专题07 几何图形初步认识压轴满分题（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07几何图形初步认识压轴满分题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1线段的和差问题 题型2线段中点问题 题型3线段动点问题 题型4三角板中角度计算问题 题型5几何图形中角度计算问题 题型6与余角、补角有关的计算 题型7角平分线有关的计算问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1线段的和差问题 1.如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形.现将长方形EFGH放置于大 长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形)，如图2所示.已知AB=10,BC=8, 四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为() 图1 图2 A.20 B.24 C.26 D.28 2.在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5,求AD的长. 3.如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该 点为这条折线的“折中点”，已知点D是图中折线A一C-B的“折中点”，请解答以下问题： 1/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)①若AC=10,BC=6,点D在线段 (填“AC”或“BC”)上： ②若AC=8,且AC<BC,CD=3,则BC的长度为 (2)若E为线段AC的中点，EC=8,CD=6,求CB的长度， 4.如图，线段AB=10,CD=4,CD在线段AB上运动，E为AD的中点，F为BC的中点. A EC F D B (1)若AC=4,求EF的长： (2)判断EF的长是否为定值，并说明理由： (3)当EC-FD=1时，求AC的取值范围. 5.在直线I上顺次取A,B,C三点，使得AB=m,BC=n,点O是线段AC的中点. A O B C (1)若m=8,n=6,①求0B的长： ②在射线AC上有一点R,使符CF=号AC,*3部的值： AF (2)在多彩多姿的几何世界中存在着一种名叫“膨胀系数”的数，若一条线段的长度乘以“膨胀系数”k后， 线段的长度就会变为原来长度的k倍，膨胀后的线段保持一个端点位置不变的同时，它还会向另一个端点 的延长线方向延伸，如果线段OB膨胀后得到新线段OB,且膨胀系数k=6,若点C为AB的中点时，求m 和n之间的数量关系 ◆题型2线段中点问题 G.如图，点C是线段AB上一点，且BC=号AB,点M和点V分别是线段AC和线段AB中点 M NC B (1)若AC=18,求线段MN的长： (②)若NC=4,求线段MB的长. 7.综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动， 【问题情境】 如图，点A,B,C,D在同一条直线I上，AB>CD,点M为线段AD中点，点N为线段CB中点.探究线 2/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 段MN,AB,CD之间的关系. 【特例探究】 (I)如图1，点C,D在线段AB上，点M为AD中点，点N为CB中点. AC MN D B I 图1 列表分析线段AB,CD,MN之间的关系. 线段AB,CD,MN之间的关系分析表 特例序号 AB CD MN ① 6 4 1 ② P ③ 10 6 b 表格中，数据a= b= 【推理论证】 (2)在(1)的条件下，若线段AB=m,CD=n,请用含m,n的式子表示MN的长，并说明理由； 【拓展运用】 (3)若点C,D在直线I上运动，且点C始终在点D的左侧，线段MN,AB,CD之间的关系是否发生变 化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出MN,AB,CD之间的关系式. A BI 备用图 8.已知点C在线段AB上，AC=2BC,线段DE在直线AB上移动（点D,E不与点A,B重合）. D C E B C B 备用图1 C B 备用图2 (1)若AB=15,DE=6,线段DE在线段AB上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为BC中点时，求AD的长； ②点F(不与点A,B,C重合)在线段AB上，AF=3AD,CF=3,求AE的长： ②若AB=2DE,CE=号BC,请直接写出BD与CD存在的数量关系， 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.将一条长为60Cm的卷尺AB铺平后折叠（卷尺无弹性，折叠处长度忽略不计），使卷尺与自身一部分 重叠 A 0 10 20 30 40 50 60 0 60 M 图2 图1 如图1，若将卷尺AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A,B处 (1)若A,B恰好重合于一点，则MN= cm: (2)若A,B不重合且AB=20Cm,求MN的长度；（请画线段图并写出简明的推理过程） (3)如图2，若将卷尺一端A折叠后落在A处，点A在点B的左侧，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边 垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段，若这三段长度由短到长的比为：2：3，则折痕对应的刻度是 cm. 10.点C、D是线段AB上的两点，若AC=4,CD=8,DB=3, (1)如图，求图中所有小于线段AB的线段的长度和. (2)若点C在射线BA上，点D在直线AB上，点M、N分别为线段AC、DB的中点，求线段MN的长度. D B ◆题型3线段动点问题 1.如图，已知线段AB,龙长线设BA全C,传CB号AB, A B (I)请根据题意将图形补充完整.直接写出AC= AB; (2)设AB=9cm,点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s,ICm/s的速度沿直线AB向左运动. ①当点D运动到线段AB上，求AD与CE的数量关系，并说明理由； ②在点D,E沿直线AB向左运动的过程中，M,N分别是线段DE,AB的中点.当点C恰好为线段BD的 三等分点时，求MN的长， 12.如图，点C,D,E都在直线AB上，C是线段AB的中点，E是线段CB的中点，CE=4. A D CE B (①)当点D在线段AC上且AD:DC=1:3时，求DC和AB的长. (2)若P是直线AB上的动点，动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着AB的方向运动，运动时间 为t秒. 4/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①已知另一动点Q从点E出发，以2个单位长度/秒的速度沿着EA的方向同时运动.是否存在PB=QB？若 存在，求出此时运动的时间t;若不存在，请说明理由， ②当动点P在线段AC上运动时，M,N分别是线段AC和BP的中点，试判断AB-CP与线段MN之间的数 量关系，并说明理由 13.如图，点A,B在数轴上所对应的数分别为一5,7（单位长度为1cm),P是A,B间一点，C,D两 点分别从点P,B出发，以1Cm/s,2cm/s的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP 上)，运动的时间为tS, D B -5 01 (1)AB= cm (2)若点C,D运动到任一时刻时，总有PD=2AC,请求出AP的长， (3)在(2)的条件下，Q是数轴上一点，且AQ-BQ=PQ,求PQ的长， 14.如图，点M是线段AB上一定点，AB=36cm,C,D两点分别从点M,B出发以1Cm/s,2cms的速 度在线段AB上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上），若一个点到达 终点时，运动停止.下列结论，错误的是() D B A.若AM=12cm,当点C,D运动了6s,此时AC=6cm,DM=12cm; B.当点C,D运动了ts时，求AC+MD的值为36-3tcm: C.若点C,D运动时，总有MD=2AC,则AM=12cm: MN1 D.若MD=2AC,N是直线AB上一点，且AN-BN=MN,则AB-3 AC」 15,【概念学习】点c在直线AB上，若AB-a,则称a是点c在直线AB上的“求真值”，记作 QZ A,Bc=a. 微幽，者行则点在线AB上的球位”写记Q2A,B-子：名咒子 .AM 1 B=号，故点D在直线AB上的“求真值”是，记作QZA,B加 ←一 A衣MDB 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【理解与应用】 (1)已知点M在线段AB上，若AB=5,AM=2.5,则QZA,BM=一；若 BM=7,QZA,BM3则AB= (2)如图，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从MB出发以1cm/S、3Cm/s的速度沿直线BA向 左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)，若点C、D运动时，总有MD=3AC, ①求QZA,BM的值： ②若N是直线AB上一点，且AN-BN=MN,求QZA,BN的值. ◆题型4三角板中角度计算 16.点O为直线AB上一点，过点O作射线0C,使∠BOC=65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处 M N B 图1 图2 图3 (I)如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=_; (2)如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角 ∠BON和∠CON的度数； ③将三角板MON绕点O在AB上方逆时针能转至图③时，∠NOC-子∠AOM,求∠NOB的度数。 17.如图1，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点0处，∠B0A=90°，∠COD=60°，OC与0B重 合，OD在∠AOB外，射线OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线 B B D M M 图1 图2 (1)求∠MON的度数： (2)如图2，若保持三角尺AOB不动，三角尺COD绕点O逆时针旋转n°(0<n<90°且n60°)时，其他条 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 件不变，求∠MON的度数： (3)直接写出∠COD绕点O逆时针旋转n°(0<n<360°且n90°，n60°)时∠MON的值： (4)在旋转的过程中，当∠AOC+∠BOD=120°时，直接写出∠BOC的值. 18.某校七(1)班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有45°角的直角三角板和含有30°角的 直角三角板尝试完成探究. B MA DN M DN M DN 图1 图2 图3 如图1，边OA,OD与直线MN重合，∠AOB=45°，∠COD=60°，图2在图1的基础上，保持三角板 COD不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度C. (1)如图2，当∠AOD为直角时，求∠BOC的度数： (2)如图3，在转动过程中两块三角板都在直线MN的上方，当OC平分由OA,OB,OD其中任意两边组成 的角时，请直接写出旋转角a(即∠MOA)的度数. 19.综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问.一把含45°角的直角三角板AOB的直角顶点O在直线DE上，过点O作射 线0C,使得∠COE=60°，直角三角板AOB的直角边0B从射线OE开始，绕点O以15°/秒的速度顺时针 旋转一圈，设旋转的时间为t秒. 图1 图2 问题解决： (1)如图1，当直角边OB在射线OE上，另一边OA在直线DE的上方，则∠AOC的度数为，∠COD的度 数为_： 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，射线OB恰好平分∠COE,试猜想此时∠AOC与∠AOD之 间的数量关系，并说明理由； 7121 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB,OC,OE中的某一条射线是另外两条射线所夹角的 平分线？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由、 20.如图1，点O为直线MN上一点，过点O在直线MN的下方作射线OC,将一个直角三角板的直角顶点 放在O处，一边OB和射线OM重合，另一边OA在直线MN的上方. 图1 图2 图3 (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2情形，此时∠AOM=30°，OB恰好平分∠MOC,求 ∠COB的度数： (2)若∠M0C=120° ①将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线OA恰好平 分∠NOC,求t的值： ②将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图3情形，使OA在∠NOC的内部，∠BON=o,∠AOC=阝， 求Q与之间的数量关系。 ◆题型5几何图形中角度计算 21.如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DBE叠合在一起，边AB与DB重合，BM,BN分别是 ∠ABE,∠EBC的平分线，现将三角板DBE绕点B按逆时针方向旋转（如图2），且0°≤∠ABD<18O° (D)A B D D E N 图1 图2 图3 1)当0°≤∠ABD≤45°时， ①若∠NBC=15°，求∠DBM的度数. ②在运动过程中，试猜想∠DBM与∠NBC的数量关系，并说明理由， (2)如图3，BP平分∠MBN,若∠DBC=4∠NBC,求∠PBC的度数. 22.如图，已知点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB=80°， 8/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠C0D=110°. B 备用图 1)若OB平分∠AOD,求∠AOC的度数： (2)在(1)的条件下，过点O作射线OG,使得∠G0D=90°，求∠BOG的度数： (3)在∠BOD的内部作一条射线OM,射线OM在射线OF的上方，使得∠BOM:∠DOM=3:4,若 5AoE-3∠EOC=90,求F0C7的值 23.已知∠AOC=40°，∠BOD=20°，∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转，点M,O,N在同一 条直线上，OP是∠COD的平分线. P D B D M(A) O N(B) A 图1 图2 (1)如图1，当点A与M点重合，点B与N点重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求∠BOP的 度数 (②)在(1)的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为每秒4°，同时∠AOC从 OM处开始绕点O顺时针方向旋转，转速为每秒2°， ①当旋转 秒时，OC与OD第一次重合： ②直接写出∠AOC与∠BOD第一次从相遇到分开所经历的时间. (3)在(1)的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为每秒4°，同时∠AOC从 OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为每秒2°，如图2所示，当旋转6s时，则∠DOP的度数为 24.【问题初探】 (1)数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如 9/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30°，45°，60°，90° ①小明利用三角尺作出了一个120°的角： ②小乐利用三角尺作出了一个15°的角： 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出度的角（写出一种即可）， 【提出问题】 (2)如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，∠AOB=∠DC0=90°， ∠A=45°，∠D0C=30°，在∠BOD,∠AOC(0°<∠B0D≤180°，0°<∠AOC≤180°)内作射线 OP,OQ,且∠POB=3∠DOP,∠QOA=3∠QOC,则∠POQ=度： 【学以致用】 (3)如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中∠AOB=0,∠COD=B,他 把这两个三角形的顶点O及边OD,OB重合在一起，三角形AOB固定，将三角形COD绕点O顺时针旋转， 当边OC与OA重合时，停止运动.在此过程中，在∠BOD,∠AOC内作射线OP,OQ,使 ∠BOD=3∠POD,∠AOC=3∠QOC.这时，小明说“∠POQ的度数是一个定值，并且可以用a,β 表示出来”；小乐说“∠POQ的度数是一个随机值，无法用@，阝表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的 说法正确，并说明理由， B B 图1 图2 25.如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，M、B、P、A、N五点在同 一直线上，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转. D MB ANMB 图① 图② 图③ (1)试说明：∠DP℃=90°： 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD,PE平分 ∠CPD,求∠EPF (3)如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为6°Is.同时三角板PBD的边PB 从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为4°/S,在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时，三角板 ∠CPD 都停止转动)，问∠BPN的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由。 ◆题型6与余角、补角有关的计算 26.如图，射线0OC是钝角∠AOB内部的一条射线，射线OD平分∠BOC 备用图 (1)若∠AOC和∠COD互余，∠B0C=120°，求∠AOC的大小： (2)射线OE在∠AOB的内部，且满足∠COE=2∠AOC, ①若∠BOD=2∠DOE,探究∠AOC与∠AOB的数量关系： ②若∠COE<∠BOD,射线OF在∠BOD的内部，且2∠DOF+∠AOB=9∠AOC,判断OE是哪个 角的平分线？并说明理由. 27.O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方作射线OC,将一块三角板DOE的直角顶点与点O重合， 射线OC和三角板DOE均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线AB上方）· D E B 图1 图2 图3 (1)如图1，∠B0C=65°，当三角板的直角边OE与OB重合时，∠COD= °，∠AOC= (2)如图2，若将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时OE恰好是∠BOC的平分线，试 说明OD也是∠AOC的平分线： (3)如图3，旋转射线OC和三角板DOE,始终满足OC平分∠BOD,当∠AOD=78°时，求∠COE的度 数，并根据结果，猜想旋转过程中∠AOD与∠COE之间的数量关系，并证明. 28.阅读理解：从∠α90<α<180°的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个 角中有一个角与∠C互为补角，则称该射线为∠0的“分补线”.如图，点O在直线AB上，OC、OD在 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线AB上方，且OC⊥OD,则射线OE是∠BOC的“分补线” D B 备用图 (①)若∠AOC=32°，且0E在∠C0D内部，则∠COE=: (2)若OE平分∠AOD,求∠BOD的度数： (3)若OF是∠BOE的平分线，OG是∠AOD的平分线，∠EOF与∠COG的数量关系： 29.定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么 这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线OC,OD在∠AOB的内部，且 ∠COD+∠AOB=90°，则∠COD是∠AOB的内余角， D B B 图1 图2 图3 图4 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=20°，若∠COD是∠AOB的内余角，则∠BOD=_: (2)如图2.已知∠AOB=52°，将0A绕点O顺时针方向旋转一个角度c0°<<60°得到OC.同时将0B 1 绕点O顺时针方向旋转一个角度与c得到OD,若∠COB是∠AOD的内余角，求C的值： (3)把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与0A边重合，OD边与OB边重合，如图4 将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射 线OA,OB,OC,OD构成内余角时，请求出t的值. 30.【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含30°、60°，一块含45°、45°），在 题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 (1)小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，∠0与∠β相等的摆法是 ；∠0与∠β 互补的摆法是 12/21 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ② ③ 图1 【深入探究】 (2)小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=∠B=45°；在△CDE 中，∠E=90°，∠DCE=30°，∠D=60° ①当CD平分∠ACB时，求∠BCE的度数， ②把△ACB绕着点C转动，使得边CB在△CDE内部，分别作∠ACE的角平分线CF和∠BCD的角平分 线CG,如图3，求∠FCG的度数. 【拓展探索】 (3)爱动脑筋的小林改变△ABC和△CDE各个角的度数，其中∠ACB>∠DCE,按如图4所示摆放并 分别作∠ACE的角平分线CF和∠BCD的角平分线CG,把△ABC绕点C旋转一周，请直接写出∠FCG 与∠ACB、∠DCE的数量关系. 图2 图3 图4 ◆题型7角平分线有关的计算 31.综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线.小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角 时，它们所成夹角的大小也有规律 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的 规律？针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 (1)【基础探究】 如图1，已知∠AOB内部有三条射线OC、OE、OP,其中OE平分∠BOC,OF平分∠AOC.若 ∠A0B=180°，∠A0C=120°，则∠E0F的度数为. (2)【发现规律】 如图2，设∠AOB=o,∠AOC=阝(0°<β<o),其中OE平分∠BOC,OF平分∠AOC.猜想 ∠EOF的度数是否随β的改变而改变？请证明你的猜想， (3)【拓展推广】 在(2)的假设条件下，若∠EOB-1∠COB,∠AOF=∠COA,上述猜想是否还成立？若成立， 求出∠EOF；若不成立，请说明理由 32.【问题背景】如图1，线段AB=8,C是线段AB的中点，线段DE=4,且线段DE在线段AB上移动. D BB 图1 图2 图3 【问题探究】 (1)当CE=1时，AE=,BD= (2)当线段DE在线段AB上移动时，探究AE与CD的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图2，在直线AB上方从点C出发引出射线CG,CD,CE,射线CD在CE的右边，且 ∠ACG=110°，∠DCE=80°，CF平分∠DCE ①若∠ACD=20°，求∠FCG的度数； ②已知点C在直线AB上，在直线AB的上方绕点C转动∠DCE,当射线CF在射线CG的左边时，如图3， 求出∠FCG与∠ACD的数量关系， 33.问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平 分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力， 14/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E c b F B B 图1 图2 图3 (1)【特例感知】 如图1，已知线段CD在线段AB上运动，线段AB=10cm,CD=2Cm,点E、F分别是AC、BD的中点. 解答下列问题： ①如图l,若AC=3cm,求EF的长cm;(直接写出结果) ②小聪发现：保持线段CD在线段AB上运动，其他条件不变，则EF的长保持不变.小聪理由如下： E,F分别是AC、BD的中点 ..EC=AC,DF=DB .∴.EF=EC+CD+DF AC+CD号DB 2 AC+DB+CD =L(AB-CD)+CD (AB+CD) 2 ,AB=10cm,CD=2cm不变 EF的长不变： (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE和OF分别平分∠AOC 和∠BOD,则∠EOF与∠AOB、∠COD有数量关系，说明理由， (3)【知识迁移】 如图3，已知∠COD在∠AOB内部转动，若∠AOB=150°，∠COD=30°，∠AOE=k∠EOC, ∠BOF=k∠DOF,求∠EOF=(用含有k的式子表示计算结果). 34.（1)特例感知： 如图①，已知线段MN=34cm,AB=4cm,线段AB在线段MN上运动，C,D分别是AM,BN的中点. ①若AM=16cm,则CD=cm ②在线段AB的运动过程中，线段CD的长度是否发生变化？如果不发生变化请求出CD的长度，如果发生 变化，请说明理由. 15/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)知识迁移： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别 平分∠AOM和∠BON ①若∠MON=150°，∠AOB=30°，则∠C0D=°： ②请你猜想∠AOB,∠COD和∠MON三个角之间有怎样的数量关系， (3)类比探究： 图®∠AOB在乙MONt装动，者∠MONE50,AOB=30AOC8Sk. 直接用含有k的式子表示∠COD的度数： M M C AB D 图① 图② 图③ 35.已知∠AOB=110°，∠COD=50°，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.(本题中的角均为大于0° 且不大于180°的角) E B(C) B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数： (2)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转θ(0不大于70°)时，如图2，∠AOE-∠BOF的值是否 为定值？若是定值，求出∠AOE-∠BOF的值；若不是，请说明理由， (3)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转0(0不大于130°)时，满足∠AOD+∠EOF=5∠COD, 求的大小. 综合攻坚·知能拔高 一、解答题 16/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 L如图，已知线段AB,延长线段BA至点C,使CB=1AB A 的 AC ()请根据题意将图形补充完整，AB的值为 (2)若AB=9cm,点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s,1cm/s的速度同时沿直线AB向左运 AD 动.当点D在线段AB上运动时，求CE 的值， 2.已知点C在线段AB上，AC=2BC,点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧. A D CEB A B 图1 备用图 (1)若AB=18,DE=8,线段DE在线段AB上移动 ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长： ②若点F在线段BC上，且AF=3AD,CE+EF=3,求AD的长： AD+EC (②若AB=2DE,线段DE在直线AB上移动，且满足关系式BE CD 2,求AB的值. 3.如图已知线段AB、CD, CM A B N D (I)线段AB在线段CD上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段AB=6,CD=14,M、N分别为AC、BD的中点，求MN的长. ②MN分别为AC、BD的中点，求证：MN=AB+CD (2)线段CD在线段AB的延长线上，MN分别为AC、BD的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直 接写出结论 4.线段AB和CD在同一直线上，M,N分别是线段AB,CD的中点，己知AB-=6cm,CD=8cm. MN M A(C) B D C B D 图1 图2 (1)当A,C两点重合时，如图1，求MN的长： (2)当C点在线段AB上时，如图2，如果线段AB,CD的公共部分BC=2cm,求MN的长； (3)在(2)的情况下，MN与AB,CD,BC有怎样的数量关系？（直接写出结果） 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.己知：如图，点M是线段AB上一定点，AB=12cm,C、D两点分别从MB同时出发以1cm/s、3cm /s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上) A C M D B (1)若AM=4cm,当点C、D运动了2s,此时AC=,DM=: (直接填空) (2)若点C、D运动时，总有MD=3AC, ①求线段AM的值， MN ②若N是直线AB上一点，且AN-BN=MN,求AB的值 6.已知∠AOB=120°，过点0作射线OC,设∠AOC=C,将射线OC逆时针旋转一定的角度得到射线 OD D 图1 图2 (1)如图1，若∠COD=60°，0°<a<60°，求∠AOD+∠BOC的度数： (2)如图2，若∠C0D=60°，60<0<120° ①求∠BOD的度数（用含a的式子表示）： ②若OE平分∠BOC,试探究∠DOE与∠AOC的数量关系，并说明理由. 7.如图，射线OD在∠AOB内部，射线OC在射线OD左侧，∠AOB+∠COD=180°. D 备用图 (1)当∠AOB=∠COD时，试比较∠AOC与∠BOD的大小，并说明理由； (2)在(1)的条件下，若∠BOD=40°，射线OE,OF分别平分∠AOC与∠BOC,求∠EOF的度数： ()若∠AOB=2∠C0D,OC,OD部在∠A0B内部，过点0作射线OM,使∠COM=专∠A0C,试 探究∠BOC与∠DOM的数量关系. 8.如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC,使∠AOC=50°，将一直角三角板的直角顶点放在 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. B 图1 图2 图2 (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC,此 时∠BON=度： (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM 与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，OA, OC,ON三条射线恰好构成相等的角，则t的值为 (直接写出结果)· 9.已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE. B E 图1 图2 (1)射线OE的位置如图1所示. ①若∠COF=34°，求∠BOE的度数： ②若∠C0F=c0<a<180°，则∠B0E可用含c的式子表示为： (2)射线OE在如图2的位置时，仍设∠COF=c0°<α<180°，则∠BOE可用含a的式子表示为 10.图1，点A,O,B在水平直线上依次排列.从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在 直线AB上与点O重合，该锐角的两边分别为OC,OD,且点O,C,D按顺时针方向排列（边 OC,OD不与直线AB重合).射线OE平分∠AOC,射线OF平分∠BOD. ◇D B 图1 图2 备用图 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠C0D=60°，∠B0F=20.5°，求∠C0E的度数： (2)如图2，若∠DOF=15°，且∠AOE与∠D0F互余，求∠E0F的度数： (3)将三角尺绕点O旋转，使得角平分线OE,OF都在直线AB的下方，求∠EOF的度数的所有可能值， 11.小明利用三角尺进行数学探究活动：如图，将三角板的直角顶点O放置在直线AB上，OC平分 ∠BOM M B 图1 图2 (1)如图1，若∠AOM=36°，则∠C0N= (2)如图2，若OD平分∠BON,求∠COD的度数： (3)小明将三角板从图1的位置开始绕着点O继续旋转，可得到如图所示的三种位置，若∠CON=Q,请分 别写出∠AOM的度数（用含0的代数式表示）. N -B 图1 位置2 位置3 ∠AOM= ∠AOM= ∠AOM= 12.已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC. D E A B 0 B 图1 图2 D (1)如图1.若∠AOC=30°.求∠DOE的度数： (2)在图1中，若∠AOC=a,直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系.写出 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 你的结论，并说明理由。 3.在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段中点的概念与 角平分线的概念相似，甚至它们在题目设计上有类似之处，解题思路可以互相借鉴。 B AMC B 图1 图2 (1)如图1，已知线段AB=6,C是线段AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点. ①若AC=2,则MN的长度为 ②若AC=b,则MN的长度为 “创新”小组的同学类比问题(1)想到了一道有关角的问题，如下： (2)如图2，已知∠AOB=70°，在角的内部作射线0C,再分别作∠AOC和∠B0C的平分线OM、 ON ①若∠AOC=20°，则∠MON的度数为 ②若∠AOC=m°，则∠MON= “领航”小组在“创新”小组的基础上提出以下两个问题： (3)①若C是直线AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点，AB=a,AC=b,求MN的长度： ②若∠AOB=m°，∠AOC=n°，且射线OC在∠AOB的外部，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线 OM、ON,求∠MON的度数？ 21/21西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07几何图形初步认识压轴满分题 内容概览 目常考题型精推突破 题型1线段的和差问题 题型2线段中点问题 题型3线段动点问题 题型4三角板中角度计算问题 题型5儿何图形中角度计算问题 题型6与余角、补角有关的计算 题型7角平分线有关的计算问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1线段的和差问题 1.C 2.AD的长为6或10或16 3.(1)①AC;②14 (2)4或28 4.(1)EF=3: (2 解：EF=3是定值，理由如下： 设AC=X, ..BD=AB-AC-CD=10-x-4=6-x,AD=AC+CD=x+4,BC=AB-AC=10-x, :E为AD的中点，F为BC的中点， AE=AD=x+2.BF=号BC=57x .E-AB-AE-BI-I-x2x3, 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)0sAC≤2或4≤AC≤6. 5.(1)①1：②3或2： (2)m=3n或n=3m. ◆题型2线段中点问题 6.(1)线段MN的长为6 (2)线段MB的长为28 7.q)2.5,2,(2)MN=号m-n,(3)不变，MN=AB-CD &.0)0AD=13 2531 :②AE的长为3或亏 OBD}cD成BD碧CD成EBD岩CD成BD号D 9.(1)30 (2)40cm或20cm (3)20cm或25cm或35cm或40cm. 10.(1)38 (2)MN=7.5或MN=4.5或MN=11.5或MN=8.5 ◆题型3线段动点问题 11.(1) 图形补充完整如图， C A B 1 3: (2)①AD=3CE, 理由：如图， CE A D B :AB9cm,由(1)得，CA=号AB=3cm, 设运动的时间为t秒， ..DA=9-3t)cm,CE=3-t)cm, ∴.AD=3CE ②12cm或24cm. 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(1)DC=6,AB=16 ②Ot=2或t=20:②AB-CP=2MN 5 13.(1)12;(2)4cm;(3)4cm或12cm 14.D 121 15.(02,2 1 3.5 ◆题型4三角板中角度计算 16.(1)25 (2)∠BON=40°，∠CON=25° (3)∠NOB=70° 17.(1)75°： (2)75°； (3)75°或105°： (415°或135°. 18.(1)15°； (2)97.5°、60°或15° 19.(1)30°，120° (2)∠AOC=∠AOD, 理由如下： .∠AOB=90°， ∴.∠BOE+∠AOD=180°-∠AOB=90°，∠B0C+∠AOC=90°， .OB恰好平分COE, .∠BOC=∠BOE, ∴.∠B0C+∠AOD=90°， .∴.∠AOC=∠AOD (3)存在，t的值为2或8或20 20.(1)60° (2)①6或24秒；②0-B=30° 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5几何图形中角度计算 21.(1)①15°： ②∠DBM=∠NBC;理由如下： BN是∠EBC的角平分线， ∴，∠EBC=2∠NBC ∴.∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-2∠NBC, BM平分∠ABE, ∠MBE=∠ABE=45°-∠NBC, .∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°-45°+∠NBC=∠NBC: (2)∠PBC=45°或∠PBC=15° 22.(1)90° (2)10°或170° (3)7 23.(1)80° (2)①20：②10s (3)54° 24.(1)75；(2)90: (3)解：小明的说法正确，理由如下： .'∠BOD=3∠POD,∠AOC=3∠QOC,∠AOB+∠BOD+∠COD+∠AOC=360°， ∴.a+3∠POD+β+3∠Q0C=360°， ∠oD*4Q0C-3360-aBL ∠o0=∠PoD+∠c0D+4Q0c号360a-pl+B=12r-a+号B 25.(1) 证明：，：∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB,∠CPA=60°，∠DPB=30°， ∴.∠DPC=180°-30°-60°=90°； (2)30° 3)不变，2 ◆题型6与余角、补角有关的计算 4/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(1)∠A0C=30° 2 D AOB=9∠AOC或∠AOB=∠AOC: ②解：OE是∠COF的平分线.理由如下： ,∠COE<∠BOD, ∴.OE在OD左侧，如图所示： E -B 设∠AOC=X,则∠COE=2x, ∴.∠BOC=∠AOB-∠AOC=∠AOB-X, .OD是∠BOC的平分线， “C0D3<B0C-A0B-X7∠AOBx. ∠0D=C0D-<C0E-3<A0B-方x2x=3/A0B- .2∠DOF+∠AOB=9∠AOC, ∴.2∠DOF=9∠AOC-∠AOB, ∠D0F-9xA0B. ∠E0E=D0E+E0D-号x号A0B*3A0B号x2x 2 ∴.∠COE=∠EOF, ∴.OE是∠COF的平分线. 27.(1)25;115 (2) 解：OE是∠BOC的平分线， ∠C0B=3∠A0C, .∠BOC+∠COD=90°， :∠C0D=90-∠C0E=3180-∠B0C=7∠A0C, ∴.OD是∠AOC的平分线： 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：∠C0E=39°： 猜想2∠COE=∠AOD;证明如下： .OC平分∠BOD, .∠COD=∠BOC, ∴.∠COD=∠COE+∠BOE,即∠BOE=∠COD-∠COE, .∠E0D=90°， .∠COD=90°-∠C0E, ∴.∠BOE=90°-∠COE-∠COE=90°-2∠COE, .∠AOD+∠B0E=180°-∠D0E=90°， ∴.∠BOE=90°-∠AOD ∴.90°-2∠C0E=90°-∠AOD, ∴.2∠COE=∠AOD. 28.(1)32°；58°； (2)∠B0D=60°： (3)∠E0F+∠C0G=45°或∠E0F=2∠C0G. 29.(1)30° (2)0=21° (3)t的值为7.5秒或52.5秒 30.(①@9：@：2)015：@30：3)∠CG=3∠ACB3∠DCE成 ∠FCG+号∠ACB ∠DCE=180° 2 2 ◆题型7角平分线有关的计算 31.(1)90° (2) 解：猜想∠EOF的度数不随邹的改变而改变，理由如下： .OF平分∠AOC且∠AOC=β， 0c-3<A0C-号. .∠AOB=,∠AOC=β ∴.∠BOC=∠AOB-∠AOC=a-β .OE平分∠B0C, 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 <C0E= 2<B0C=&-B 2 ∴∠EOF=∠FOC+∠COE=E+-B=C 222 ∴.∠EOF的度数不随都的改变而改变： ③)上述猜想依然成立.∠EOF=n⊥。 n 32.(1)3,1: (2)AE=CD.理由如下： 因为AB=8,C是线段AB的中点， 所以AC=BC=号AB=4, 因为DE=4,所以AC=DE=4, 所以AC-EC=DE-EC. 所以AE=CD: (3)①∠FCG=50°：②∠FCG=∠ACD-70° 11 33.006:②2：2 (2) ∠EOF=号∠AOB+号∠COD,理由如下： ,OE和OF分别平分∠AOC和∠BOD, KAOE=∠COE=∠A0C,∠BOF=∠DOF=号∠BOD, ∴.∠EOF=∠EOC+∠COD+∠DOF 3<A0C+号<B0D+∠C0D ∠A0C+∠BOD1+<OD AOB-COD+COD, 3∠AOB+号∠COD, 1 2 120° (3 +k +30° 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.1①16，@16cm,2)090,②∠C0D=∠M0N+∠A0B,(3) 120° +30° 35.(1)80 (2)是定值，80° (3)10°或30° 综合攻坚·知能拔高 1.(1) 补充图形如图①所示. CA B CEA D 图① 图② 3 (2)3 2.(1)①7；②5 啦 3.(1)①10， ②：MN分别为AC、BD的中点， :AM-AC,BN->BD, .AC+BD=CD-AB, ..AM+BN=AC+BD]=(CD-ABl, ..MN=AM+AB+BN--ICD-AB]+AB--ICD+ABl: (2) 不成立： ,MN分别为AC、BD的中点， AM=MC-AC,BN-ND->BD, ①当C点在D点的左侧，点N在点C的右侧时，如图： A M B C N D 或 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A BM D MN=MC+CN =MC+BN-BC -AC+号D-C -号AB+C+2BC+D-Bc (AB+CDl, ②当C点在D点的左侧，点N在点C的左侧时，如图： A BM N C D 或 A NC D MN=AD-AM-DN -AD-ZAG-ZBD =AD-IAD-CDI-IAD-AB) =L(AB+CD); ③当D点在C点的左侧时，如图：， B M N D C 或 A M B N D C MN=CM-CN -方AC-CD+DN -AB+BD+CDI-CD+-BD -(AB-CD); 综上：MN=AB+CDl或AB-CD:故结论不成立. 4.(1)1cm 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)5cm (MN=AB+号CD-BC 1 5.(1)2cm,2cm;(2)①3cm;②2或1 6.(1)180° (2)①∠B0D=0-60°： ②.OE平分∠B0C,∠B0C=∠A0B-∠A0C=120°-0， 2B0E3<B0C-60-3a ∠B0D=a-60°， ∠D0E=∠BOD+∠BOE=3a :∠DOE=号∠AOC。 2 B 7.(1) 解：∠AOC=∠BOD,理由如下： :'∠AOB+∠COD=180°，∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB=∠COD=90°， ,'∠AOC+∠AOD=∠COD=90°，∠BOD+∠AOD=∠AOB=90°， ∴.∠AOC=∠BOD: (2)45°： (3) 解：如图，当OM在OC的右侧时， CM D 入B 设∠COD=X,则∠AOB=2x, 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOB+∠C0D=180°即2x+X=180°， 解得x=60°， ∴.∠C0D=60°，∠AOB=120°， .'∠B0C=∠AOB-∠AOC=120°-∠AOC, ∴.∠A0C=120°-∠B0C, COM= 3 ∠AOC, ∠C0M=3120-∠B0C. :∠D0M=∠COD-∠C0M=60-号|120-∠B0C. ∠DOM=60°-40+}∠B0C, 3 .∠D0M=20+号∠B0C, 3 ∴.3∠D0M-∠B0C=60°： 如图，当OM在OC的左侧时， D -B 0 设∠COD=x,则∠AOB=2X, .:∠AOB+∠C0D=180°即2X+X=180°， 解得x=60°， .∴.∠C0D=60°，∠A0B=120°， .∠B0C=∠AOB-∠AOC=120°-∠AOC, .∴.∠A0C=120°-∠B0C, :∠COM=∠AOC, 3 ∠00M=号120-∠B0C, .'∠DOM=∠COD+∠COM, 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D0ME60+3120°-∠B0C 2D0M=60+40r-号∠B0C, 1 .∠D0M=100°-5∠B0C, 3 ∴.∠B0C+3∠D0M=300°； 综上，3∠DOM-∠B0C=60°或∠BOC+3∠DOM=300°. 8.(1)25 (2) ∠AOM与∠NOC之间满足等量关系为：∠AOM-∠NOC=40°， 理由如下：.'∠MON=90°，∠AOC=50° ∴.∠AOM+∠NOA=90°，∠AON+∠NOC=50°， ∴.∠AOM+∠NOA-∠AON+∠NOC=90°-50°， (3)13或34或49或64 9.(1)①∠B0E=68°；②2a: (2)360°-2o 10.(1)∠C0E=39.5°： (2)∠E0F=120°； (3)∠E0F的可能值为67.5°或75°或60°. 11.(1)18 (2)45°. (3)20;360°-2a;360°-2a. 12.(1)15° a∠D0E-A (3) ∠AOC=2∠DOE. 理由是：，∠BOC=180°-∠AOC,OE平分∠BOC, ∠B0E=2<B0C=-90°-2∠A0C, .∠C0D=90°， :.∠BOD=90°-∠B0C=90°-180°-∠A0C=∠AOC-90°， 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠D0E=∠BOD+∠BOE=∠A0C-90+90-3∠A0C3∠A0C, 即∠AOC=2∠DOE. 13.(1)①3：②3 (2)①35°；②35° ° (3)①MN的长度为号：②∠MON的度数为 13/13 专题07 几何图形初步认识压轴满分题 常考题型·精准突破 题型1 线段的和差问题 题型2 线段中点问题 题型3 线段动点问题 题型4 三角板中角度计算问题 题型5 几何图形中角度计算问题 题型6 与余角、补角有关的计算 题型7 角平分线有关的计算问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 线段的和差问题 1．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】如图，由AB=10，BC=8，得AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，而长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，故AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=6，可得MN+LK+IJ+OP=12，即XW+UV+ST+QR=12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=14，即可求出EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26． 【详解】解：如图： ∵AB=10，BC=8， ∴AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36， ∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形， ∴AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=×12=6， ∴（AB+BC+CD+DA）-（AN+AO）-（BM+BL）-（CK+CJ）-（DI+PD）=36-6-6-6-6=12，即MN+LK+IJ+OP=12， ∴XW+UV+ST+QR=12， ∵四个重叠部分的周长之和为28， ∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=×28=14， ∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）=14+12=26， ∴EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形周长，解题的关键是掌握长方形周长等于长加宽和的2倍． 2．在同一直线上有不重合的四个点，，求的长． 【答案】的长为6或10或16 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和与差进行求解． 根据题意，分（1）点C在B的右侧，点D在C的左侧，（2）点C在B的右侧，点D在C的右侧，（3）点C在B的左侧，点D在C的左侧，（4）点C在B的左侧，点D在C的右侧不同情况画图分别求解即可． 【详解】解：（1）当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图1： ∵， ∴． （2）当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图2： ∵， ∴． （3）当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图3： ∵， ∴，点A、D重合，不合题意． （4）当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图4： ∵， ∴． 综上所述，的长为6或10或16． 3．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”，已知点是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若， ，点在线段_________（填“”或“”）上； ②若， 且，，则的长度为____________． (2)若为线段的中点，， ，求的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义： （1）①根据“折中点”的定义进行求解即可；②根据题意可得当点D在上，根据“折中点”的定义进行求解即可； （2）先根据线段中点的定义得到的长，再分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，点D是图中折线的“折中点”， ∴点D在线段上， 故答案为：； ②如图所示，∵ ∴当点D在上， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为； （2）解：E为线段中点，， ∴． ①点D在线段上时，如图所示， ∵， ∴． ∵D为折中点， ∴． ∴； ②点D在线段上时，如图所示， ∴， ∴． ∴． ∴． 综上所述，的长度是4或28． 4．如图，线段，，在线段上运动，为的中点，为的中点． (1)若，求的长； (2)判断的长是否为定值，并说明理由； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 解：是定值，理由如下： 设， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴； (3)或． 【分析】（1）先求得，和的长，再利用中点的意义，求得和的长，结合图形求解即可； （2）设，同（1）理求解即可； （3）设，则，，， 得到，，得到，，根据，得，得，分当时， 当时，分三种情况讨论，当时，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：设， 则，，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，成立； 当时，，不成立； 当时，，成立． ∴或． ∵， ∴或． ∴的取值范围为或． 【点睛】本题考查了两点间距离，整式的加减的应用，求不等式的解集，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活应用中点的性质，分类讨论，解题是关键． 5．在直线上顺次取三点，使得，点是线段的中点． (1)若，①求的长； ②在射线上有一点，使得，求的值； (2)在多彩多姿的几何世界中存在着一种名叫“膨胀系数”的数，若一条线段的长度乘以“膨胀系数”后，线段的长度就会变为原来长度的倍，膨胀后的线段保持一个端点位置不变的同时，它还会向另一个端点的延长线方向延伸，如果线段膨胀后得到新线段，且膨胀系数，若点为的中点时，求和之间的数量关系． 【答案】(1)①1；②或； (2)或． 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段中的数量关系和和差关系，是解题的关键： （1）①求出的长，根据中点平分线段，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行求解即可； （2）根据新定义，求出的长，中点得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∵， ∴； ①； ②∵， 当点在线段上时，则：，， ∴； 当点在线段的延长线上时，则：， ∴； 综上：或； （2）解：①当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． ◆题型2 线段中点问题 6．如图，点C是线段上一点，且，点M和点N分别是线段和线段中点 (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为6 (2)线段的长为28 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的中点，理解题意是解题的关键． （1）根据可得，由的长度可求得的长，再由线段中点的定义可求得和的长，进而即可求解； （2）设，则，根据题意得，再根据可得，即可求出，进而可求出、的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴ ， ∵N是中点， ∴， ∵M是中点， ∴． ∴ ； （2）解：设， ∵N是中点， ∴， 根据题意得，， ∴ ， ∵， ∴ 解得， ∴， 由（1）得， ， ∵M是中点， ∴， ∴ ． 7．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 8．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长； (2)若，，请直接写出与存在的数量关系． 【答案】(1)①；②的长为或 (2)或或或 【分析】本题考查了两点间的距离，比较难，需要仔细思考和解答． （1）根据已知条件得到，， ①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到； ②如图1，当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论； （2）分点E在点C右侧，点D在点E左右两侧，点E在点C左侧，点D在点E左右两侧共四种情况，分别讨论可得． 【详解】（1）解：，， ，， ①为中点， ， ， ， ； ②如图1， 当点F在点C的右侧时， ， ， ， ； 当点F在点C的左侧时， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． （2）解：①点E在点C右侧，点D在点E左侧时， 如图3所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点E在点C右侧，点D在点E右侧时，如图4所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ③点E在点C左侧，点D在点E左侧时，如图5所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ④点E在点C左侧，点D在点E右侧时，如图6所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或或或． 9．将一条长为的卷尺铺平后折叠（卷尺无弹性，折叠处长度忽略不计），使卷尺与自身一部分重叠．    如图1，若将卷尺沿、点折叠，点、分别落在，处 (1)若，恰好重合于一点，则________； (2)若，不重合且，求的长度；（请画线段图并写出简明的推理过程） (3)如图2，若将卷尺一端折叠后落在处，点在点的左侧，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段，若这三段长度由短到长的比为，则折痕对应的刻度是________． 【答案】(1)30 (2)或 (3)或或或． 【分析】本题主要考查了线段的计算、线段的折叠问题、线段中点的性质， （1）设若，恰好重合于点O，根据线段中点的性质求解即可； （2）根据题意分点落在的左侧和点落在的右侧两种情况讨论，分别根据线段中点的性质和线段的和差求解即可； （3）首先得出三段长度分别为：，，，然后根据题意分6种情况讨论，分别根据线段的和差求解即可． 解题的关键是熟练掌握线段中点的性质，注意审题及分类讨论思想． 【详解】（1）如图所示，设若，恰好重合于点O， ∵， ∴ （2）如图所示，若点落在的左侧，    ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴； 如图所示，若点落在的右侧，    ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 综上所述，的长度为或； （3）∵这三段长度由短到长的比为， ∴三段长度分别为：，，， ①当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ②当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ③当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ④当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ⑤当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； ⑥当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时， 折痕处为：； 综上所述，折痕对应的刻度是或或或． 10．点、是线段上的两点，若，，， (1)如图，求图中所有小于线段的线段的长度和． (2)若点在射线上，点在直线上，点、分别为线段、的中点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查线段的和差．（1）中注意是所有小于线段的线段的长度和，不要漏掉某条线段；（2）中能结合题意分类讨论，画出图形是解题关键． （1）先写出所有小于线段的线段，再利用线段的和差分别求得各自的长度，再求和即可； （2）根据题意，分种情况画出图形，利用线段的和差即可求得线段的长度． 【详解】（1）解：（1）所有小于线段的线段有、、、、， ∵，，， ∴，， 故所有长度小于的线段的长度和等于． （2）当点在点左侧时， ①当点在的延长线上时，，，的长度不可能等于3，此种情况不成立； ②如图，当点在线段上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∵， ∴； ③如图，当点在线段的延长线上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∵， ∴； 当点在点右侧时， ①当点在的延长线上时，，，的长度不可能等于3，此种情况不成立； ②如图，当点在线段上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∴， ③如图，当点在线段的延长线上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ 综上所述，或或或． ◆题型3线段动点问题 11．如图，已知线段，延长线段至C，使． (1)请根据题意将图形补充完整．直接写出________； (2)设，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点D运动到线段上，求与的数量关系，并说明理由； ②在点D，E沿直线向左运动的过程中，M，N分别是线段，的中点．当点C恰好为线段的三等分点时，求的长． 【答案】(1) 图形补充完整如图， ； (2)①， 理由：如图， ∵，由（1）得，， 设运动的时间为t秒， ∴，， ∴. ②或． 【分析】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． （1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出的长，进而求出运动时间，求出、的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴CA＝， 故答案为：； （2）解：①略 ②当时， ∵， ， ∴， ∴， ， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 当时， ∵， ， ∴， ∴， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 综上，的长是或． 12．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    13．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或 【分析】（1）由两点间的距离，即可求解； （2）由线段的和差关系可求解； （3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得． 【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7， ∴线段AB的长度为：7-（-5）=12； 故答案为：12 （2）根据点，的运动速度知． 因为，所以，即， 所以． （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 因为，所以． 又因为， 所以，所以； 如图，当点在的延长线上时， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 14．如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（   ） A．若，当点，运动了，此时，； B．当点，运动了时，求的值为； C．若点，运动时，总有，则； D．若，是直线上一点，且，则． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点； A、根据题意，根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算即可； B、根据题意，当点，运动了，有，，从而求得即可求解； C、由，的运动速度可知，，再由已知条件，求得，所以； D、分情况讨论：①当点在线段上，②当点在线段的延长线上，分别求解可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∵点，运动了，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动， ∴，， ∴，， ∴不符合题意，故此选项错误； B、∵点，运动了， ∴，， ∴，， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； C、由，的运动速度可知，， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； D、①如图所示，当点在线段上时， ∵，由C选项可知：， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴， ∴， 综上可知，或， ∴符合题意，故此选项正确； 故选：D． 15．【概念学习】点C在直线上，若则称a是点C在直线上的“求真值”，记作 例如，如图，若则点M在直线上的“求真值”是记作若则故点D在直线上的“求真值”是记作 【理解与应用】 (1)已知点M在线段上，若，则若则 ． (2)如图，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1、3的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．若点C、D运动时，总有， ①求的值； ②若N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查对新定义的理解，线段的和差计算； （1）由“求真值”的定义可得 ，据此即可求解； （2）①设运动时间为t秒，由，可得，进而得到，即可求出； ②分类讨论：当点N在线段上时，可得，即可求出；当点N在线段的延长线上时，，即可求出. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：，. （2）解：①设运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ②当点N在线段上时，如图： ∵， ∴ ∴， ∴， 当点N在线段的延长线上时，如图： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 综上:或. ◆题型4三角板中角度计算 16．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，则 ； (2)如图②，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数； (3)将三角板绕点在AB上方逆时针旋转至图③时，，求的度数． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，熟练掌握角的等量代换是解题的关键． （1）根据直接运算即可； （2）利用角平分线的定义求出，则，从而得到； （3）由，得到，再由运算解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，是的角平分线， ∴． ∴， ∴ 即，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点逆时针旋转（且，）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义，角度和差等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （）根据角平分线的定义即可求出答案； （）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为或，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 18．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 如图1，边，与直线重合，，，图2在图1的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． (1)如图2，当为直角时，求的度数； (2)如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角（即）的度数． 【答案】(1)； (2)、或 【分析】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的定义及旋转的性质，熟练掌握分类讨论思想和角的运算规则是解题的关键． （1）先根据和求出，再用减去得到． （2）分三种情况讨论平分的角，当平分时；当平分时；当平分时；分别利用角平分线的定义求出，再计算旋转角． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：情况1：平分： ，， ， ∴， ， ∴， ， ； 情况2：平分： 平分，， ∴， ； 情况3：平分： ，， ∴， ∴, ； 综上，旋转角的度数为、或． 19．综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， 理由如下： ， ，， 恰好平分， ， ， ． (3)存在，t的值为2或8或20 【分析】（1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线，结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）略 （3）解：存在； ①如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ②如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ③如图，当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， ． 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线，角的和差，余角的性质，旋转的性质，掌握余角的性质，熟练利用角平分线的定义并结合角的和差进行求解，能根据旋转的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 20．如图1，点O为直线上一点，过点O在直线的下方作射线，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，一边和射线重合，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2情形，此时，恰好平分，求的度数； (2)若． ①将图1中的三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线恰好平分，求t的值； ②将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图3情形，使在的内部，，，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①6或24秒；② 【分析】本题主要考查了三角板旋转过程中角度的计算，角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键． （1）由角平分线的定义和角的计算即可求解； （2）分当线段的延长线平分时，当线段旋转至内部平分时，根据旋转的度数除以旋转速度，即可求解； ②根据、，然后作差，即可求解． 【详解】（1）解：由条件可知， 恰好平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ①当线段的延长线平分时，如图2， 则此时，三角板绕点O逆时针旋转了， ∴（秒）； 当线段旋转至内部平分时，如图3， 三角板绕点O逆时针旋转了， ∴（秒）， 综上所述，t的值为6或24秒． ②∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ◆题型5几何图形中角度计算 21．如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 【答案】(1)①； ②；理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)或 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）①根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；②根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （2）分在的内部和在的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，可知：， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）解：①当在的内部时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∴此时重合， ∵是的平分线， ∴； 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ； ②当在的外部时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上：或． 22．如图，已知点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作射线，使得，求的度数； (3)在的内部作一条射线，射线OM在射线OF的上方，使得，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、角的和与差、邻补角，根据题意画出图形是解题的关键． （1）根据平分得到，利用周角的性质求出的即可； （2）在（1）的条件下，分别讨论在下方和上方时的情况，分别求出的度数即可； （3）由，设，用x表示，设，则，由，用x表示，再分别用x表示，求出比值即可． 【详解】（1）解：由已知，平分，， ∴， ∴ ； （2）当在下方时，， ∴， 当在上方时，， ∴， 的度数是或． （3）由， ∴设， ∴ ， 若， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴． 23．已知，和均可绕点进行旋转，点，，在同一条直线上，是的平分线． (1)如图1，当点与点重合，点与点重合，且射线和射线在直线的同侧时，求的度数． (2)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为每秒， ①当旋转_______秒时，与第一次重合； ②直接写出与第一次从相遇到分开所经历的时间． (3)在（1）的基础上，若从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，同时从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为每秒，如图所示，当旋转时，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到= ，求出的度数即可； （2）①根据旋转的特点和、旋转的速度，结合的度数，即可求得结果； ②根据、旋转的速度，结合、的度数，即可求出结果； （3）根据题意得到，，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， = ， ． 的度数为． （2）∵从处开始绕点逆时针方向旋转，转速为，同时从处开始绕点顺时针方向旋转，转速为， ∵ 与第一次重合的时间为：()； 故答案为：． ② ，， 与第一次从相遇到分开所经历的时间为：()． （3）旋转时，，， ， ， ． 则的度数为 故答案为：． 24．【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如． ①小明利用三角尺作出了一个的角； ②小乐利用三角尺作出了一个的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出 度的角（写出一种即可）． 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，则 度； 【学以致用】 （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数是一个定值，并且可以用，表示出来”；小乐说“的度数是一个随机值，无法用，表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75；（2）90； （3）解：小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个均可得分）； （2）解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （3） 略 25．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、、、、五点在同一直线上，且三角板与三角板均可绕点逆时针旋转． (1)试说明：； (2)如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为．同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【答案】(1) 证明： ，，， ； (2) (3)不变， 【分析】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转，掌握图形旋转的特征是解题的关键． （1）利用直角三角形的内角和直接求得； （2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解； （3）根据图形的旋转，设运动时间为秒，可得，，即可得知是定值． 【详解】（1）略 （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：不变． 设运动时间为秒，则， ，， ， ． ◆题型6与余角、补角有关的计算 26．如图，射线是钝角内部的一条射线，射线平分． (1)若和互余，，求的大小； (2)射线在的内部，且满足， ①若，探究与的数量关系； ②若，射线在的内部，且，判断是哪个角的平分线？并说明理由． 【答案】(1) (2)①或； ②解：是的平分线．理由如下： ∵， ∴在左侧，如图所示： 设，则， ， 是的平分线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 是的平分线． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线定义，是解题的关键． （1）根据角平分线定义求出，根据余角定义得出，再求出结果即可； （2）①分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②设，则，根据角平分线的定义求得，推出，根据，得出，求出， 据此求解即可判断． 【详解】（1）解：∵射线平分，， ∴， ∵和互余， ∴， ∴； （2）解：①或； 当在左侧时，如图所示： ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右侧时，如图所示： ∵射线平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或； ②略 27．O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）．          (1)如图1，，当三角板的直角边与重合时，___________，___________； (2)如图2，若将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果，猜想旋转过程中与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；115 (2) 解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线； (3)解：； 猜想；证明如下： ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）利用互余与互补关系即可求解； （2）由是的平分线得，再由互余得，由此即可得是的平分线； （3）根据，求出，再根据平分，求得，即可求得的度数；猜想，根据角平分线的定义、余角、补角的定义得到，即可说明猜想的正确． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：25；115； （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：略 28．阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．如图，点在直线上，、在直线上方，且，则射线是的“分补线” (1)若，且在内部，则_____； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，与的数量关系：_____． 【答案】(1)；； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据“分补线”的定义与补角定义可得，再由余角定义即可求解； （2）根据“分补线”可得，，根据角平分线的定义可得，由，可得，即得； （3）分两种情况：，或，进行解答即可． 【详解】（1）解：（1）如图，射线是 的“分补线”， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）如图， ∵是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）或； 理由：①在外部，即当时， 由于， ∴， ∵是 的平分线，是 的平分线， ∴， ， ∵， ∴； ②在内部，即当时， 由于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴此情况，重合， ∴， ∴． 综上，或． 29．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据角的和差关系即可得解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）是的内余角， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转得：，， 所以，， 因为是的内余角， 所以， 所以， 解得； （3）解：当在内部时，如图1， 则，， 所以，， 若是的内余角时，则， 所以，无解； 当在射线下方时，如图2， 则，， 若是的内余角，则， 所以， 解得（秒）； 当在上方时，如图3， 则，， 若是的内余角，则， 所以，解得（秒）； 当在内部时，如图4， 则，，， 所以， 若是的内余角，则， 所以，无解； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 30．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 【答案】（1）②③；④；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； （3）分情况讨论：当在内部时，当在外部，且、在上方时，当在外部，且在上方，在下方时，当在外部，且在下方，在下方时，当在外部，且在下方，在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ； （3）当在内部时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且、在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ∴ ， 即此时； 当在外部，且在上方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． ◆题型7角平分线有关的计算 31．综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：猜想的度数不随的改变而改变，理由如下： 平分且， ， ，， ， 平分， ， ， 的度数不随的改变而改变； (3)上述猜想依然成立． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的运算等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （3）根据角之间的关系，易得，，计算化简可得． 【详解】（1）解： ，， ， 平分，平分， ，， 故答案为：； （2）略 （3）解：上述猜想依然成立，理由如下： ，， ，， ， ． 32．【问题背景】如图1，线段，是线段的中点，线段，且线段在线段上移动． 【问题探究】 （1）当时，_____，_____； （2）当线段在线段上移动时，探究与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，在直线上方从点出发引出射线，，，射线在的右边，且，，平分． ①若，求的度数； ②已知点在直线上，在直线的上方绕点转动，当射线在射线的左边时，如图3，求出与的数量关系． 【答案】（1）3，1； （2）．理由如下： 因为，是线段的中点， 所以． 因为，所以， 所以． 所以； （3）①；② 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，角平分线的定义，角的和差运算，熟练地利用数形结合的方法解题是关键； （1）由线段的中点可得，再结合线段的和差关系可得答案； （2）由线段的中点可得，结合，再结合线段的和差关系可得答案； （3）①由角平分线的定义求解，再结合角的和差关系可得答案； ②先求解，，，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：（1）因为线段，是线段的中点， 所以， 因为， 所以， 因为线段，所以， 所以； 故答案为，； （）略 （）①因为平分，， 所以 因为，， 所以． ②．理由如下： 因为平分， 所以． 因为， 所以 所以． 33．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 【答案】(1)①；②； (2) ，理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴ ， ； (3) 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中间点的理解，角的和差关系，角平分线的定义，熟悉掌握运算方法是解题的关键． （1）①利用中点的关系分别求出和的长，即可解答； ②根据中点的关系解答即可； （2）利用角平分线的定义解答即可； （3）利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：①∵点、分别是、的中点． ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点、分别是、的中点． ∴，， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 34．（1）特例感知： 如图①，已知线段，线段在线段上运动，分别是的中点． ①若，则_______． ②在线段的运动过程中，线段的长度是否发生变化？如果不发生变化请求出的长度，如果发生变化，请说明理由． （2）知识迁移： 我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，则_______； ②请你猜想和三个角之间有怎样的数量关系． （3）类比探究： 如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有k的式子表示的度数． 【答案】（1）①16；②；（2）①；②；（3） 【分析】（1）①根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； ②根据线段的中点得到，，求得，可得结论； （2）①根据角平分线的定义得到，，求得，可得结论； ②根据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论； （3）根据已知得，，求得，，可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②不变，理由如下： ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的值为； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 35．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 【答案】(1) (2)是定值， (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意，，由角平分线的定义可得，，由，即可求解； （3）延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，①当在时，射线、都在内部；②当在时，射线、分别在、的内部；③当在时，射线、都在的内部；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，，平分，平分， ，， ； （2）解：的值是定值，为．理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，具体如下： ①当在时，射线、都在内部，由（2）得： ， ； ， ； ， ， ， ，解得； ②当在时，射线、分别在、的内部， 由（2）得：， ， ； 本题中的角均为大于且不大于的角， ， ， ； ， ， ，解得； ③当在时，射线、都在的内部，由（2）得：，，； 本题中的角均为大于且不大于的角， ； ， ，； ， ， ， 解得， 不满足， ③不成立，舍去． 综上所述，或． 综合攻坚·知能拔高 一、解答题 1．如图，已知线段，延长线段至点，使． (1)请根据题意将图形补充完整，的值为________． (2)若，点从点出发，点从点出发，分别以的速度同时沿直线向左运动．当点在线段上运动时，求的值． 【答案】(1) 补充图形如图①所示． (2)3 【分析】（1）画出图形即可求解； （2）设运动时间为，分别求出即可求 【详解】（1）解：略． （2）解：如图②，因为， 所以． 设运动时间为，当点在线段上运动时，点在上运动，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查两点间距离，解决问题的关键是熟练掌握线段两点间距离的求法，线段的中点定义． 2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可； （2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ，， 如图， 为中点， ， ， ； ②如图， ， 点在点的左侧， 点是的中点， ， ， ； 当点在点的右侧，如图 ，， ， ， （不合题意，舍去）， 综上所述，的长为； （2），，满足关系式， 如图，当在点的右侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ； 如图，当在点的左侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ． 故答案为是或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键． 3．如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 【答案】(1)①10， ②∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 不成立； ∵M、N分别为、的中点， ∴， ①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： 或 ； ②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图： 或 ； ③当点在点的左侧时，如图： 或 ； 综上：或；故结论不成立． 【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证； （2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴； ② 略 （2）略 【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论． 4．线段AB和CD在同一直线上，M，N分别是线段AB，CD的中点，已知AB=6cm，CD=8cm． (1)当A，C两点重合时，如图1，求MN的长； (2)当C点在线段AB上时，如图2，如果线段AB，CD的公共部分BC=2cm，求MN的长； (3)在(2)的情况下，MN与AB，CD，BC有怎样的数量关系？(直接写出结果) 【答案】(1)1cm (2)5cm (3) 【分析】（1）先根据中点的定义求出AN、AM，再根据线段和差关系求解即可； （2）先根据中点定义求出AM、DN，再根据线段和差关系求出AD，最后再根据线段和差关系求解即可； （3）由（2）的解题方法求解即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6cm，CD=8cm，A，C两点重合 ∴AM=3cm，AN=4cm， ∴MN=AN-AM=1cm； （2）∵M，N分别是线段AB，CD的中点，AB=6cm，CD=8cm， ∴AM=3cm，DN=4cm， ∵线段AB，CD的公共部分BC=2cm， ∴AD=AB+CD-BC=6+8-2=12cm， ∴MN=AD-AM-DN=12-3-4=5cm； （3）∵M，N分别是线段AB，CD的中点， ， ， ， 即：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点，线段和差关系，利用中点和线段和差关系是解题的关键． 5．已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值， ②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 【答案】（1），；（2）①；②或1 【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得； （2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以； （3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得． 【详解】解：（1）根据题意知，，， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）①根据、的运动速度知：， ， ，即， ， ， ； ②当点在线段上时，如图， ， 又， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ， 又， ， ； 综上所述：或1． 【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解． 6．已知，过点O作射线，设，将射线逆时针旋转一定的角度得到射线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数（用含α的式子表示）； ②若平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴。 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）①根据, 计算求解即可；②由题意可得，由平分，可得，求出的值，然后可求与的数量关系. 【详解】（1）解：∵，， ∴ 。 （2）解：①∵，，， ∴ ； ② 略 【点睛】平面内共顶点的角，若，则． 7．如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使，试探究与的数量关系． 【答案】(1) 解：，理由如下： ，， ， ，， ； (2)； (3) 解：如图，当在的右侧时， 设则， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当在的左侧时， 设则， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上，或 【分析】本题主要考查了角的和差运算、角平分线的定义、角度的设元与代数推导，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质，以及通过设未知数建立角度间的代数关系是解题的关键． （1）已知且，先求出两角的度数，再通过角的和差关系推导与的大小关系． （2）由（1）的结论得，计算出的度数；再利用角平分线的定义求出和，最后通过计算结果． （3）设，由得，结合求出，得到与的度数；再根据得到与的关系；结合，分在右侧、在左侧两种情况，通过角的和差推导出与的数量关系． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ，， ， ， ， ，， ， ； （3）略 8．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时______度； (2)如图，继续将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第秒时，，，三条射线恰好构成相等的角，则的值为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) 与之间满足等量关系为：， 理由如下： ，， ， (3)或或或 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线的定义，用方程解几何问题是常用的方法； （1）由恰好平分得，，再根据互余求出即可； （2）由，可得结论； （3）根据逆时针旋转，得出不同情况下三条射线组成等角，画出相应的图形，利用方程求出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵恰好平分， ∴， ∵ ． 故答案为：． （2）略 （3）解：如图4，设旋转的时间为秒， ①当时， ，解得，； ②当时， ，解得，； ③当时， ，解得，； ④当时， ，解得，；  综上：的值为秒，秒，秒或秒， 故答案为：或或或． 9．已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)射线的位置如图1所示． ①若，求的度数； ②若，则可用含的式子表示为_____； (2)射线在如图2的位置时，仍设，则可用含的式子表示为______． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，灵活运用角平分线的定义是解题的关键． （1）①先求得，再根据角平分线的定义求得，再利用平角的定义求解即可； ②同①的方法即可求得； （2）同（1）①的方法即可求得． 【详解】（1）解：①∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 10．图1，点A，O，B在水平直线上依次排列．从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线上与点O重合，该锐角的两边分别为，且点O，C，D按顺时针方向排列（边不与直线重合）．射线平分，射线平分． (1)若，，求的度数； (2)如图2，若，且与互余，求的度数； (3)将三角尺绕点O旋转，使得角平分线都在直线的下方，求的度数的所有可能值． 【答案】(1)； (2)； (3)的可能值为或或． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，整式加减的应用，互余的含义． （1）先求得，，再求得的度数，再进一步求解即可； （2）先求得，，，再进一步求解即可； （3）分，和三种情况讨论，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵射线平分，射线平分，． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵与互余，，射线平分， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，设，则，， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴ ； 当时，设，则，， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴ ； 当时，设，则，， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴ ； 综上：的可能值为或或． 11．小明利用三角尺进行数学探究活动：如图，将三角板的直角顶点放置在直线上，平分． (1)如图，若，则________； (2)如图，若平分，求的度数； (3)小明将三角板从图的位置开始绕着点继续旋转，可得到如图所示的三种位置，若，请分别写出的度数（用含的代数式表示）． ________； ________； ________． 【答案】(1) (2)． (3)；；． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、三角板中角度计算问题，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）由角平分线的定义得，再结合平角定义、三角板性质求出，最后由即可得解； （2）由角平分线的定义得，，综合，，即可求出的度数； （3）根据不同的位置情况得出的不同组成方式，再结合，即可推得不同情况下的度数． 【详解】（1）解：平分， ， ，且， ， 三角板中， ， 故答案为：； （2）解：平分， ， 平分， ， 由图得，，， ， ， ； （3）解：平分， ， 位置：， ， ， 即， ， ， ， ； 位置：， ， ， ， ； 位置：， ， ， ， ； 故答案为：；；． 12．已知：是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图．若．求的度数； (2)在图中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将图中的绕顶点顺时针旋转至图的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ， 理由是：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）先求出，再求出，根据角平分线求出，代入计算即可； （2）先用表示，再表示，根据角平分线得出，代入计算即可； （3）把当作已知数，先求出，再求出，根据角平分线求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 答：． （2）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 答：． （3）略 【点睛】本题考查角的和差关系，几何图形的旋转，代数式表示角度，角平分线的性质，利用平角、直角的性质，推导各角之间的数量关系是解题关键． 13．在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段中点的概念与角平分线的概念相似，甚至它们在题目设计上有类似之处，解题思路可以互相借鉴． （1）如图1，已知线段，是线段上的一点，是的中点，是的中点． ①若，则的长度为___________； ②若，则的长度为___________； “创新”小组的同学类比问题（1）想到了一道有关角的问题，如下： （2）如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的平分线、． ①若，则的度数为___________； ②若，则___________． “领航”小组在“创新”小组的基础上提出以下两个问题： （3）①若是直线上的一点，是的中点，是的中点，，，求的长度； ②若，，且射线在的外部，再分别作和的平分线、，求的度数？ 【答案】（1）①3；②3 （2）①；② （3）①的长度为；②的度数为 【分析】本题考查线段中点与角平分线的类比应用，包括线段中点与角平分线的定义，以及线段和角的和差运算，需要根据点或射线的位置分情况讨论． （1）通过线段中点定义求出相关线段长度，再利用线段和差计算； （2）通过角平分线定义求出相关角的度数，再利用角的和差计算； （3）①需分点在线段上、延长线上、延长线上三种情况，结合中点定义计算；②根据角平分线定义和角的和差计算． 【详解】（1）①解：∵，， ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴； 故答案为：3． ②解：∵，， ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴； 故答案为：3． （2）①解：∵，， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． ②解：∵，， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （3）①解：分三种情况讨论： 如图1，当点在线段上时，， ∵是中点，是中点， ∴，， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时，， ∵是中点，是中点， ∴，， ∴； 如图3，当点在线段的延长线上时，， ∵是中点，是中点， ∴，， ∴； 综上，的长度为． ②解：如图，∵，，且在外部， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故的度数为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $