14.3 角的平分线(1)学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3角的平分线(1) 【感知数学】 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗? 【新知学习】 1.通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你对照作法做一做. 已知：∠AOB 求作：∠AOB的角平分线. 作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点MN为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求. 2.做一做，写出你的结论，并给出证明. 如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论. 你得到的结论： . 已知：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的一点. 求证： 证明： 归纳：角的平分线的性质定理(文字语言)： 角的平分线上的点到角的两边的距离 . 用数学语言来表述： ∵ OC是∠AOB的平分线，PA⊥OB，PD⊥OA ∴ PD=PE 3.试一试，你会的！ (1)判断下列推理是否正确： ①∵如左图，AD平分∠BAC(已知)， ∴ BD= CD (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ②∵ 如右图，DC⊥AC，DB⊥AB(已知). ∴ BD= CD (角的平分线上的点到角的两边的距离相等) 归纳：定理的作用：证明线段相等.①+②→③ ①一个点：角平分线上的点； ②二距离：点到角两边的距离； ③两相等：两条垂线段相等. (2)下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则下列图形中能保证PD=PE的是( ). 4.例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC.垂足分别为E，F. 求证：EB=FC. 证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC， ∴DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴EB=FC. 5.例2：如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_____cm. 变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC=4， AB=14，则点P到AB的距离为_______；S△ABP=_______. 例2图 例2变式图 思路方法：题目有角平分线，存在两条垂线段，一般直接应用性质；只存在一条垂线段，就要考虑构造另一条垂线段，再应用性质. 【学习检测】 1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 第1题图 第2题图 2.(2024青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 3.(2023福建)阅读以下作图步骤： ①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD； ②分别以C,D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M； ③作射线OM，连接CM,DM，如图所示. 根据以上作图，一定可以推得的结论是( ) A.∠1=∠2且CM=DM B.∠1=∠3且CM=DM C.∠1=∠2且OD=DM D.∠2=∠3且OD=DM 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为(　　) A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定 5.(2024绵阳)如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，则S△ACD=_______. 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD=3，∠B=45°，则BE的长为______. 第6题图 第7题图 8.如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB于点，点在 上，若∠AFE=，EC=3，则______. 9.(2024湘潭)如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为________. 第8题图 第9题图 10.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 11.已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点，DF⊥AC于点，求证：DE=DF. 12.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC， DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE=CF. 13.在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？ 14.在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他感到自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法，他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，那么BD就是∠ABC的平分线. 有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请说明理由. 参考答案 14.3角的平分线(1) 【感知数学】 解答：△ABC与△ADC中， ∵AB=AD，BC=DC，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(SSS)， ∴∠BAC=∠DAC. 即AE平分∠BAD. 不论∠DAB是大还是小，始终有AE平分∠BAD. 【新知学习】 2.已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO=∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 3.(2)D 5.4 变式：(1)4； (2)由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， S△APB=·AB·PD=28. (3)C⊿PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB =BC+DB=AD+DB=AB=14 【学习检测】 1-5.ACABB 6.【答案】1 【详解】解：作DF⊥AC于点F ∵AD平分∠CAB， ∵DF⊥AC,DE⊥AB ∴DF=DE=1， ∴S△ACD= 故答案为：1． 7.3 8.(删去)如图，作EG⊥AO于点G， ∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，EC=3, ∴EG=EC =3, ∵∠AFE =30°， ∴EF = 2EG =23=6. 故答案为:6。 9.3 10.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离. ∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB， ∴ PM=PE. 同理， PN=PE. ∴ PM=PN=PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 11. [解析] 如图，连接AD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴ △ABD ≌ △ACD(SSS), ∴∠BAD = ∠CAD, 又∵DE⊥AB，DF⊥AC, ∴DE = DF. 12.证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE=DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE=CF. 13.解：从P点垂直向公路和铁路分别修一条路，根据垂直线最短原理，可证该方案最短(若沿PO线修一条路，其实才最短，不过要求的要修2条路) 由于P在AOB的角平分线上，所以可证全等直角三角形，即修的两条路分别是两个全等直角三角形的对应直角边，所以修好的两条路长度相等. 14.解：对， 在Rt△BDC和Rt△BDE中 ∴Rt△BDC≌Rt△BDE (HL) ∴∠CBD=∠EBD. 学科网（北京）股份有限公司 $