14.2全等三角形的判定(5)学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.2全等三角形的判定(5) 【知识回顾】 1.判定两个三角形全等的方法： . 2.如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是 第2题图 第3题图 3.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E， ①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )根据 (用简写法). ②若∠A=∠D，BC=EF， 则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据 (用简写法). ③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据 (用简写法). ④AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”)根据 (用简写法) 【新知学习】 1.前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？ 在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中 ①如果AB=A’B’，∠A=∠A’，那么△ABC≌△A’B’C’吗？ ②如果AC=A’C’，∠A=∠A’，那么△ABC≌△A’B’C’吗？ ③如果AB=A’B’，AC=A’C’，那么△ABC≌△A’B’C’吗？ ④如果AB=A’B’，AC=A’C’，∠C=∠C’≠90°，那么△ABC≌△A’B’C’吗？ 2.探究： 在上题中，如果∠C=∠C’=90°，AB=A’B’，AC=A’C’，那么△ABC≌△A’B’C’全等吗？ 如图，由∠C'=∠C=90°可知，如果使点C'与点C重合，并且使射线C'A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合，再由B'C'=BC，可知点B'与点B重合. 为了判断点A'与点A是否重合,我们讨论射线CA上除点C、A外的点与点B的连线和边AB的大小关系。 设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，则 ∠BMA>∠C，∠BMA是钝角. 若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M，则有AB>BM'>BM. 设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN>AB.因此在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个. 再由点A'在射线CA上，A'B'=AB，可知点A'与点A重合.这样，△A'B'C的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B'C'与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C'≌△ABC. 归纳： 和 对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边，直角边”或“HL”. 用数学语言表述上面的判定方法 在Rt△ABC和Rt中， ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△ ( ) 3.例题：如图，AC⊥BC， BD⊥AD，AC﹦BD. 求证：BC﹦AD. 变式1：图中∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( )；(2) ( )； (3) ( )；(4) ( ). 变式2：如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AD=BC.求证：AC=BD. 变式3：如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系. 思路方法：判定两个直角三角形全等的关键是看已知条件的特点，概括起来有以下几种情况： ①有一条直角边和斜边分别相等，用“HL”判定全等； ②有两条直角边分别相等，用“SAS”判定全等； ③有一个锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定全等； ④有一个锐角和一条直角边分别相等，用“ASA”和“AAS”判定全等. 4.例题：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和 △ABE的高，如果AD=AF，AC=AE. 求证：BC=BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL). ∴CD=EF. ∵AD=AF，AB=AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴BD=BF. ∴BD－CD=BF－EF.即BC=BE. 【学习检测】 1.请判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，若不全等，在括号内打“×”，若全等，在括号内注明理由. ①一个锐角和这个锐角的对边对应相等； ( ) ②一个锐角及和锐角相邻的一直角边对应相等；( ) ③一锐角与斜边对应相等； ( ) ④两直角边对应相等； ( ) 2.能使两个直角三角形全等的条件是( ) A.斜边相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等 3.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是(  ) A.HL B.AAS C.SSS D.ASA 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，已知AC⊥BD，垂足为O.若AO=CO，AB=CD，则Rt△AOB≌Rt△COD，理由是( ) A.HL B.SAS C.ASA D.AAS 5.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据HL直接证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( ) A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 6.如图，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是( ) A.Rt△ACD≌Rt△BCE B.OA=OB C.E是AC的中点 D.AE=BD 第6题图 第7题图 7.如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，若BE=CF，则△ABE≌△ ，其依据是 . 8.如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等， 还需要补充的条件是 (写出一个即可). 第8题图 第9题图 第10题图 9.已知∠A=∠D=90°，请在横线上添加一个条件，使△ABC△DCB，并在后面的括号内填上判断的理由。 ①___________( )；②___________( )； ③___________( )；④___________( ). 10.如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC= 30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则 ∠ABO=______度. 11.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整. (1)______，∠A=∠D(ASA)；(2)AC=DF，_______(SAS)； (3)AB=DE，BC=EF(   )；(4)AC=DF，________(HL)； (5)∠A=∠D，BC=EF(  )；(6)_______，AC=DF(AAS). 12.(2025孝感)如图，∠C=∠D=90°，BC与AD相交于点E，AC=BD.求证：∠BAE=∠ABE. 参考答案 14.2全等三角形的判定(5) 【知识回顾】 1.SSS，SAS，ASA，AAS 2.AC，BC，AB 3.全等，ASA；全等，AAS；全等，SAS；全等，SSS 【新知学习】 3.变式1：(1)AD=BC，HL；(2)BD=AC，HL；(3)∠DAB=∠CBA，AAS；(4)∠DBA=∠CAB，AAS. 变式2： 变式3： 【学习检测】 1.√√√√ 2-6.DAADC 7.DCF HL 8.答案：AB=AD 或 BC=DC 或 ∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD 9.AB=CD，HL；AC=BD，HL；∠ABC=∠DCB，AAS； ∠ACB=∠DBC，AAS 10.15 11.AC=DF，BC=EF，HL，AB=DE，AAS，∠B=∠E 12.证明：∵∠C=∠D=90°， ∴△ACB和△BDA是直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)， ∴∠BAE=∠ABE 学科网（北京）股份有限公司 $