第14章 全等三角形 小结学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第14章全等三角形小结 【学习目标】 1.掌握全等形、全等三角形的概念，全等三角形的性质； 2.会利用全等三角形的判定定理证明三角形全等； 3.会利用角平分线的性质和判定解决问题。 【知识框架】 【知识巩固】 一、全等三角形的概念与性质 1.全等形特征：①形状相同；②大小相等；③对应边相等、对应角相等. (1)下列各组中的两个图形属于全等图形的是( ) A. B. C. D. 2.概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 性质：全等三角形的对应边、对应角相等。 (2)已知△ABC≌△DEF，且∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则下列说法中正确的是( ) A.AC与DF是对应边 B.AC与DE是对应边 C.AC与EF是对应边 D.不能确定AC的对应边 (3)如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是( ) A.∠BAC=∠DAE B.BC=DE C.AB=AD D.AB=BD 第(3)题图 第(4)题图 点评：对应元素的规律:(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角。 (4)如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠ADB=25O，则 ∠BAC的度数为______. 二、三角形判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 1.(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，B，F，E，D四点共线，BE=DF，∠A=∠C.若要使△ABF≌△CDE，则需要添加的条件是___________(只需添加一个你认为合适的条件即可). 3.如图，已知∠ADC=∠BDC，要判定△ACD≌△BCD，则需要补充的一个条件为___________(只需补充一个). 7.(2025湖北)如图，AB＝AD，AC平分∠BAD. 求证：∠B＝∠D. 8.(2025自贡)如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF. 求证：AE＝BF. 9.(2025淮安)已知:如图,在△ABC和△ADE中，点D在BC上,∠B=∠ADE,AC=AE,∠BAD=∠CAE.求证:△ABC≌△ADE. 10.如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE. (1)求证：△ACD≌△BEC； (2)求证：AB=AD+BE. 三、角平分线的性质与判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上. 数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB ∴∠MOP=∠NOP 第1题图 1.如图，已知AB∥CD，射线AE平分∠BAC，过点E作EH⊥AC于点H，作EF⊥AB于点F，并延长FE交CD于点G，连接CE.若∠AEC=90°，EH=1,则FG的长为 . 2.如图，已知DE⊥AB垂足为E，DF⊥AC垂足为F，BD=CD，BE=CF. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE，请你帮他写出证明过程. 3.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H. (1)若PH=8cm，求点P到直线BC的距离； (2)求证：点P在∠HAC的平分线上. 四、三角形全等判定与性质综合题 1.(2025凉山州)如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为( ) A.56° B.60° C.62° D.64° 2.(2025武汉)如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC.若则AD=CB.从①0A=0C，②∠ABC=∠CDA，③AB=CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由. 3.(2024攀枝花)如图，AB∥CD，AE∥CF，BF＝DE. 求证：AB＝CD. 4.(2025镇江)如图，已知△ABC≌△DEF,边BC与EF、DF分别交于点0、M,AC与EF交于点N,0B=0E. 求证：△MOF≌△NOC. 5.(2024西藏)如图，点C是线段AB的中点，AD＝BE，∠A＝∠B.求证：∠D＝∠E. 6.(2025常州)如图，在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,BD=CE. (1)求证:△ABD≌△ACE; (2)用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF(保留作图痕迹，不要求写作法). 7.(2025河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD. (1)求证：△ABC≌△AFD； (2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD. 参考答案 第14章全等三角形小结 【知识巩固】 一、全等三角形的概念与性质 (1)B (2)A (3)D (4)25° 二、添一个条件使两个三角形全等 1.B 2.∵ BE = DF， ∴BE-EF=DF -EF， 即BF =DE, ∴当添加∠B = ∠D时，利用AAS可判定△ABF≌△CDE; 当添加∠AFB = ∠CED时，利用AAS可判定△ABF≌△CDE; 当添加AB∥CD时，有∠B=∠D，利用AAS可判定△ABF≌△CDE; 当添加AF∥CE时，有∠AFE=∠CEF，可求得∠AFB= ∠CED，利用AAS可判定△ABF≌△CDE; 故答案为:∠B= ∠D(答案不唯一)。 3.∠ACD= ∠BCD或∠A= ∠B或AD=BD(任填一个) 10.证明:(1) ∵∠D+∠A=∠DCE+∠BCE,∠DCE=∠A, ∴∠D=∠BCE， 在△ACD和△BEC中， , ∴△ACD≌△BEC(AAS). (2)∵△ACD≌△BEC, ∴AD=BC,AC=BE, ∴AC+BC=AD+BE,∴AB=AD+BE. 三、角平分线的性质与判定 1.∵AB//CD， ∴∠BAC + ∠ACD =180°， ∵∠AEC =90°, ∴∠CAE + ∠ACE = 90°, ∠FAE + ∠ECG = 90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE = ∠FAE， ∴∠ACE = ∠ECG, ∵AB∥CD，FE⊥AB, ∴EG⊥CD, ∴EG=EH =1, ∵AE平分∠BAC，EH⊥AC，EF⊥AB， ∴EF=EH = 1, ∴FG=EF +FG= 2. 故答案为: 2. 2.证明:(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E = ∠DFC = 90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中， | ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， ∴DE= DF, ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD=∠CAD, ∠AD平分∠BAC; (2)∵∠E = ∠AFD =90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中 ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL), ∴AE = AF, ∵BE=CF， ∴AB +AC= AE-BE+ AF +CF =AE-CF +AE +CF=2AE 3.(1)作PQ⊥BE于Q，如图， ∵BP平分∠ABC，PH⊥BA,PQ⊥BE， ∴PH=PQ =8, 即点P到直线BC的距离为8cm; (2)证明:∵PC平分∠ACE，PH⊥BA，PQ⊥BE, ∴PD=PQ, 而PH =PQ, ∴PD=PH， ∴点P在∠HAC的平分线上. 四、三角形全等判定与性质综合题 1.解:∵∠EAD=∠BAC. ∴∠EAD-∠CAE=∠BAC-∠CAE, 即∠BAE=∠CAD, 在△BAE和△CAD中， (, ∴△BAE≌△CAD(SAS), ∴∠ABE=∠ACD; 如图所示，设AC,BD交于O， ∴∠AOB+∠ABO+∠BA0=180°, ∠COD+∠DCO+∠COD=180°, ∠AOB=∠COD, ∴∠BA0=∠CD0=56°, ∵AB=AC,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°, ∴∠ABC=∠ACB===62°, 故选:C. 2.解:选择①0A=0C， ∵AD∥BC, ∴∠DA0=∠BCO, 在△DAO与△BCO中， ∴△DAO≌△BCO, ∴AD=CB; 故答案为:①0A=0C. 选择②∠ABC=∠CDA. ∵AD∥BC, ∴∠DAO=∠BCO 在△ADC与△CBA中, ∴△DCM≌△CBA, ∴AD=CB. 故答案为:②∠ABC=∠CDA. 3.证明:∵AB∥CD,AE∥CF, ∴∠B=∠D,∠AEB=∠CFD, ∵BF=DE. ∴BE=DF, 在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(ASA), ∴AB=CD. 4.证明:∵△ABC≌△DEF, ∴BC=EF,∠F=∠C, ∵0B=OE, ∴BC-OB=EF-OE, 即OC=OF, 在△MOF和△NOC中, ∴△MOF≌△NOC(ASA). 5.证明：∵点C是线段AB的中点， ∴AC =BC. 在△ACD 与△BCE中， ， ∴△ACD ≌ △BCE(SAS)， ∴∠D=∠E. 6.证明:∵AB=AC, ∴B=∠C. 在△ABD与△ACE中， , ∴△ABD≌△ACE(SAS); (2)解:如图，AF即为所求作. 7. (1)证明:∵∠BAF=∠EAD, ∴∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF, 即∠BAC=∠FAD, 又∵AC= AD, ∠ACB=∠ADB, ∴△ABC≌△AFD; (2)证明:∵△ABC≌△AFD, ∴AB=AF ∵BE=FE. ∴AE⊥BF. 即AC⊥BD. 学科网（北京）股份有限公司 $