第29章 圆——圆心角和圆周角讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

圆心角 知识要点 对点训练 知识点圆心角的概念 (1)我们把顶点在圆心的角叫作 . (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 也相等. 1.如图,在⊙O中,∠1=∠2,则: = CD= . 知识点2 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的 相等. 2.如图,在⊙O中, 则： ∠1= , CD= . 知识点3 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的 分别相等. 注意：在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 3.如图,在⊙O中,CD=AB,则: ∠1= , 4.【例1】(人教9上P132改编)如图,在⊙O中, 求∠C 的度数. 小结：注意弧与弦之间的转化. 10.(人教9上P132改编)如图,在⊙O中, 求∠C,∠A的度数. 5.【例2】如图,在⊙O中, 则弦AB 和2CD 的大小关系是( ) D.不能确定 小结：结合三角形的三边关系进行判断. 11.(2026 北京模拟)如图是以点 O 为圆心的 点C，D 三等分 ,连接MN,CD,下列结论错误的是( ) A.∠COM=∠COD B.若OM=MN, 则∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD 6.【例3】(人教9 上P127、北师9下P84)如图,在⊙O中, 点D，E分别是⊙O的半径OA 与OB 的中点.求证:CD=CE. 小结：注意弧与圆心角之间的转化. 12.(人教9 上P132)如图,A,B 是⊙O 上的两点,∠AOB=120°,C是 的中点.求证：四边形AOBC 是菱形. 圆周角(1) 知识要点 对点训练 知识点 圆周角的定义 在圆上并且两边都与圆 的角叫作圆周角. 1.下列各圆中，∠A 是圆周角的是( ) 知识点 弧与圆周角、圆心角的对应关系 2. 如图,∠BAC 称为 所对的圆周角. 所对的圆心角有 个， 所对的圆周角有 个，在图中再画两个BC所对的圆周角. 知识点 圆周角定理的证明 如图，当圆心O在圆周角∠ABC边上时， ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=∠ +∠ =2∠B,即 (利用该结论，可证明另两种情况) 3.(人教9上P128、北师9下P54)如图,当圆心O分别在圆周角∠ABC 内部、外部时，证明： (选一个证明) 知识点 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的 . 4.(人教9 上P127)(2026 广西模拟)如图,AB,AC为⊙O 的两条弦,连接OB,OC,若∠A =45°,则∠BOC 的度数为( ) A.60° B.75° C.90° 知识点 圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角 . 5.(人教9 上 P132)如图,在⊙O中， 则∠A= 知识点 圆周角定理的推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 . 6.(1)(北师9下P56改编)如图,AB 是⊙O 的直径,∠B=30°,则∠A 的度数为 . (2)如图,在△ABC中,∠C为直角,AB=2,则经过A，B，C三个点的圆的半径为 . 精典范例 图变式练习 7.【例1】(北师9下P55 改编)如图,点 A,B,P 在⊙O 上,若∠PBO = 15°, PA ∥OB,则∠AOB= . 小结：本题求圆心角的解题思路：目标角→对应弧→对应圆周角. 12.(人教9 上 P130、北师9 下P58)如图,点A,B,C为⊙O上 的 三 个 点, ∠BOC =2∠AOB,∠BAC = 40°, 则∠ACB= . 8.【例2】(人教9上P143)(2025 广东模拟)如图,在⊙O 中,弦AB,CD 相交于点 P,若∠A=40°,∠APD=70°,则∠B= . 小结：本题求圆周角的解题思路：目标角→对应弧→对应圆周角. 13.如图,在⊙O中,两弦AB,CD 相交于点E,且AB⊥CD,若∠A=30°,则∠B 等于( ) A.30° B.50° C.60° D.70° 9.【例3】如图,在△ABC中,以AB 为直径的⊙O交BC 于点 D,交AC 于点 E, 求证：AB=AC. 小结：“见直径，想直角”是圆中常见的辅助线添加原则. 14.如图,在△ABC 中,以AB为直径的⊙O 交BC于点 D,交 AC 于点 E,AB = AC.求证:BD=DC. 10.【例4】如图,点A,B,C在圆上,AD,BD分别平分∠BAC 和∠ABC,延长AD 交该圆于点E,连接BE.求证:BE=DE. 小结：巧用圆周角定理转化角相等 15.如图,AB是⊙O 的直径,AC 是弦,半径OD⊥AC,连接CD,BC.求证:∠BOD=2∠CDO. 11.【例5】(2026 杭州一模)如图,AB 是⊙O 的直径,点C,D 是⊙O上的点,且OD∥BC,AC与OD 相交于点 E,连接BE. (1)求证:AE=CE; (2)若AC=8,DE=2,求BE的长. 16.(推理能力、思维能力)(2026 安徽模拟)如图,AB是⊙O的直径,⊙O 的弦CD⊥AB 于点E,F为 上的一点，CD与BF 相交于点 G，∠DAF=∠DFB,连接BC,BD. (1)求证:DF=BC; (2)若 BE =8,AF =10,求CD 的长. 圆周角(2) 知识要点 对点训练 知识点 ① 圆的内接多边形、多边形的外接圆如果一个多边形的所有顶点都在 上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的 . 1.(1)以下命题正确的个数为( ) ①等腰梯形不一定是圆内接四边形；②有三个角是直角的四边形一定内接于圆；③圆内接平行四边形一定是正方形；④对角线互相垂直平分的四边形一定内接于圆. A.4 B.3 C.2 D.1 (2)已知一个正方形的边长为2，则该正方形外接圆的直径是( ) A.2 B.4 C. D.2 知识点2圆内接多边形的性质 圆内接四边形的对角 . 2.(人教9上P131 改编、北师9 下P58改编)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,若四边形OABC是菱形，则∠D 的度数为多少? 3.【例1】(人教9上P131、北师9下P57)(2026广西月考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,E 为 CD 延长线上一点.若∠B =110°,求∠ADE 的度数.7.(人教9上P131 改编)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,DA = DC,E 在 AB 的延长线上且∠CBE=50°,则∠DAC= . 4.【例2】(2025 甘肃)如图,四边形ABCD 内接于⊙O, 连接BD,若∠ABC=70°,则∠BDC的度数为( ) A.20° B.35° C.55° D.70° 8.(2025 泸州)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BD为⊙O 的直径.若AB =AC,∠ACB =70°,则∠CBD=( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 5.【例3】(2026 浙江模拟)如图,四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，AD 与BC 的延长线交于点 E,BA 与 CD 的延长线交于点 F,∠DCE=80°,∠F=32°,则∠E 的度数为 . 9.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,∠F+∠EBC=180°.求证:EF∥AD. 6.【例4】(人教9上P129 改编)如图,⊙O 的直径AB为10cm,弦AC为6 cm,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D. (1)求 BC,AD,BD的长; (2)求四边形ADBC的面积. ★10.(几何直观)如图,点A,B,C在⊙O 上,AF是⊙O 的弦,AF⊥BC,垂足为D,点E 为 上一点,且BE=CF. (1)求证:AE 是⊙O 的直径; (2)若∠ABC=∠EAC,AE=8,求AC 的长. 圆心角 知识点1 (1)圆心角(2)弦 知识点2 弦 知识点3 优弧和劣弧 1. AB AB 2.∠2 AB 3.∠2 AB ACB 4.【例1】解:∵ ∴AB=AC,∴∠B=∠C, 5.【例2】C 6.【例3】证明:如图,连接CO, ∵OA=OB,且D,E分别是OA,OB的中点, ∴OD=OE, 又∵ 在△COD和△COE中, ∴△COD≌△COE(SAS),∴CD=CE. 7.【例4】证明:∵点A,B,C都在⊙O上, ∴∠AOB,∠BOC,∠AOC都是圆心角, ∵∠AOB=∠AOC=120°,∴∠BOC=120°, ∴∠AOB=∠BOC,∴AB=BC. 8.【例5】120° 9.【例6】证明:(1)∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB = ∠OFD = 90°,∠EOB = ∠AOB,∠FOD = ∠COD, ·∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD, 在△EOB和△FOD中, ∴△EOB≌△FOD(AAS),∴OE=OF. (2)∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠OEB=∠OFD=90°, 在 Rt△BEO和Rt△DFO中, .. Rt△BEO≌Rt△DFO(HL),∴BE=DF, 由垂径定理得AB=2BE,CD=2DF, ∴AB=CD,∴AB=CD. 10.解:∵ ∴AB=AC,∴∠C=∠B=30°, ∴∠A=180°-∠B-∠C=120°. 11. D 12.证明:连接OC, ∵C是AB的中点,∠AOB=120°, ∴∠AOC=∠BOC=60°, 又∵OA=OC=OB, ∴△OAC和△OBC都是等边三角形, ∴AC=OA=OB=BC, ∴四边形AOBC是菱形. 13.证明:∵OA=OB,∴∠A=∠B. 在△AOE和△BOF中, ∴△AOE≌△BOF(SAS),∴∠AOC=∠BOD, 14.证明:∵AB=CD,∴AB=CD, ∴∠AOB=∠COD, ∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, 即∠AOC=∠DOB. 15.(1)证明:∵OD是⊙O的半径,且OD⊥BC, 即点D为 BC的中点， ∴BD=CD. (2)解:∵OD⊥BC,∴BE=EC,即点E为BC的中点, ∵OB=OA,∴点O为AB的中点, ∴OE为△ABC的中位线, ∵OD⊥BC,∴∠OEB=90°, ∴DE=OD-OE=OB-OE=5-3=2. 圆周角(1) 知识点1 顶点 相交 知识点3 A B 知识点4 圆心角的一半 知识点5 相等 知识点6 直角 直径 1. A 2. BC 1 无数 图略 3.证明：当圆心O在圆周角∠ABC内部时，由知识点3可得 当圆心O在圆周角∠ABC外部时， 由知识点3可得 4. C 5.30°6.(1)60°(2)1 7.【例1】30°8.【例2】30° 9.【例3】证明:如图,连接AD,∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=90°=∠ADC, ∵BD=DE,∴∠BAD=∠EAD, ∴∠B=∠C,∴AB=AC. 10.【例4】证明:由图可得∠EBC=∠EAC. ∵AD,BD分别平分∠BAC和∠ABC, ∴∠BAE=∠EAC,∠DBC=∠ABD, ∴∠EBC=∠BAE,∴∠EBC+∠DBC=∠BAE+∠ABD. 又∵∠EBC+∠DBC=∠EBD,∠BAE+∠ABD=∠BDE, ∴∠EBD=∠BDE,∴BE=DE. 11.【例5】(1)证明:∵AB是直径,∴∠C=90°, ∵OD∥BC,∴∠OEA=∠C=90°, ∴OD⊥AC, ∵OD为半径,∴AE=CE. (2)解:∵AE=EC,AE+EC=AC, 设OA=OD=x,则OE=OD-DE=x-2, 在 Rt△OAE中，根据勾股定理得 解得x=5, ∴AB=2OA=10, 在 Rt△ABC中，根据勾股定理得 在 Rt△BCE中，根据勾股定理得 12.20°13. C 14.证明:如图,连接AD, ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC, 又∵AB=AC,∴BD=DC. 15.证明:如图,连接AD,延长DO交⊙O 于点 E,则 ∵半径OD⊥AC, 即 ∴∠CDE=∠BAD, ∴∠BOD=2∠CDE,即∠BOD=2∠CDO. 16.(1)证明:∵ ∵∠DAF=∠DFB,∴∠DBF=∠DFB,∴DF=BD, ∴直径 (2)解:如图,过点O作OH⊥BF于点H,连接OC,OG, ∵CD⊥AB,∴CE=DE, ∵OH⊥BF,∴H是BF的中点, ∴O是AB的中点,∴ 在△ABF中, ∴在△CBG和△FDG中, ∴△CBG≌△FDG(AAS),∴CG=FG,BG=DG, ∴CG+DG=FG+BG,∴CD=BF,∴CE=ED=BH=HF, ∵CG=FG,即CE+GE=GH+HF,∴GE=GH, ∵在 Rt△OEG和Rt△OHG中 ∴Rt△OEG≌Rt△OHG(HL),∴OE=OH=5, ∴OC=OB=OE+BE=5+8=13, ∵Rt△OEC中,CD⊥AB,OE=5,OC=13, ∴CD=2CE=24. 圆周角(2) 知识点1 同一个圆 外接圆 知识点2 互补 1.(1)D (2)D 2.解:∵四边形ABCD 内接于⊙O, ∴∠B+∠D=180°, ∵四边形OABC 是菱形, ∴∠B=∠AOC,∴∠AOC+∠D=180°, 由圆周角定理得 2∠D+∠D=180°,∴∠D=60°. 3.【例1】解:在⊙O中,∵∠B=110°,∴∠ADC=70°,∵∠ADC+∠ADE=180°,∴∠ADE=110°. 4.【例2】C 5.【例3】52° 6.【例4】解:(1)连接OD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°, 在 Rt△ABC中,∵AB=10cm,AC=6cm, ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD, 又在 Rt△ABD中, 7.65° 8. B 9.证明:∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠EBC=180°,∴∠D=∠EBC. ∵∠F+∠EBC=180°, ∴∠F+∠D=180°,∴EF∥AD. 10.(1)证明:∵ ∵∠BAE=∠CAF, ∵AF⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠CAF+∠ACD=90°, ∵∠E=∠ACB,∴∠E+∠BAE=90°, ∴∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径. (2)解:如图,连接OC, 则∠AOC=2∠ABC, ∵∠ABC=∠CAE,∴∠AOC=2∠CAE, ∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO= ∠AOC, ..∠AOC=90°, ∴△AOC是等腰直角三角形， ∵AE=8,∴AO=CO=4, 学科网（北京）股份有限公司 $