14.3 角的平分线 导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“14.3角的平分线”，核心涵盖角平分线性质与判定定理、尺规作图及几何语言规范。通过前置补偿复习全等三角形判定和点到直线距离，情境导入衔接全等三角形知识，以探究活动为支架构建从斜线段到垂线段的认知脉络。 特色在于递进式探究引导学生区分性质与判定，小组合作深化对距离概念的理解，分层作业兼顾基础与拓展。培养几何直观和推理意识，规范几何语言表达，助力学生提升逻辑推理与实际应用能力。

14.3 角的平分线 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1.认识角平分线上任意一点向角两边上点连线的线段关系，学习尺规作已知角的平分线，理解作图的理论依据（SSS）。 2.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；会区分 “角平分线的性质” 与 “角平分线的判定”。 3.分清：“距离” 指垂线段长度，不是斜线段；能规范写出定理的几何语言。 4.会综合全等三角形、角平分线性质 / 判定完成简单证明，提升几何推理能力。 学习重点：课本开篇线段探究；尺规作角平分线；角平分线的性质定理、判定定理；定理几何语言书写。 学习难点：理解斜线段相等和垂线段距离的区别；区分性质与判定；理解 “点到直线的距离是垂线段”；避免直接跳步骤证明。 【前置补偿】 1. 三角形全等判定： 、 、 、 、HL。 2. 点到直线的距离：从直线外一点向直线作 ，________________叫作点到直线的距离。 3. SAS 判定内容：________________________________。 【情境导入】 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明 ，来证明 或角相等。本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上。 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的。我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系。 探究一 如图OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC上的任意一点，M，N 分别是OA，OB上的点，当 OM与ON 满足什么关系时，PM=PN？ 在△OPM 和△OPN 中，OP=OP，∠POM=∠PON。如果 OM=ON，那么△OPM≌△OPN（______），就有 PM=PN。 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM=ON。 点P在∠AOB 的内部，PM=PN。连接OP，可以证明△OPM≌△OPN（______），所以∠POM=∠PON，即点 P 在∠AOB 的平分线上。 思考：上面 PM、PN 是斜线段，不是点到直线的距离。如果让 PM、PN 垂直于角的两边，会得到什么结论？ 探究二 尺规作∠AOB 的平分线 已知：∠AOB，求作：∠AOB 的平分线 OC。 作法：（根据作法，在上图完成作图） (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA 于点 M，交 OB 于点________； (2) 分别以点 M、N 为圆心，的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点； (3) 作射线，射线 OC 就是∠AOB 的平分线。 思考：连接 MC、NC，证明△OMC≌△ONC 的判定依据是________。 探究三 角平分线的性质定理 在角平分线 OC 上任取一点 P，过点 P 作 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E。猜想 PD 与 PE 的数量关系。 已知：OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB。 求证：PD=PE。 证明： ∵ OC 平分∠AOB， ∴________。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°。 在△PDO 和△PEO 中 ∴△PDO≌△PEO(______) ∴ PD=PE。 归纳：证明一个几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的________和________； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示 和 ； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的 的途径，写出证明过程。 角平分线的性质定理：角平分线上的点________________________________。 几何语言模板： ∵点P在∠AOB 的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB ∴________________。 探究四 ：角平分线的判定定理 反过来思考：如果一个点在角的内部，并且这个点到角两边的距离相等，这个点是否在角的平分线上？ 已知：点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。 证明： 角平分线判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，________________。 几何语言模板： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE ∴________________________________。 拓展：角的内部（顶点除外），角平分线可以看成到角两边距离相等的所有点的集合。 探究五 例：△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P。求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； (2)△ABC 的三条角平分线交于一点。 分析：①利用角平分线性质，得到两组垂线段相等，等量代换；②再利用判定定理证明P在∠A 平分线上。 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F。 ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴________。 同理 PE=PF。 ∴________________， 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等。 (2) 由 (1) 可得，点 P 到 AB、AC 距离相等，根据角平分线判定， ∴________________________________。 ∴△ABC 三条角平分线交于一点。 【小组合作】 问题 1：斜线段 PM=PN，是否一定能说明 OP 平分∠AOB？区分斜线段与垂线段（距离）。 问题 2：说一说角平分线性质与判定的题设、结论，二者是什么关系？ 问题 3：三角形三条角平分线交于一点，该点有什么特征？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 【精讲点拨】 🔔1. 斜线段相等≠距离相等；性质、判定中必须具备垂直条件。 🔔2. 尺规作角平分线依据 SSS；半径必须大于 1/2MN，否则两弧无交点。 🔔3. 性质：知平分线→得垂线段相等；判定：垂线段相等→得角平分线。 🔔4. 几何命题证明三步：找已知求证；画图符号化；写推理证明。 课堂笔记： 【课内自测】 1.如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等。（尺规作图，保留痕迹，不写作法） 2.如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF=EG，连接 PF，PG。求证 PF=PG。 3.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB=CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF。求证：FD 平分∠BFE。 4.如图，已知△ABC，BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P。 求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等； (2) 点 P 在∠A 的平分线上。 【分层作业】 A 组【基础过关】复习巩固 1. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F。求证 EB=FC。 2.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE，CD 相交于点 O，OB=OC。求证 ∠1=∠2。 B 组【能力提升】综合运用 3.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是 AD 上一点，PE∥AB，交 BC 于点 E，PF∥AC，交 BC 于点 F。求证：点 D 到 PE 和 PF 的距离相等。 4.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。F 是 OC 上的另一点，连接 DF，EF。求证 DF=EF。 C 组【拓广探索・培优】 5.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 EF，EF 与 AD 相交于点 G。AD 与 EF 垂直吗？证明你的结论。 6. 如图，∠B=∠C=90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC。求证：AE 平分∠DAB。（提示：过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F） 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角的平分线 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 研读课本开篇探究，理解角平分线上点向角两边上点连斜线段的数量关系，体会尺规作角平分线的推导来源，掌握尺规作已知角平分线的完整作法，理解作图依据。 2. 经历探究、证明，掌握角平分线的性质定理；能分清命题的已知、求证，会按课本三步法完成几何命题证明。 3. 掌握角平分线的判定定理，理解性质与判定互为逆命题；分清 “斜线段” 和 “点到直线的距离（垂线段）”。 4. 理解三角形三条角平分线交于一点，交点到三边距离相等；规范书写证明过程。 学习重点：尺规作角平分线；角平分线的性质定理、判定定理；几何命题证明的三步流程。 学习难点：区分斜线段与垂线段距离；分清性质、判定的题设和结论；几何命题的已知、求证转化。 【前置补偿】 1. 三角形全等判定：SAS、ASA、AAS、SSS、HL。 2. 点到直线的距离：从直线外一点向这条直线作垂线，垂线段的长度叫作点到直线的距离。 3. SAS 判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 【情境导入】 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等。本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上。 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的。我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系。 探究一 斜线段探究 OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上任意一点，M、N 分别是 OA、OB 上的点，研究 PM 与 PN 的关系。 思考：当 OM 与 ON 满足什么条件时，PM=PN？ 在△OPM 和△OPN 中，OP=OP，∠POM=∠PON。 如果 OM=ON，那么△OPM≌△OPN（SAS），就有 PM=PN。 反过来，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM=ON。点 P 在∠AOB 的内部，PM=PN。连接 OP，可以证明△OPM≌△OPN（SSS），所以∠POM=∠PON，即点 P 在∠AOB 的平分线上。 思考：上面 PM、PN 是斜线段，不是点到直线的距离。如果 PM、PN 垂直角的两边，会得到什么结论？ 想一想：根据上面结论，如何作一个角的平分线？ 探究二 尺规作已知角的平分线 已知：∠AOB，求作：∠AOB 的平分线 OC。 作法： (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于二分之一 MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 作射线 OC，则射线 OC 为∠AOB 的平分线。 想一想：第二步，为什么半径要大于二分之一 MN？如果小于等于二分之一 MN，两弧在角内部没有交点，无法得到点 C。 思考：连接 MC、NC，作图的理论依据是 SSS。 探究三 角平分线的性质定理 在 OC 上任取若干个点，分别向 OA、OB 作垂线，比较垂线段长度，猜想：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 证明： 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。 求证：PD=PE。 证明： ∵ OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC=∠BOC。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。 在△OPD 和△OPE 中 { ∠AOC=∠BOC ∠PDO=∠PEO OP=OP } ∴△OPD≌△OPE (AAS) ∴ PD=PE。 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 几何语言： ∵点 P 在∠AOB 平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE。 归纳：证明一个几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。 探究四 角平分线的判定定理 思考：交换性质定理的题设和结论，命题成立吗？ 已知：点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。 角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE ∴OP 平分∠AOB。 拓展：角的内部（顶点除外），角平分线可以看成到角两边距离相等的所有点的集合。 探究五 例：△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P。求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； (2)△ABC 的三条角平分线交于一点。 分析：①利用角平分线性质，得到两组垂线段相等，等量代换；②再利用判定定理证明 P 在∠A 平分线上。 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F。 ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴PD=PE。 同理 PE=PF。 ∴PD=PE=PF，即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等。 (2) 由 (1) 可得，点 P 到 AB、AC 距离相等，根据角平分线判定， ∴点 P 在∠BAC 的平分线上。 ∴△ABC 三条角平分线交于一点。 小组合作深度探究 问题 1：斜线段 PM=PN，是否一定能说明 OP 平分∠AOB？区分斜线段与垂线段（距离）。 参考答案：不一定。PM、PN 必须是垂线段（距离）；斜线段相等，缺少垂直条件，不能判定 OP 平分角。 问题 2：说一说角平分线性质与判定的题设、结论，二者是什么关系？ 参考答案：性质：条件：点在角平分线上；结论：点到角两边距离相等。判定：条件：点到角两边距离相等；结论：点在这个角的平分线上。二者互为逆命题。 问题 3：三角形三条角平分线交于一点，该点有什么特征？ 参考答案：交点叫三角形内心，到三角形三边的距离相等。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔1. 斜线段相等≠距离相等；性质、判定中必须具备垂直条件。 🔔2. 尺规作角平分线依据 SSS；半径必须大于 1/2MN，否则两弧无交点。 🔔3. 性质：知平分线→得垂线段相等；判定：垂线段相等→得角平分线。 🔔4. 几何命题证明三步：找已知求证；画图符号化；写推理证明。 课堂笔记： 【课内自测】 1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等。（尺规作图，保留痕迹，不写作法） 解：作∠AOB 的平分线，与直线 MN 的交点即为所求点 P。 2.如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF=EG，连接 PF，PG。求证 PF=PG。 证明： ∵OC 平分∠AOB，P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°。 在△PDF 和△PEG 中 { PD=PE ∠PDF=∠PEG DF=EG } ∴△PDF≌△PEG (SAS) ∴PF=PG。 3.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB=CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF。求证：FD 平分∠BFE。 证明： ∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠DBF=∠DEF=90°。 可证△DFB≌△DFE (AAS)，得到 DB=DE。 又∵DB⊥FB，DE⊥FE，∴FD 平分∠BFE（角平分线判定）。 4.如图，已知△ABC，BF 是△ABC 的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P。求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等； (2) 点 P 在∠A 的平分线上。 证明：过 P 分别作直线 AB、BC、AC 的垂线段。 ∵BF 平分∠CBD，∴P 到直线 AB、BC 距离相等。 ∵CG 平分∠BCE，∴P 到直线 BC、AC 距离相等。 ∴P 到 AB、BC、AC 所在直线距离相等。 根据角平分线判定，P 在∠A 的平分线上。 【分层作业】 A 组【基础过关】复习巩固 1. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F。求证 EB=FC。 证明： ∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。 在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中 { BD=CD DE=DF } ∴Rt△DEB≌Rt△DFC (HL) ∴EB=FC。 2.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE，CD 相交于点 O，OB=OC。求证 ∠1=∠2。 证明： ∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°。 在△BDO 和△CEO 中 { ∠BDO=∠CEO ∠BOD=∠COE OB=OC } ∴△BDO≌△CEO (AAS) ∴OD=OE。 又∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AO 平分∠BAC，即∠1=∠2。 B 组【能力提升】综合运用 3.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是 AD 上一点，PE∥AB，交 BC 于点 E，PF∥AC，交 BC 于点 F。求证：点 D 到 PE 和 PF 的距离相等。 证明： ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。 ∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠FPD=∠CAD。 ∴∠EPD=∠FPD，即 PD 平分∠EPF。 ∴D 到 PE、PF 的距离相等（角平分线性质）。 4.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。F 是 OC 上的另一点，连接 DF，EF。求证 DF=EF。 证明： ∵OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠DPO=∠EPO。 ∴∠DPF=∠EPF。 在△DPF 和△EPF 中 { PD=PE ∠DPF=∠EPF PF=PF } ∴△DPF≌△EPF (SAS) ∴DF=EF。 C 组【拓广探索・培优】拓广探索 5.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 EF，EF 与 AD 相交于点 G。AD 与 EF 垂直吗？证明你的结论。 解：AD⊥EF。 证明： ∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。 在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中 { AD=AD DE=DF } ∴Rt△AED≌Rt△AFD (HL)，∴AE=AF。 在△AEG 和△AFG 中 { AE=AF ∠EAG=∠FAG AG=AG } ∴△AEG≌△AFG (SAS)，∴∠AGE=∠AGF=90°，∴AD⊥EF。 6.如图，∠B=∠C=90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC。求证：AE 平分∠DAB。（提示：过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F） 证明： 过 E 作 EF⊥AD 于 F。 ∵DE 平分∠ADC，EC⊥CD，EF⊥AD，∴EC=EF。 ∵E 是 BC 中点，∴EB=EC，∴EB=EF。 又∵EB⊥AB，EF⊥AD，根据角平分线判定，∴AE 平分∠DAB。 学科网（北京）股份有限公司 $