第14章、全等三角形·角平分线辅助线构造全等 导学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦全等三角形中角平分线辅助线构造，通过角平分线性质定理引入，梳理垂直构造、截长补短、延长构造三种辅助线类型，搭建从性质应用到构造全等的学习支架，衔接人教版八年级上册第十二章内容。 资料以模型化分类讲解辅助线构造，结合中考真题典例与变式训练，课后巩固题分层设计，帮助学生通过几何直观发现构造方法，发展推理能力，形成模型意识，提升解决全等三角形边角问题的能力。

全等三角形·角平分线辅助线构造 专题导学案 适用年级：八年级（培优） 对应教材：人教版八年级上册第十二章《全等三角形》 课时：2课时 一、模型引入 1. 角平分线性质定理 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 2. 本专题核心思路 通过三种辅助线方式，构造全等三角形，再利用全等性质解决边、角问题。 三类辅助线构造方式如下： 类型 辅助线操作 构造的全等 核心目的 垂直构造 过角平分线上一点向两边作垂线 双垂全等（HL/AAS） 将角平分线条件转化为边相等 截长补短 截长：在长边上截取短边；补短：延长短边至长边 SAS型全等 将分散的线段集中到同一三角形 延长构造 延长交平分线的垂线段，或关联边 全等或等腰三角形 转化角度、转移线段 二、类型一：垂直构造——双垂全等模型 【模型特征】 已知角平分线，从角平分线上一点向角的两边作垂线段，构成两个直角三角形全等。 【核心结论】 若AD平分∠BAC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则： ✅ △AED ≌ △AFD(AAS) ✅ PE = PF、AE = AF ✅ = = 讨论：若模型中点F与点C 重合，上述结论是否成立？ 【典例1】（2025八上·武汉硚口期中） 题目：如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若BD = 5，BC = 8，求DE的长。 【举一反三1-1】（2025八上·汉川期末改编） 题目：如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若AC = 6，BC = 8，求△BDE的周长。 【举一反三1-2】（2025八上·黄冈蕲春期中） 题目：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC =15，DE = 3，AC=4,求AB的长。 三、类型二：截长补短——构造SAS全等 【模型特征】 已知角平分线，通过“截长”或“补短”的方式，将线段转移构造全等三角形。 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，结论△AED ≌ △AED 截长法： 补短法： 【典例2-1】截长法（2025八上·武汉武昌期末） 题目：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C = 2∠B，求证：AB = AC + CD。 【举一反三2-1】补短法 题目：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C = 2∠B，求证：AB = AC + CD。 【举一反三2-2】（2025八上·鄂州期中） 题目：如图，AE⊥BE，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E。求证：AB=AC+BD 四、类型三：延长构造——全等三角形解决边角问题 模型概述 在角平分线问题中，当图形中出现 角平分线 + 垂直 的条件组合时，通过延长构造全等三角形是解决边角问题的核心方法。根据图形特征，可分为两种基本模型： 1、【单延长模型】模型特征 条件：BD平分∠ABC，AD⊥BD，垂足为D，且点D在△ABC内。 辅助线：延长AD交BC于点E。 💡 核心结论：角平分线 + 垂直 → 延长构造 → 全等 → 得中点（AD = DE） 2、【双延长模型】模型特征 条件：BD平分∠ABC，CE⊥BD于E（E在BD上）。 辅助线：延长BA，交CE的延长线于点F。 💡 核心结论：角平分线 + 垂直 → 延长构造 → 全等 → 得等腰△BCF（BC = BF） 【举一反三1-1】单延长模型——求面积 题目（2025八上·荆州期中）：如图，在△ABC的面积为14㎠，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于P，，求△PBC的面积。 【举一反三2-1】双延长模型——求边长 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一动点，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于E，若BD平分∠ABC，求证：CE = 1/2BD。 5、 课后巩固 1、 如图,在△ABC中,∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O.求证：BF+CE=BC. 2、 如图，在△ABC中，AB:AC=3:4,E为AC的中点，AD平分∠BAC交BC与点D，与BE交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，求证△ADC的面积。 3、 如图,AD是△ABC角平分线，求证： S△ABD ∶S△ACD = AB∶AC (1.)完成上面的证助过程； (2)如果AB=3，AC=2，BC=4，求CD的长。 4、 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，交∠ABC的平分线于点E。 (1)求∠BED的度数； (2)过点E作EF⊥AE,交AC于点F,求证：AF+BD=AB。 学科网（北京）股份有限公司 $ 全等三角形·角平分线辅助线构造 专题导学案 适用年级：八年级（培优） 对应教材：人教版八年级上册第十二章《全等三角形》 课时：2课时 一、模型引入 1. 角平分线性质定理 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 2. 本专题核心思路 通过三种辅助线方式，构造全等三角形，再利用全等性质解决边、角问题。 三类辅助线构造方式如下： 类型 辅助线操作 构造的全等 核心目的 垂直构造 过角平分线上一点向两边作垂线 双垂全等（HL/AAS） 将角平分线条件转化为边相等 截长补短 截长：在长边上截取短边；补短：延长短边至长边 SAS型全等 将分散的线段集中到同一三角形 延长构造 延长交平分线的垂线段，或关联边 全等或等腰三角形 转化角度、转移线段 二、类型一：垂直构造——双垂全等模型 【模型特征】 已知角平分线，从角平分线上一点向角的两边作垂线段，构成两个直角三角形全等。 【核心结论】 若AD平分∠BAC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则： ✅ △AED ≌ △AFD(AAS) ✅ PE = PF、AE = AF ✅ = = 讨论：若模型中点F与点C 重合，上述结论是否成立？（答案：成立） 【典例1】（2025八上·武汉硚口期中） 题目：如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若BD = 5，BC = 8，求DE的长。 【思路分析】 · 要求DE，已知角平分线AD，点D在角平分线上； · 根据角平分线性质，点D到角两边距离相等； · DC是D到AC的距离，DE是D到AB的距离，所以DE = DC。 证明过程体现了“垂直构造→利用全等得边相等”的思路。 【规范解答】： 证明： 过D作DF⊥AC于F（实际图中DF与DC重合，因为∠C = 90°，DC⊥AC）。 ∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB（已知）， 在Rt△ADF和Rt△ADE中： AD = AD（公共边），∠DAF = ∠DAE（角平分线定义）， ∴ Rt△ADF ≌ Rt△ADE（AAS）。 ∴ DE = DF = DC（全等三角形对应边相等）。 又∵ BC = 8，BD = 5， ∴ DC = BC − BD = 3 ∴ DE = 3 答：DE的长为3。 【举一反三1-1】（2025八上·汉川期末改编） 题目：如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若AC = 6，BC = 8，求△BDE的周长。 【思路分析】 · 由垂直构造得△ACD ≌ △AED（AAS），对应边相等； · 进一步求出△BDE的周长。 【规范解答】： 证明： 由典例1可知，Rt△ACD ≌ Rt△AED（AAS）， ∴ AE = AC = 6 在Rt△ABC中，AB = √(AC² + BC²) = √(6² + 8²) = 10。 ∴ BE = AB − AE = 10 − 6 = 4 又由全等得DE = DC， △BDE = BD + DE + BE = BD + DC + BE = BC + BE = 8 + 4 = 12 答：△BDE的周长为12。 【举一反三1-2】（2025八上·黄冈蕲春期中） 题目：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC =15，DE = 3，AC=4,求AB的长。 【思路分析】 关键辅助线：过点D作DF垂直AC于点F 。 由垂直构造得△AED ≌ △AFD（AAS），所以DE=DF = 3。 再利用三角形面积公式，结合S△ABC=S△ABD + S△ADC即可求出AB的长 。 【规范解答】： 解：过点D作DF⊥AC于点F。 ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， 在Rt△AED和Rt△AFD中： ∠EAD = ∠FAD，∠AED = ∠AFD = 90°，AD = AD， ∴ △AED ≌ △AFD（AAS） ∴ DE=DF = 3 ∵S△ABC=S△ABD + S△ADC S△ABD =1/2AB∙DE=3/2AB S△ADC =1/2AC∙DF=1/2×4×3=6 ∴3/2AB+6=15 解得AB=6 三、类型二：截长补短——构造SAS全等 【模型特征】 已知角平分线，通过“截长”或“补短”的方式，将线段转移构造全等三角形。 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，结论△AED ≌ △AED 截长法： 补短法： 【典例2-1】截长法（2025八上·武汉武昌期末） 题目：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C = 2∠B，求证：AB = AC + CD。 【思路分析】 · 利用角平分线 + AE = AC + AD公共边 → △AED ≌ △ACD（SAS） · 对应边DE = DC，对应角∠AED = ∠C = 2∠B · 又AE = AC，AB − AE = AB − AC = CD = DE，故△BDE为等腰三角形 · 用外角定理得∠C = 2∠B 证明过程体现了“截长→构造全等→转移边角→得结论”的完整逻辑。 【规范解答】： 证明： 在AB上截取AE = AC，连接DE。 在△AED和△ACD中： AE = AC（截取）， ∠EAD = ∠CAD（AD平分∠BAC）， AD = AD（公共边）， ∴ △AED ≌ △ACD（SAS） ∴ DE = DC、∠AED = ∠C 又∵ ∠C = 2∠B（已知）， ∴ ∠AED = 2∠B ∵ AB = AC + CD、AE = AC ∴ BE = AB − AE = AC + CD − AC = CD = DE ∴ ∠B = ∠BDE（等边对等角）。 在△BDE中，∠AED = ∠B + ∠BDE = 2∠B（外角定理）， ∴ ∠C = 2∠B，与已知条件吻合，且AB = AC + CD成立 ∴ AB = AC + CD 【举一反三2-1】补短法 题目：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C = 2∠B，求证：AB = AC + CD。 【思路分析】 · 补短：延长AC至E，使CE = CD，则AE = AC + CD · 要证AB = AE，只需证AB = AE · 构造△ABD ≌ △AED（SAS）或证明△ABE为等腰三角形 请学生课后独立完成证明。 【举一反三2-2】（2025八上·鄂州期中） 题目：如图，AE⊥BE，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E。求证：AB=AC+BD 【证明思路】 · 利用补短法，在AB上截取点F，令AF=AC，构造△ACE ≌ △AFE9(SAS)，则∠CEF=∠FEA，AC=AF · 由AE⊥BE，通过倒角可得∠FEB=∠DEB · 再证△EFB ≌ △EDB(ASA),则FB=BD 则AB=AF+FB=AC+BD 四、类型三：延长构造——全等三角形解决边角问题 模型概述 在角平分线问题中，当图形中出现 角平分线 + 垂直 的条件组合时，通过延长构造全等三角形是解决边角问题的核心方法。根据图形特征，可分为两种基本模型： 1、【单延长模型】模型特征 条件：BD平分∠ABC，AD⊥BD，垂足为D，且点D在△ABC内。 辅助线：延长AD交BC于点E。 模型证明： 在△ABD和△EBD中： · ∠ABD = ∠EBD（BD平分∠ABC） · BD = BD（公共边） · ∠ADB = ∠EDB = 90°（AD⊥BD，E在AD延长线上） ∴ △ABD ≌ △EBD（ASA） ∴ AD = DE，AB = BE。 💡 核心结论：角平分线 + 垂直 → 延长构造 → 全等 → 得中点（AD = DE） 2、【双延长模型】模型特征 条件：BD平分∠ABC，CE⊥BD于E（E在BD上）。 辅助线：延长BA，交CE的延长线于点F。 模型证明： 在△BCE和△BFE中： · ∠BEC = ∠BEF = 90°（CE⊥BD，F在CE延长线上） · BE = BE（公共边） · ∠CBE = ∠FBE（BD平分∠ABC，F在BA延长线上，∠FBE即∠ABE，而∠CBE即∠CBD，由于BD是角平分线，∠ABE = ∠CBD，但注意∠FBE = ∠ABE，所以∠FBE = ∠CBE） ∴ △BCE ≌ △BFE（ASA） ∴ BC = BF，CE = EF。 💡 核心结论：角平分线 + 垂直 → 延长构造 → 全等 → 得等腰△BCF（BC = BF） 【举一反三1-1】单延长模型——求面积 题目（2025八上·荆州期中）：如图，在△ABC的面积为14㎠，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于P，，求△PBC的面积。 解：如图，延长AP交BC于点D。 ∵BP平分∠ABC（已知） ∴∠ABP = ∠DBP(交平分线定义） ∵AD⊥BP ∴ ∠APB = ∠DPB = 90°（垂直定义） 在△BCE和△BFE中： ∠ABP = ∠DBP BP=BP ∠APB = ∠DPB ∴ △ABP ≌ △DBP（ASA） ∴ AP = DP,S△ABP =S△DBP =1/2S△ABD ∴P是AD的中点 ∴S△APC =S△DPC =1/2S△ADC 由S△ABC = S△ABD + S△ADC =14 可得1/2 S△ABD + 1/2 S△ADC =7 ∵S△PBC = S△BPD + S△DPC=1/2 S△ABD +1/2 S△ADC =7 ∴△PBC的面积为7. 【举一反三2-1】双延长模型——求边长 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一动点，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于E，若BD平分∠ABC，求证：CE = 1/2BD。 证明： 如图，延长CE、BA交于点F, ∵CE⊥BD ∴∠BEC=∠BEF=90°(垂直定义） ,∠DCE+∠CDE=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠BAD=90° ∴∠CAF=90°,∠ABD+∠BDA=90° 又∠CDE=∠BDA ∴∠DCE=∠ABD 在△ABD和△ACF中: ∠ABD=∠ACF AB=AC ∠BAD=∠CAF ∴△ABD≌△ACF(ASA) .∴BD=CF ∵BD平分∠ABC ∴∠CBE=∠FBE 在△BCE和△BFE中: ∠CBE= ∠FBE BE=BE ∠CBE= ∠FBE ∴△BCE≌△BFE(ASA) .∴CE=FE、即CE=1/2CF .∴CE = 1/2BD. 5、 课后巩固 1、 如图,在△ABC中,∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O.求证：BF+CE=BC. 2、 如图，在△ABC中，AB:AC=3:4,E为AC的中点，AD平分∠BAC交BC与点D，与BE交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，求证△ADC的面积。 3、 如图,AD是△ABC角平分线，求证： S△ABD ∶S△ACD = AB∶AC (1.)完成上面的证助过程； (2)如果AB=3，AC=2，BC=4，求CD的长。 4、 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，交∠ABC的平分线于点E。 (1)求∠BED的度数； (2)过点E作EF⊥AE,交AC于点F,求证：AF+BD=AB。 课后巩固题答案： 题目1： 题目2： 题目3： 题目4： : 学科网（北京）股份有限公司 $