湖南长沙市部分校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026年秋季第一次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1．下列计算正确的是 A． B． C． D． 2．在下列函数中表示关于的反比例函数的是 A． B． C． D． 3．如图，，点在直线上，，若，则的度数为 A． B．122° C．112° D．102° 4．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为 A． B． C． D． 5．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是 A．的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 6．对于反比例函数，下列说法不正确的是 A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若点，都在图象上，且，则 7．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为 A． B． C． D． 8．若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是 A． B． C． D． 9．关于二次函数，下列说法正确的是 A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线 C．其最小值为5 D．当时，随的增大而增大 10．如图，一次函数的图象与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，过，两点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，连接，，有下列结论：①的面积等于；②与的面积相等；③；④；⑤，其中正确的个数是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．把多项式分解因式的结果是__________． 12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 13．如图，已知，点在上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是__________度． 14．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 16．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则方程的解是__________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（6分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20．（8分）如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求矩形的面积． 21．（8分）如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时的取值范围； （3）在轴上是否存在一点，使得最小？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（9分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 23．（9分）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙月饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙月饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 24．（10分）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； （2）线段的“最优郡值”为3，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为7，求的值． 25．（10分）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $