根分别为α，β，且 求k的值. 23.(6分)近几年哈尔滨成了冬季游客打卡的一大圣地，冰雪大世界一票难求.哈尔滨某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出30元的各种费用；对无游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出10元的各种费用.若该宾馆希望每天获利13 400元，并保证较高的入住率，则每个房间每天的定价应增加多少元? 24.(6分)已知a>2,b>2,，试判断关于x 的方程. 与 (a+b)=0有没有公共根，并说明理由. 25.(6分)已知关于x 的一元二次方程 有x₁,x₂两个实数根. (1) 若 求x₂及m的值； (2)是否存在实数m，满足 若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由. 26.(8分)配方法除了可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.例如：因为 所以 即 有最小值1，此时a=0；同样，因为 所以 即 有最大值6,此时a=-1. (1)当x= 时,代数式 有最 (填“大”或“小”)值,且为 ; (2) 当x= 时,代数式- 有最 (填“大”或“小”)值,且为 ; (3)如图，矩形花园的一面靠墙(墙无限长)，另外三面用栅栏围成，所用栅栏的总长度为16 m.当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大?最大面积为多少? 学科网（北京）股份有限公司 27. (10分)已知x₁,x₂是一元二次方程 的两个实数根，若满足 则此类方程称为“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解答下列问题： (1)通过计算，判断下列方程是不是“差根方程”： (2)已知关于x 的方程 是“差根方程”，求a 的值； (3)若关于x 的方程(a，b都是常数，a>0)是“差根方程”，请探究a 与b 之间的数量关系. 28.(12分)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6 cm,CD=10 cm,AD=5cm .动点P,Q分别从A,C 两点同时出发,点 P 以2cm/s的速度沿AB 向点B 运动,点 Q 以1 cm/s的速度沿CD 向点D 运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动. (1) 连接 PQ,则经过几秒,PQ 的长为5cm ? (2)连接PD，是否存在某一时刻，使PD恰好平分∠APQ?若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由. 第1章综合测试卷(A) 学科网（北京）股份有限公司 1. A 注意二次项系数不为0. 2. C 3. A 4. B 5. A 6. C解析：由题意，得 又 有两个实数根，所以 有两个实数根，即 且k≠0,解得 且k≠0.则k的取值范围是 且k≠0.7. C 解析:因为 所以[x-(m-2)][x-(m+2)]0.又方程的两个根分别为x₁，x₂,且 所以 又 所以m+2=2(m-2)+3,解得m=3.则m的值为3. 8. D 解析:由题意,得m+n=2t, 所以t≥2.则原式 所以(m+2)(n+2)的最小值是16. 9. C 解析:设点P 的移动时间为t s.由题意,得BP=2t cm. CQ=t cm.又AB=6 cm,BC=7 cm,∠B=90°，所以点 P 从点B 移动到点A 所需的时间为6÷2=3(s),点Q从点C 移动到点B 所需的时间为7÷1=7(s). BQ=BC-CQ=(7-t) cm,S△ABC= 即0≤t≤3.又. S ux-S NPO,且S△MPO= BP·BQ,S四边形APC=11 cm⁻,所以 解得 t.,=5(舍去).则点 P 的移动时间为2s. 10. A 解析:由题意,得a≠0,b≠0,所以 3=0可化为 又ab≠1,所以 又 所以a, 可看作一元二次方程 的两个不相等实数根.所以 则 11. x=-2 12. 7 13.4 14. 4 15. 0 16.125 解析：设相遇时渔船航行了x海里，则军舰航行了3x海里.过点 D 作DF⊥BC 于点 F,则∠DFE=90°.由题意,得 AB=BC=200 海里,∠ABC=90°,DE=x海里,AB+BE=3x 海里,所以∠ABC=∠DFE,即AB∥DF.因为 D 是AC 的中点,所以DF是△ABC 的中位线,即 海里,F 是 BC 的中点.所以 100海里.所以EF=(3x-300)海里.在Rt△DEF中，由勾股定理，得 所以 解得 当x=100时，DE=DF，所以渔船沿正南方向航行，不符合题意，舍去.所以x=125.则相遇时渔船航行了125海里.17. 9或11 解析:设方程 的两个整数根分别为x₁,x₂,且. 则 所以 即 因为6=1×6=2×3=(-1)×(-6)=(-2)×(-3),所以 3=6, 或 或 3=-1, 或 解得 或 或 或 当 时,m= 当 时， 2=9;当 时，m=x₁+x₂-2=-3.因为m 为正整数，所以不符合题意，舍去；当 时， 同理，不符合题意，舍去.综上，满足条件的正整数 m 的值为9或11. 18. (0,-2) 6 解析：解方程 得 则OM=4,ON=8.所以点N 的坐标为(-8,0).过点 Q 作 QH⊥y 轴于点 H,则∠PHQ= 90°. 由旋转的性质,得 PM = QP,∠MPQ = 90°, 则 ∠MPO +∠QPH = 180°-∠MPQ=90°.又∠MOP = 90°,所以∠MOP =∠PHQ,∠PMO+∠MPO=90°,即∠PMO=∠QPH.所以△PMO≌△QPH(AAS). 所以HP=OM=4,QH=PO.设PO=a(a>0),则QH=a,OH=a+4.所以点 Q 的坐标为(-a,-a-4).所以 所以当a=2时，QN 的长取最小值，且最小值为 此时点P 的坐标为(0,-2). 19. 20. 原式 解方程 2x-3=0,得 又x-3≠0,所以x≠3,即x=-1.则原式 21. 设小路的宽度为x m.由题意,得(20-4x)(14-4x)=24×9,解得 当x=0.5时,14-4x=12>0;当x=8时,14-4x=-18<0,不符合题意,舍去.则小路的宽度为0.5m. 22. (1) 由题意,得 解得k>2.则k 的取值范围为k>2. (2)由题意，得aβ=3-k.又 所以 3-k+3k,解得 由(1),得k>2,所以k=3.则k的值为3. 23.设每个房间每天的定价应增加x元.由题意，得 13400,解得 因为宾馆还需保证较高的入住率，所以x=100.则每个房间每天的定价应增加100元. 24.这两个方程没有公共根.理由如下：解方程 (a+b)x+ ab=0,得 所以此方程的根为a，b.不妨假设这两个方程的公共根为a.则把x=a代入方程 中，得 整理,得(a+1)(a+b-ab)=0.因为a>2,所以a+b-ab=0,解得≈^又b>2，所以 即，a>2(a-1),解得 a<2,与a>2矛盾.所以a不是这两个方程的公共根.同理，得b也不是这两个方程的公共根.则这两个方程没有公共根. 25.(1)由根与系数的关系，得 2m-1.因为 所以 即 所以2m-1=5,解得m=3.则x₂,m的值分别为5,3. (2)存在.因为方程 有两个实数根，所以 解得m≤5.由(1),得 且 又 所以 整理，得 解得 (舍去).经检验，m=2是原方程的解.则实数m 的值为2. 26. (1) 1 小 3 (2)2 大 7 (3)设花园与墙相邻的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(16-2x)m.所以花园的面积为 因为 所以 则当花园与墙相邻的边长为4m 时，花园的面积最大，且最大面积为32m². 27.(1)对于方程①，解这个方程，得 所以 则方程①不是“差根方程”；对于方程②，因为 所以 则方程②是“差根方程”. (2)解方程 得 因为方程 是“差根方程”,所以|0-(-2a)|=1，解得 则a的值为 (3)设x₁，x₂是一元二次方程 都是常数，a>0)的两个实数根，则 因为关于x的方程 (a,b都是常数,a>0)是“差根方程”,所以 4a>0 即 所以 28. 设运动时间为 ts.因为AB=6 cm,CD=10 cm,点P 的速度为2cm/s,点Q的速度为1 cm/s,所以点P 到达点B 所需的时间为6÷2=3(s),点 Q 到达点D 所需的时间为10÷1=10(s).又动点 P,Q中有一个到达终点时，另一个随之停止运动，所以t的取值范围为0≤t≤3. (1) 过点Q作QE⊥AB 于点 E,过点A 作AF⊥CD于点F,则∠AEQ=∠AFQ=90°.因为 AB∥CD,∠C=90°,所以∠B+∠C=180°,即∠B=180°-∠C=90°.所以四边形ABCF 是矩形.所以AB=CF.同理,得四边形AFQE 是矩形,所以AE=FQ.因为AB=6cm,所以CF=6cm.又CD=10cm,所以DF=CD-CF=4 cm.又AD=5cm ,所以AF= 所以 EQ=AF=3cm.因为CQ=t cm,所以 FQ=(6-t) cm,即 AE=(6-t) cm.又 AP =2t cm,所以 PE=|6-3t| cm.又PQ=5cm,所以 即( 解得 (舍去).则经过 PQ的长为5cm . (2)不存在.理由如下：假设存在某一时刻，使PD恰好平分∠APQ,则∠APD=∠DPQ.因为 AB∥CD,所以∠APD=∠PDQ.所以∠PDQ=∠DPQ.所以DQ=PQ.因为CQ=tcm,CD=10cm,所以DQ=(10-t)cm.由(1),得 所以 解得 因为 所以上述两解均不符合，假设不成立.则不存在某一时刻，使 PD恰好平分 学科网（北京）股份有限公司 $