14.3角的平分线(2) 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3角的平分线(2) 【知识回顾】 1.如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是(　　) A.PD=PE　 B.OD=OE C.∠DPO=∠EPO　 D.PD=OD 第1题图 第2题图 2.如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT=MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是(　 ) A.TQ=PQ　 B.∠MQT=∠MQP C.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT 【新知学习】 1.问题：如图，要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处(在图上标出它的位置，比例尺1：20000)? 在完成这个问题时，有人提出只要作出这个角的平分线，就可以在平分线上找到集贸市场，也有人提出疑问：此题是要求到角两边距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？ 显然，这个问题的应用和角平分线的性质是互逆的.也就是说，要知道这个点是不是在角的平分线上.你是这样的想吗？ 2.请你验证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 归纳：角平分线的判定(文字语言)： 角的内部到角的两边的距离相等的点在 上. 数学语言表述： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴ 点P在∠AOB的平分线上. 3.比较性质与判定： 角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形 已知 条件 OP平分∠AOB PD⊥OA PE⊥OB PD=PE PD⊥OA PE⊥OB 结论 PD=PE OP平分∠AOB 4.动手活动1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线 . 动手活动2：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 结论：过交点作三角形三边的垂线段 . 你能验证这个结论吗？ 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 变式1：如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM=4， (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 5.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上. 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC. ∴FG=FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM=FH， ∴FG=FH. ∴点F在∠DAE的平分线上. 思路方法：欲证明某一点在一个角的平分线上，利用角平分线的判定只需要从这一点向角的两边作垂线，再证明该点到角的两边的距离相等即可.这样把证“点在角平分线上”的问题转化为证“线段相等”的问题，体现了转化思想. 【学习检测】 1.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是(　　) A.SAS B.AAA C.SSS D.HL 2.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　) A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.三边的中垂线的交点 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB=OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上.其中结论正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2024常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( ) A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与l2一定相等 D.l1与l2一定不相等 5.(2022株洲)如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO=______度. 第4题图 第5题图 第6题图 6.如图，已知O为∠A和∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E.若OE=2，则O到AB与O到CD的距离之和= . 7.(2020牡丹江)已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是 度. 第7题图 第8题图 第10题图 8.如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，PE=PF，且∠AOC=50°，则∠EOP的度数为___. 9.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 10.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：EB=FC. 11.如图，点，分别在的两边上，点是内一点，，，垂足分别为，，且，求证：. 12.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC. (1)求证：BD平分∠ABC； (2)若∠A=36°，求∠DBC的度数. 13.如图，在△ABC中，∠C=90°,∠CAD=∠BAD,DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF. (1)求证：DC=DE. (2)若CF=BE，直接写出线段AB,AF,EB的数量关系：________. 14.如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E.求证：AE平分∠FAC. 参考答案 14.3角的平分线(2) 【知识回顾】 1-2.DD 【新知学习】 2. 连接OP，PD，PEOB，，在Rt△OPD与Rt△OPE中，PD=PE，OP=OP，Rt△OPDRt△OPE， POD= 归纳 角的平分线 4.结论 相交于一点 结论 相等 证明：过点P向三角形△ABC作高 BP平分ABC，AB P， =P同理=P，=P=P 点P在AOB的角平分线上. 变式一 （1） 距离和是12 （2） 面积为64 【学习检测】 1-4.DBCA 5.15 6.4 7.35 8.65° 【解析】 ∵∠AOC=50°， ∴∠AOD =180°-∠AOC=130° ∵PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F， ∴△PEO，△PFO是直角三角形， ∵PE = PF,PO= PO, ∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL), ∴∠POE = ∠POF, ∵∠POE +∠POF =∠AOD= 130° ∴∠POE = 65°， 故选:A. 9.解：作∠AOB的平分线OE，交MN于点P，就是超市的位置。 10.分析：首先由角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC(HL)，即可得出EB=FC． 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB.DF⊥AC， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°， 在Rt△BED和Rt△DFC中， BD=CD DE=DF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， ∴EB=FC. 11.证明:连接AD. :DE ⊥AB，DF⊥AC，DE=DF, ∴AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD 和△ACD 中， ( ∴ △ABD ≌△ACD(SAS)， ∴BD=CD. 12.证明:∵DC⊥BC,DE⊥AB，DE = DC， ∴点D在∠ABC的平分线上， ∴BD平分∠ABC. (2)∵∠C =90°，∠A=36°， ∴∠ABC = 54°， BD平分∠ABC, ∴∠DBC= ∠ABD = 27°. 13.(1)证明:∵∠C =90°， DE⊥AB,∠CAD =∠BAD ∴DC = DE; (2)数量关系：AB = AF + 2EB. ∵∠C =∠AED =90°, 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED (AAS), ∴AC=AE, ∵AB=AE+EB, ∴AB=AC+EB, ∵AC= AF+CF,CF = BE, ∴AB = AF+2EB. 14.分析：如图过点E分别作EG⊥BD.EH⊥BA.EI⊥AC，垂足分别为G.H.I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的性质的逆定理可证AE平分∠FAC． 证明：如图所示：过点E分别作EG⊥BD.EH⊥BA.EI⊥AC，垂足分别为G.H.I， ∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA， ∴EH=EG. ∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC， ∴EI=EG， ∴EI=EH(等量代换)， ∴AE平分∠FAC(到角两边距离相等的点一定在角的平分线上). 学科网（北京）股份有限公司 $