四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高二上学期数学专练：用空间向量研究直线、平面的位置

**基本信息** 聚焦空间向量工具性，以法向量、方向向量为核心，系统构建线面位置关系判定与计算的解题体系，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1-6|法向量定义及求法、方向向量共线判定|从空间向量概念生成，建立坐标法基础| |综合判定|多选7-8|向量数量积判断线面/面面关系|原理推导：通过向量运算转化位置关系| |空间计算|填空9-10|坐标系构建求距离、二面角余弦值|应用拓展：坐标法解决空间度量问题| |综合应用|解答11|面面垂直证明与二面角求解|形成“概念-判定-计算”完整逻辑链|

高2023级2024年秋期数学课时作业（12） 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，坐标平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 3．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 5．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 6．给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α B．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β C．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1 D．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 6．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ） A． B．与平面的夹角的余弦值为 C．是平面PBC的一个法向量 D． 8．如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，，P，D三点共线 B．当时， C．当时，平面 D．当时，平面 8．已知，分别为直线，的方向向量（不重合），，分别为平面，的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 班级 姓名 得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题 9．平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为 ． 10．在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则 ． 10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则二面角C﹣AM﹣N的余弦值为 ．若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是 ． 四、解答题 11．如图，四边形为正方形，平面，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值. 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【详解】 设与轴的方向向量，轴的方向向量，坐标平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故选：C. 2．D 【详解】对于A，因为，，，所以， 假设存在，使得，则，无解，故与不是共线向量，故A错误； 对于B，因为，所以的单位向量为，故B错误； 对于C，因为与， 所以，故C错误； 对于D，不妨设是平面的一个法向量， 则，即，令，则，故，故D正确. 故选：D. 3．A 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 4．D 【详解】因为，所以，解得. 故选：D 5．B 【详解】根据题意，直线的方向向量为， 平面的法向量为，易得， 又直线在平面外，则有． 故选：B． 6．A 【详解】由已知得，∴，解得. 故选：A． 7．D 【详解】A，，A错误. B，不存在实数，使，B错误. C，，，解得，C错误. D，，所以，D正确. 故选：D 8．D 【详解】如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，．    设平面的法向量为， 则      令，得． 设，则． 因为平面，所以， 则，解得，． 故． 故选：D 9．AB 【详解】是平行四边形，，又， 由，得，即，A选项正确； ，，又，则是平面的法向量， 即平面，在平面内射影为， 与平面的夹角为，，B选项正确； ，不是平面PBC的法向量，C选项错误； ，，无解，不成立，D选项错误. 故选：AB 10．ACD 【详解】由题意，如图建系： 则， ， 设，，则， 可得， ， 对于A：当时，则点P为对角线的中点， 根据长方体性质可得三点共线，故A正确； 对于B：当时， ∴，解得， 所以， 则， 因此不正确，故B错误； 对于C：当时，， 设平面的法向量为， ， ∴，， 当时，，，故， ∴，∴， 又平面，∴平面，故C正确； 对于D：当时，可得，， 设平面的法向量为， 则，， 取，则，∴， 而，∴，∴平面，故D正确． 故选：ACD 11．BC 【详解】若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行或垂直的充要条件是它们的方向向量平行或垂直，故选项A错误，B正确； 若两个平面不重合，则空间中面面平行或垂直的充要条件是它们的法向量平行或垂直，故选项C正确D错误． 故选：BC． 12．平面或平面 【详解】由题意，平面的法向量为，向量， 若平面，则成立，若平面，则平面， ∴直线与平面的位置关系为平面或平面， 故答案为：平面或平面． 13．. 【详解】设，连结，因为平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以为中点，又点为的重心，故在上，过作于，由到平面的距离为，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得，，所以， 故答案为：.    14． 【详解】解：延长AM至Q，使得CQ⊥AQ，连接NQ，如图， 由于ABCD﹣A1B1C1D1为正方体， 正方体中有平面，平面，所以，即， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以∠NQC为二面角C﹣AM﹣N的平面角， 而，故， ∴， ∴； 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(m，2，n)（0≤m，n≤2），A(2，0，0)，M(1，2，0），N(0，2，1），A1(2，0，2）， 则，，设平面AMN的一个法向量为，则， 故可取， 又PA1∥平面AMN， ∴， ∴点P的轨迹为经过BB1，B1C1中点的线段， 根据对称性可知，当点P在两个中点时，，当点P在两个中点连线段的中点时，， 故选段PA1的长度范围是． 故答案为：，． 15．（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）证明：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长， 射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 依题意有， 则， 所以，即， 故平面. 又平面， 所以平面平面. （2）解：由（1）有， 设是平面的法向量， 则即，取，则，. 设平面的法向量为， 则即，取，则，， 所以， 故平面和平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求二面角，解题方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系后，用向量的数量积证明线线垂直，得线面垂直，再得面面垂直，用二面角两个面的法向量的夹角来求二面角． 答案第8页，共8页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $