小练2 等式性质与不等式性质、基本不等式-【衡水金卷·先享题】2027年高考数学拿满基础分自主小练

参考答案及解析 →A三BPA手B,而A车B→A∩(CRB)=,故B 符合题意；由(CRB)至(CRA)→A至B,故C不符合 题意；由BU(CRA)=R→A二BAB,而AB→ BU(CRA)=R,故D符合题意.故选ABD. 12.AB【解析】对于A,因为f(x)是定义域为R的单 调递增函数且f(0)=0,所以当x>0时，f(x0)> 0恒成立，当x。0时，f(x0)0恒成立，所以 Hx≠0，x0f(xo)>0恒成立，故A正确；对于B, Hx1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),所以 f(x1)十x1<∫(x2)十x2,故B正确；对于C,设 f(x)=x,则廿x1,x2∈R都有f(x1)一x1= f(x2)一x2=0,故C错误；对于D,例如f(x)=x 是定义域为R的单调递增函数，但∫(0)=0，所以 Hxo∈R,f(xo)≥0，故D错误.故选AB. 13.[-1,十∞)【解析】由题意得p:“3x≥1，x3 -a≤0”为真命题，所以a>x-2在区间[1， 十o0)上有解，又易知y=-兰在区间1，十o)上 单调递增，所以a≥(x-2）,=一1，故a的取值 范围为[-1，十o∞). 14.2或3【解析】由题知，a≠0，因为A∩B=B,所以 B二A,则当a2=4时，a=±2.当a=2时，A={0,4, 8,B={0,4},符合题意；当a=一2时，A={0,4, 4},不符合集合元素的互异性，故a≠一2.当a= a十6时，a=一2（舍）或3.当a=3时，A={0,4,9}, B={0,9},符合题意.综上，a=2或3. 15.(1)a≥2或a≤-2 (2)名<a<0(答案不唯-） (3)a-2 【解析】(1)由方程x2十ax十1=0有实数根，得△= a2一4≥0，解得a≥2或a≤-2，所以“一元二次方程 x2十ax十1=0有实数根”的充要条件是“a≥2或a -2” (2)因为方程(x一a)(x一a一1)=0有一个正实数根 和一个负实数根，所以(a<0, 解得一1<a<0, a+1>0, 故只需取一个更小的范围即为所求，所以“一元二次 方程(x-a)(x-a一1)=0有一个正实数根和一个 负实数根”的一个充分不必要条件可以是一子< <0”. 4=a2-4>0, (3)根据题意得 -a>0, 解得a<-2,所以 1>0, “一元二次方程x2十ax十1=0有两个不相等的正实 2 数学 数根”的充要条件是“a<一2” 16,6【解析】A=(x1,x2,x3,x1),由条件①②知，A 中元素各不相等且x,∈{0,1,2,3}，所以A有以下 24种情况：A=(0,1,2,3),A=(0,1,3,2),A=(0, 2,1,3),A=(0,2,3,1),A=(0,3,1,2),A=(0,3,2, 1),A=(1,0,2,3),A=(1,0,3,2),A=(1,2,0,3), A=(1,2,3,0),A=(1,3,0,2),A=(1,3,2,0),A= (2,0,1,3),A=(2,0,3,1),A=(2,1,0,3),A=(2, 1,3,0),A=(2,3,0,1),A=(2,3,1,0),A=(3,0,1, 2),A=(3,0,2,1),A=(3,1,0,2),A=(3,1,2,0), A=(3,2,0,1),A=(3,2,1,0),因为集合M= (xx=|x,一y:|}有7个真子集，所以集合M有三 个元素，即|x-y|有三种情况.又B=(0,1,2,3), 则满足题意的A有：A=(0,2,3,1),A=(0,3,1,2), A=(1,2,0,3),A=(2,0,1,3),A=(2,3,1,0),A= (3,2,0,1),共6种情况. 小练2等式性质与不等式性质、基本不等式 1,C【解析】因为0<x<4时，所以√/2x(6-x)≤√② ,十(6-2=32，当且仅当x=6-x,即x=3时 2 取等号，所以√2x(6-x)的最大值为3√2.故选C. 2.C【饼析】名-品者a>6,义a,6 m∈(0，十0)，则a十m>0,a-b>0,则ma-> a(a+m) 0,所以牛阳>名，满足充分性：若册>名，则 ma->0,又a,b,m∈(0，+∞)，所以a十m>0, a(a十m) 所以a-b>0,则a>b,满足必要性，所以“a>b”是 十>久"的充要条件.故选C. a+m a 3.B【解析1由题得y-,十=x-1十十山， x-1 因为x∈(1，十∞)，所以x-1>0,产>0，所以 =1叶马1≥2V-10…高 x-1 1=5,当且仅当x一1=马即x=3时等号成立，所 以y一的最小值为散选B 4.A【解析】当x>y>1时，x-y>0,xy>1, ()(。)=y+是=-时 号=(x-w(1-)=yD>0,所 以一>y一成立，即充分性成立：取=29 数学 1,此时满足一号>y一子但>>1不成立，即 必要性不成立.所以“x>y>1”是“一号>y 1”的 充分不必要条件，故选A R方法技巧 比较大小的5种常用方法 (1)作差法：直接作差判断正负即可（常用变形手段：因 式分解、配方、有理化、通分等) (2)作商法：直接作商与1比较大小，注意两式的符号. (3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的 两个函数值，根据函数的单调性比较， :(4)不等式的性质法. :(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比 较大小，从而得出结论： 5.A【解析】设天平左臂长为a,右臂长为b,且a≠b≠ 0,则5a=h0=56,即x=号y=的，所以x十y= 彩+的=5（分+女）≥5×2=10，当且仅当a=6时 等号成立，又a≠b,所以x十y>10.故选A. 6.D【解析】由题可知圆O的半径r=OF=OB= AB-43.oc 108-BC1- abl,则在Rt△OCF中，FC=0C+OF= 2 ()+()=生，图为F0≤C.所以 <√②当且仅当a=6时取等号，放选D 7.A【解析】根据圆的几何性质可得PA上PB,所以 PA十PB=AB=4,由基本不等式链可得√ab≤ ≤√，又PA,PB>0,所以P4P四< 2 PAPB=2,当且仅当PA=PB=2时等号 2 成立，则PA十PB≤2√2，所以PA十PB的最大值为 2√2.故选A. 8.D【解析】因为(x-y)2+2y十1-x十4=(x-y) -2(x-y)+1+x十4=(x-y-1)十x十4≥x十 兰，当且仅当x-y-1=0,即y=-1时，等号成立， 又因为x十1≥2√2·=4，当且仅当x= x 4,即 参考答案及解析 x=2时，等号成立，综上，(x-y)2+2y十1-x十4 的最小值为4，此时x=2,y=1.故选D. 日方法技巧利用基本不等式求最值的条件和配凑方法 一正 “负+负”型可用其相反数，改变不等 号的方向 若没有“和”或“积”的定值形式，则 需配凑转化.常见的配凑转化方法有： 二定 (1)配系数；(2)配常数项；(3)对 分式拆项；（4)对分式分子分母同除 以非零常数 三相等■若等号不成立，则改用函数单调性 提醒：注意配凑过程要进行等价变形；明确目标，即配 凑出和或积为定值。 9.AC【解析】由题易知a>0,c<0,对于A,a-ab= a(a-b)>0,所以a2>ab,A正确；对于B,举反例， a=3,b=-1,c=-2时，b2=1,bc=2,>bc不成 立，B错误；对于C,bc-c2=c(b-c)<0,即bc<c2,C 正确：对于D,举反例，a=2,b=1,c=-3时，a2=4< c2=9,D错误.故选AC. 10.ACD 【解析】对于A,因为a十1一之a= (a-子）广+将>0，所以d+1>号a,故A正确： 对于B-V瓜=2a应 a+b 二6】<0，所以2≤V瓜，故B错 a十b 误：对于C.a>0,b>0,所以(a+b)(日+6） 2+号≥2+2V会·=4，当且仅当 分，即a=b时等号成立，故C正确：对于D,因为a> 0b>0,所以(a+)(+古)=分+合+ab+ ≥4，当且仅当号=名且a6=即a=6=1时等 号成立，故D正确.故选ACD. 11.BCD【解析】对于A,xy=x十2y十6≥2√2xy+ 6,所以(/y-3√2)（√xy十√2）≥0，则xy≥18， 当且仅当x=6,y=3时取等，即xy的最小值为18， 故A错误；对于B,由选项A知xy≥18，所以x+2y =xy-6≥12，故x十2y的最小值为12，故B正确； 对于C,xy=x+2y十6→x(y-1)=2y十6→ 参考答案及解析 (x-2)(y-1)=8,由x(y-1)=2y十6，x>0, 2>0得y-1>0,放x-2>0,令6=y-1>0, a=x-2>0, 则 a>0,b>0,ab=8,所以{ =a+2则2x+y=2a+b y=b+1, 十5≥2√2ab+5=13,当且仅当a=2,b=4,即x= 4,y=5时取等号，即2x十y的最小值为13，故C正 确：对于D.由选项C得2十y=日 4 16 石2≥8石-是子当且仅当8-4 4 b=2,即x=6,y=3时取等号，即1 4 2(y+1)的 最小值为号，故D正确.故选BCD, 12.②③→⑤（或③④→⑤或②④→⑤，写出一个即可） 【解析】由②③→回，因为>0a<0,所以<古 由③④→⑤，因为a<0,a>b,所以ba<0,则1 方6<0，所以日<六由@0→⑤，因为6> b ab 0,a>h,所以a>b>0,所以1-1=二4<0，所以 a b ab }<古故答案为②③→⑤或@①>⑤或®@ →⑤. 13.20200【解析】设矩形的长为xm,则0x22, 菜园的面积为x·0,≤名×(x十40-)= 2 200,当且仅当x=40-x,即x=20时等号成立，所 以当这个矩形的长为20m时，菜园的面积最大，最 大面积为200m2. 14.[4,十o∞)【解析】由于x,y,a>0,故x十y+a x ry √哥=+≥2V=4,当 ≥x+2√y 且仅当y=且x=红，即x=2瓜y=号时，等号 x Iy 成立，故4√a≥8，即a≥4，则a的取值范围 是[4，十∞). 15.解：(1)依题意，当购进产品数量为10万件时，利润 是(80-30)×10-300=200万元. (2分) (2)当0<x≤15时，W(x)=(80-30)x-300= 数学 50x-300; (4分) 当15<x≤30时，不妨设降价t元，则15十0.5t=x, 得到t=2x-30, 所以W(x)=[80-(2x-30)]x-30x-300 =-2x2十80.x-300: (6分) 当x>30时，W(x)=-x 6+100, 2500 50x-300,0x15, 所以W(x) 2x2+80x-300,15<x≤30， -0+100,x>30. 2500 x (8分) (3)由(2)知，当0<x≤15时，W(x)=50x-300,函 数单调递增， 当x=15时，利润最大，此时利润是450万元；(10分) 当15<x≤30时，W(x)=-2x2+80x-300 =-2(x-20)2+500, 当x=20时，利润最大，此时利润是500万元；(12分) 当x>30时，W(x)=-x 20+10 =- (x+10)+25007 x+10J +1010 2500 ≤-2√(x+10)·10 +1010=910, 当且仅当x十10-9即=40时，利润最大，此 时利润是910万元. 因为910>500>450， 所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时 利润是910万元. (15分) 小练3一元二次方程、不等式 1,D【解析】由题得，集合A={x(x十2)(x-4)< 0}={x|-2<x<4},B={x∈Zx≥2，或x≤0}， 所以A∩B={-1,0,2,3}.故选D. 2.A【解析】当k=0时，此时当>时，即满足k 2x十1<0，故k=0符合题意；当k<0时，此时y= kx2-2x十1为开口向下的二次函数，一定存在实数x 使得kx2-2x十1<0成立，故k<0符合题意；当k>0 时，此时y=kx2一2x十1为开口向上的二次函数，要 使存在实数x使得kx2-2x十1<0成立，则△=4- 4k>0,解得0k1.综上可得k<1.故选A.拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 。。。。。。。。。。 小练2等式性质与不等式性质、基本不等式 (建议用时：30分钟满分：88分) 考情分析主要考查：等式与不等式的性质，利用基本不等式求最值、证明不等式以及解决实际问题，其中基本不等式常、 与其他知识综合考查，以解题工具的形式出现. 题型：选择题、填空题为主，基本不等式的应用有时也涉及解答题， 难度：中，其中在解答题中基本不等式与解析几何、导数等知识综合时，难度较大 考频（★★★★）】 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 6.(教材改编题)《几何原本》第二卷的几何代 1.(教材改编题)已知0<x<4,则√2x(6一x) 数法（用几何方法研究代数问题）成了后世 的最大值为 西方数学家处理问题的重要依据，通过这 A司 一原理，很多代数公理或定理都能够通过 B.√2 C.32 D.6 图形实现证明，也称之为“无字证明”.如 2.(教材改编题)已知a,b,m∈(0，十o∞)，则 图，点F在半圆O的圆周上，点C在直径 “a>b"是b十m>b"的 AB上，且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则 a+m a 该图形可以完成的“无字证明”为 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(教材改编题)已知x∈(1，+∞)，则y= Aaa>0,6>0) 亡，牛的小值为 B.a2+b2≥2√ab(a>0,b>0) A.8 B.5 C.4 D.3 C2y画a>0,b6>0 4.(2025江苏联考)“x>>1”是“x-1>y y D.atb a2十b (a>0,b>0) ”的 2 2 7.(教材改编题)已知点P是以AB为直径的 A.充分不必要条件 圆上的任意一点，若AB=2,则PA十PB的 B.必要不充分条件 最大值为 C.充要条件 A.22 B.3 D.既不充分也不必要条件 C.3√2 D.4 5.(2026福建适应性测试)一家商店使用一架 8.(2025湖南衡阳联考)已知x,y∈（0， 两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店 里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码 十∞)，则(x-y)2+2y十1-x+4的最小 放在天平的左盘中，取出xg黄金放在天平 值为 右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后， A.1 B.2 C.3 D.4 再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出y 9.(多选，教材改编题)已知实数a,b,c满足 g黄金放在天平的左盘中使天平平衡；最后 a>b>c,a十b十c=0,则 将两次称得的黄金交给顾客，则 A.a2-ab A.x+y>10 B.x+y=10 B.62>bc C.x+y<10 D.以上都有可能 C.be<c2 D.a2>c2 10.（多选，2025浙江联考)设a>0,b>0,下列15.(15分，2025四川成都质检)2025年成都 不等式恒成立的是 世界运动会是第十二届世界运动会，是由 Ad2+1>0 国际世界运动会协会主办的一项国际性 体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为 玉@ 主.该运动会于2025年8月7日至8月 21 17日在中国四川成都举行，是中国大陆第 C.a+(合+若)≥4 一次举办世界运动会.据调查，国内某公 D.(a+a)(+)≥4 司出售一款2025年成都世界运动会吉祥 物产品，需要固定投人300万元费用.假 11.（多选，教材改编题)已知正实数x、y满足 设购进该款产品全部售出，若以80元的 xy=x十2y十6，则下列说法正确的有 单价出售，可售出15万件，且每降价1元， A.xy的最大值为18 销量增加五千件.若购进该产品数量不超 B.x+2y的最小值为12 过30万件，则经销商按照每件30元成本 C.2x十y的最小值为13 收费；若购进30万件以上，则直接与玩具 D2十1的最小值为号 公司合作，以全新方式进行销售，此时利 润W(x)(万元)与销量x(万件)的关系为 12.(5分，2025长沙段考)给出下列五个论断： ①b<0:②b>0;③a<0;④a>b:⑤1< W(x)=-x- 2500 x+10+1000. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是 云，以其中的两个论断作为条件，一个论断 多少？（利润=销售收人一成本） (2)写出利润W(x)(万元)关于购进产品 作为结论，写出一个正确的命题 (作答时，请按“序号→序号”的格式书写) 数量x(万件)的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最 13.(5分，教材改编题)用一段长为40m的篱 笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 大？此时利润是多少？ 22m,当这个矩形的长（平行于墙面的边） 为 m时，菜园的面积最大，最大 面积为 m2. 14.(5分，2025湖南长沙联考)已知x,y,a> 0,且x十y+4≥8恒成立，则a的取值 范围是