数列大题突破练-2027届高三数学一轮复习

数列大题突破练 一、解答题 1．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 2．数列满足，，. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，求数列的前n项和. 3．已知数列中，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 4．在数列中，，设． (1)求证：为等比数列，并求通项公式； (2)求数列的前项和． 5．已知数列满足，，设． （1）求，，； （2）判断数列是否为等比数列，说明理由；并求的通项公式． 6．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，. (1)证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式. 7．数列的前项和记为,已知 (1)证明:数列是等比数列; (2)求数列的前项和. 8．已知数列的首项，前项和为，且． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式． 9．已知数列的前项和为，且 （1）设，求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式． 10．已知数列的前n项和（n为正整数）． （1）令，求证数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，．是否存在最小的正整数，使得对于都有恒成立，若存在，求出的值．不存在，请说明理由． 11．已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 12．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 13．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 14．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 15．已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 16．设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《数列大题突破练》参考答案 1．（1）证明：[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）. 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； 2．(1)， (2) ， 所以是以为首项，2为公差的等差数列. (3) 【分析】（1）令，，结合递推关系即可求解； （2）利用等差数列的定义证明即可； （3）先用累加法求出，然后用裂项相消法求出. 【详解】（1）令，得； 令，得. （2）略 （3）由（2）得， 所以 ， 所以， 所以. 3． （1）证明：, 于是, 因为， 即数列是以为首项，2为公比的等比数列． 因为，所以. （2） 【分析】（1）利用已知条件推出，说明数列是以2为公比的等比数列．然后求解通项公式． （2）利用分组求和法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 所以. 【点睛】本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 4．(1) 由，又，所以 因为，所以， 所以，因．则， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 可得； (2) 【分析】（1）由题意推得，可得为等比数列，进而求得的通项公式； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，记数列的前项和为， ． 5．（1），，；（2）是，理由见解析，. 【解析】（1）根据递推公式，赋值求解即可； （2）利用定义，求证为定值即可，求出数列通项公式，再求的通项公式. 【详解】（1）由条件可得 将代入得，又， ∴，，即， 将代入得， ∴，即， 又，∴． 综上:，， （2）由条件可得，即，， 又，所以是首项为1，公比为3的等比数列，. 因为，所以. 【点睛】本题考查利用递推关系求数列某项的值，以及利用数列定义证明等比数列，及求通项公式，是数列综合基础题. 6．(1)由题意可知，，，， 所以，即， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，， 因为， 所以，数列是首项、公差为的等差数列，． (2)，． 【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列； (2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）由(1)可知，，， 所以，． 【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题． 7．(1)见解析； (2). 【分析】(1)由，得出，结合等比数列的定义即可得到证明； (2)根据题意求出，利用错位相减法求和即可． 【详解】（1）因为， 又 数列是首项为，公比为的等比数列； （2）由(1)可知， ∴，① ∴，② 由①②得 ． ∴． 8．（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）利用两式相减得，即，，再根据等比数列的定义可证结论； （2）根据等比数列的通项公式可求得结果. 【详解】（1）证明：由得, 当时，． 两式相减得，即， 从而． 当时，，∴． 又∵，∴，从而． 故总有，． 又∵，∴数列是首项为6，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，∴． 【点睛】方法点睛：证明等比数列的常用方法有： 一、定义法：若，且为常数，，则数列为等比数列； 二、等比中项法：若，则数列为等比数列. 9．(1)见证明；(2) 1－ 【分析】（1）通过与作差、整理可知，进而可知数列是以为首项、为公比的等比数列； （2）通过（1）可知，进而可知． 【详解】（1）证明：， ， 两式相减得：， 整理得：， 又， ， 又，即， ， 数列是以为首项、为公比的等比数列； （2）解：由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查由与关系求数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题． 10．（1）见解析；（2）；（3）4. 【详解】试题分析：解：（1）在中，令n=1，可得，即 当时，， . . 又数列是首项和公差均为1的等差数列. --5分 （2） 于是. --8分 (II)由（I）得，所以 由①-②得 12分 故的最小值是4 14分 考点：等比数列，等差数列 点评：解决的关键是等差数列的定义，以及错位相减法的运用，属于中档题． 11．(1)证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 12．(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 13．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 14．(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 15．（1）；（2）. 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 16． （1）［方法一］【最优解】：通性通法 由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即． 证明如下： 当时，成立； 假设时，成立. 那么时，也成立. 则对任意的，都有成立； ［方法二］：构造法 由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以． ［方法三］：累加法 由题意可得，． 由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，． ［方法四］：构造法 ，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即． （2）. 【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知， ［方法一］：错位相减法 ，① ，② 由①②得： ， 即. ［方法二］【最优解】：裂项相消法 ，所以． ［方法三］：构造法 当时，，设，即，则，解得． 所以，即为常数列，而，所以． 故． ［方法四］： 因为，令，则 ， ， 所以． 故． 【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解； 方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式； 方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式； 方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式． （2） 方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法； 方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法； 方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出； 方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $