14.2全等三角形的判定(2)学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.2全等三角形的判定(2) 【感知数学】 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，如果只有撕坏的一块，你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？你用那块能做出来？ 【新知学习】 前边我们对已知三个条件中，已知两边一角进行探究，得到了两个三角形全等的判定定理. 那么具备两角一边的两三角形呢？ 1.思考：如果两个三角形具备两角一边对应相等，有几种可能情况？ ①两角夹边对应相等. ②有两个角和其中一个角的对边对应相等 ③有两个角对应相等，以及一个三角形中的夹边与另 一个三角形中一对应角的对边对应相等. 2.探究1：两角夹边 在△ABC中，如果AB，∠A，∠B确定了，从直观上看 △ABC的形状、大小就确定了。 在△ABC和△中，=AB，，∠B‘=∠B，那么△A/B/C/与△ABC全等吗？ 如右图，由A’B‘=AB可知，如果使点A’与点A重合，点B’在射线AB上，那么点B‘和点B_______.再由，∠B‘=∠B，可知射线A’C’与射线AC_______，射线B’C’与射线BC_______.这样，△A'B'C’的三个顶点与△ABC的三个顶点分别_______，△A'B'C’与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C'_____△ABC. 归纳：有两个角和它们夹边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”). 用数学语言表达为： 3.例题：已知：∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB. 证明：在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(ASA ). 思路方法：根据ASA，两角和它们的夹边对应相等，直接判断两个三角形全等. 4.试一试： 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE. 5.探究2：如果把已知中的AB=AC改成AD=AE，那么AB和AC相等么？为什么？ 提示：这里的条件能证明三角形全等吗？你会转化吗？ 归纳： 相等的两个三角形全等. (简写成“ ”或“ ”). 用数学语言表达为： 6.例：如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. 求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE=BD＋CE. 证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠ADB=∠CEA=90°， ∴∠ABD＋∠BAD=90°. ∵AB⊥AC， ∴∠BAD＋∠CAE=90°， ∴∠ABD=∠CAE. 在△BDA和△AEC中， ∴△BDA≌△AEC(AAS). (2)∵△BDA≌△AEC， ∴BD=AE，AD=CE， ∴DE=DA＋AE=BD＋CE. 拓展：“一线三等角”是证明三角形全等常见的数学模型，如下图，如果∠1=∠CPD=∠2, 那么易证∠C=∠DPB, ∠D=∠CPA,从而证明△ACP≌△BPD. 【学习检测】 1.如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是( ) A.∠A＝∠D B.AO＝BO C.AC＝BO D.AB＝CD 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( ) A.∠A＝∠D B.∠AFB＝∠DEC C.AB＝DC D.AF＝DE 3.如图，已知AB=AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( ) A.∠B=∠C B.AE=AD C.BD=CE D.BE=CD 4.（2026德州）如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 5.（2026宜宾）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 6.(2024牡丹江)如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 　 　 ，使得AE＝CE.(只添一种情况即可) 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，已知AB∥DE，AB=DE，请你添加一个条件______________，使△ABC≌△DEF. 8.如图，CA=CD，∠ACD=∠BCE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEC. 9.(2025云南)如图，AB与CD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D. 求证:△A0C≌△BOD. 10.(2025福建)如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE=∠CDF，∠ACB=∠ACD.求证：AB=AD. 11.(2025内江)如图，点B、F、C、E在同一条直线上， AC=DF,∠A=∠D,AB∥DE. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若BF=4,FC=3，求BE的长. 12.(2024南充)如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. 求证：△BDE≌△CDA. 13.(2025铜仁)如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE. 参考答案 14.2全等三角形的判定(2) 【新知学习】 4.试一试： 证明：在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(ASA)， ∴AE=AD， 5.相等。 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(AAS)， ∴AB=AC， 归纳：有两个角和其中一个角的对边对应； 角角边；AAS 【学习检测】 1.【答案】B 【解答】解：A、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意； B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意； C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意； D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意； 故选：B． 2.【答案】D 【解答】解：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意； 当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意； 当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意； 当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意； 故选：D． 3.解：.当时，利用定理可以判定； .当时，利用定理可以判定； .当时，得到， 利用定理可以判定； .当时，不能判定； 故选：． 4.【答案】D 【分析】根据尺规作图的步骤，可以得到，，再加上公共边，利用“边边边”判定定理即可证明三角形全等． 【详解】如图： 由作图步骤可知， 在和中， 使用的全等判定方法是三条边分别相等的两个三角形全等． 5. 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，过点作于点， 可证△ACD≌△AED，得到DE=DC，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线，即∠CAD=∠BAD 过点作于点，则=Rt∠ 在△ACD≌△AED ， △ACD≌△AED (AAS) ， ． 6.解：∵CF//AB, ∴∠A=∠ECF，∠ADE = ∠CFE, ..添加条件DE =EF，可以使得△ADE≌△CFE(AAS), 添加条件AD=CF，可以使得△ADE≌△CFE(ASA)， 故答案为:DE= EF或AD=CF(答案不唯一) 7.AC=DF(SAS)，或∠ACB=∠DFE(AAS)，或∠B=∠E(ASA) 8CB=CE(SAS)，或∠B=∠E(AAS)，或∠A=∠D(ASA) 9.证明：在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD(AAS)． 10.证明： ， ． 在和中， ， ， ． 11.【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12.证明：∵点D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∵BE∥AC， ∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA(AAS)； 13.证明：∵AC⊥CE， ∴∠ACE=90° ∴∠BCA+∠DCE=90°， ∵AB⊥BC,ED⊥CD ∴∠B=∠D=90°,∠BCA+∠A=90°， ∴∠DCE=∠A 在△ABC与△CDE中， ∴△ABC≌△CDE(ASA) 学科网（北京）股份有限公司 $