第二十九章 圆 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识体系全景梳理表格和解题方法图表，系统构建圆的知识框架，涵盖圆的概念、垂径定理等五大模块，明确核心内容、关键方法及易错点，直观呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层进阶练习设计和奥数思维指导，基础题巩固概念，提高题如拱桥问题培养模型观念，奥数题如平行弦分类讨论发展推理能力。易错避坑指南帮助学生规避常见错误，教师可据此实施精准分层教学，助力不同学生提升。

第二十九章 圆 一、核心素养与单元目标 1 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 3 第二部分 单元考点精讲与题型突破 4 考点一 圆的有关概念与点与圆的位置关系 4 考点二 垂径定理 6 考点三 圆心角、弧、弦的关系 8 考点四 圆周角定理及推论 10 考点五 弧长、扇形面积与圆锥 12 第三部分 数学活动与拓展探究 14 第四部分 单元易错避坑指南 16 易错点1：忽略“不在同一直线上的三点确定一个圆” 16 易错点2：垂径定理推论忽略“弦不是直径” 16 易错点3：圆周角定理忽略“同一条弧” 16 易错点4：弧长、扇形面积公式角度单位错误 16 易错点5：点与圆的位置关系漏等号 16 易错点6：圆内接四边形性质混淆 16 第五部分 单元分层进阶达标自测 17 第六部分 达标自测精准解析 21 学科网（北京）股份有限公司 一、核心素养与单元目标 核心素养 几何直观、推理能力、运算能力、模型观念、应用意识。 单元目标 1. 知识技能：理解圆的有关概念，掌握点与圆的位置关系、过三点的圆；掌握垂径定理、圆心角与弧弦的关系、圆周角定理及推论；理解圆内接四边形对角互补的性质；掌握弧长、扇形面积计算公式，了解圆锥侧面积与全面积的计算方法。 2. 数学思考：经历圆的性质探究过程，体会数形结合、分类讨论、转化思想；能够将圆的问题转化为三角形问题解决，发展逻辑推理能力与几何直观；能够通过构造辅助线解决圆的综合问题。 3. 问题解决：能运用圆的性质解决线段计算、角度计算、几何证明、实际应用类培优题型；掌握垂径定理、圆周角定理的辅助线构造方法；能建立圆的模型解决拱桥、管道、齿轮等实际问题。 4. 情感态度：通过数学活动探究四等分圆周、四点共圆条件，拓展等宽曲线、圆周率计算相关数学文化；感受圆在生活、建筑、工程中的广泛应用，激发几何探究兴趣。 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 本单元是初中平面几何的核心内容，在三角形、全等三角形、轴对称、旋转等知识的基础上，系统研究圆的定义与基本性质。本章是中考几何综合题的高频考点，也是高中继续学习圆、圆锥曲线的重要基础。 一、知识体系全景梳理 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 圆的有关概念与点圆位置关系 圆的定义；弦、直径、弧、等圆、等弧概念；点与圆的三种位置关系；过三点的圆、三角形外接圆、外心 定义判定法、距离比较法、垂直平分线法 直径是弦，但弦不一定是直径；忽略“不在同一直线上的三点确定一个圆”的前提；混淆不同三角形外心的位置 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 直角三角形构造法、方程法 忽略“弦不是直径”的前提；只记住平分弦，忽略平分弧；计算时误用整条弦长代替半弦 圆心角、弧、弦的关系 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；反之亦然 等量转化法、旋转法 忽略“同圆或等圆”的前提；混淆优弧与劣弧对应的圆心角 圆周角定理及推论 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对圆周角是直角；圆内接四边形对角互补 角的转化法、直径构造法 忽略“同一条弧”的前提；圆心角与圆周角的倍数关系搞反；混淆圆内接四边形的外角性质 弧长与扇形面积 弧长公式、扇形面积公式；圆锥的侧面积、全面积计算 公式法、比例法、割补法 弧长、扇形面积公式中角度误用弧度制；扇形面积公式记忆错误；混淆圆锥的母线与高 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 点圆位置判定法 判断点与圆的位置关系 ①计算点到圆心的距离；②与半径比较大小；③确定位置 点在圆外，点在圆上，点在圆内 垂径定理计算法 弦长、半径、弦心距互求 ①过圆心作弦的垂线；②连接半径，构造直角三角形；③由勾股定理列方程求解 半弦半径弦心距，勾股定理来相聚 圆心角弧弦转化法 圆心角、弧、弦等量互推 ①找相等圆心角；②对应相等的弧；③对应相等的弦 等角对等弧，等弧对等弦 圆周角转化法 圆周角计算与证明 ①找准所对的弧；②连圆心得圆心角/遇直径构造直角；③转化角度关系 同弧对同角，直径对直角 扇形弧长公式法 弧长、扇形面积计算 ①确定圆心角、半径；②代入对应公式；③化简计算 弧长公式，扇形面积 三、奥数思维提升 1. 数形结合思想：几何条件代数化 核心要点：将圆的几何条件转化为直角三角形中的边长关系，通过勾股定理列方程求解，实现“几何问题代数解”。 示例：垂径定理中，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，设未知数列方程求解。 2. 分类讨论思想：位置不确定的多解问题 核心要点：当弦的位置、点的位置、圆周角的位置不确定时，按不同位置分类讨论，做到不重不漏。 示例：圆内两条平行弦，需要分“在圆心同侧”和“在圆心两侧”两类，计算弦之间的距离。 3. 转化思想：圆的问题三角形化 核心要点：圆的绝大多数计算与证明，最终都转化为三角形的问题；通过连半径、作弦心距、连直径等辅助线，构造等腰三角形、直角三角形、全等三角形。 示例：圆周角问题，连半径转化为等腰三角形；遇直径构造直角三角形。 4. 模型思想：实际问题抽象圆模型 核心要点：从拱桥、管道、车轮、圆形工件等实际问题中，抽象出圆的模型，利用圆的性质解决问题。 示例：拱桥问题抽象为弦、弧、半径的计算；圆形工件破损求半径抽象为三点定圆。 5. 整体思想：图形变换与整体割补 核心要点：圆中阴影面积、组合图形问题，通过旋转、平移、对称，将分散图形整体割补，转化为规则扇形、三角形面积计算。 示例：不规则阴影面积，通过割补法转化为扇形面积与三角形面积的和差。 第二部分 单元考点精讲与题型突破 考点一 圆的有关概念与点与圆的位置关系 典型例题1（基础型） 题目：下列说法正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 直径是最长的弦 C. 经过三点确定一个圆 D. 圆的对称轴是直径 解题步骤： ① 选项A：直径是弦，但弦不一定是直径，A错误； ② 选项B：直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦，B正确； ③ 选项C：不在同一直线上的三点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆，C错误； ④ 选项D：圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径本身，D错误。 综上，答案选B。 【答案】B 【知识点睛】 ① 考点定位：圆的基本概念、三点定圆； ② 解题方法：直径是特殊的弦，也是最长的弦；确定一个圆需要“不在同一直线上的三点”；圆的对称轴是直线，不是线段； ③ 易错提醒：忽略三点共线的特殊情况；把直径当成对称轴。 典型例题2（提高型） 题目：已知的半径为，点到圆心的距离为。 (1) 若，判断点与的位置关系； (2) 若点在圆上，求的值； (3) 若点在圆内，求的取值范围。 解题步骤： ① 半径； ② (1) ，点在圆外； ③ (2) 点在圆上，则； ④ (3) 点在圆内，则，又距离非负，所以。 【答案】(1)点在圆外；(2)；(3) 【知识点睛】 ① 考点定位：点与圆的位置关系判定； ② 解题方法：点到圆心距离与半径比较：圆外，圆上， 典型例题3（奥数型） 题目：在平面内，已知、、三点，且，，，求经过这三点的圆的半径。 解题步骤： ① 由，，，得； ② 是直角三角形，； ③ 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，半径为斜边的一半； ④ 半径。 【答案】半径为 【知识点睛】 ① 考点定位：过三点的圆、三角形外接圆； ② 解题方法：不在同一直线上的三点确定一个圆；直角三角形外心在斜边中点，半径等于斜边一半；锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部； ③ 易错提醒：直接默认外心在三角形内部，忽略钝角三角形的情况。 考点二 垂径定理 典型例题1（基础型） 题目：在中，直径弦于点，若半径为，，求的长。 解题步骤： ① 连接，半径； ② 由垂径定理，，所以； ③ 在中，由勾股定理：。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：垂径定理的基本计算； ② 解题方法：垂径定理常构造直角三角形：半径为斜边，半弦和弦心距为直角边，用勾股定理计算； ③ 易错提醒：误用整条弦长计算，忘记除以。 典型例题2（提高型） 题目：一座圆弧形拱桥，跨度（弦长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求桥拱所在圆的半径。 解题步骤： ① 设桥拱所在圆的圆心为，半径为；弦，拱高； ② 过圆心作于，交弧于；由垂径定理，； ③ ； ④ 在中，，即； ⑤ 展开得，解得，。 答：桥拱所在圆的半径为。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：垂径定理的实际应用（拱桥模型）； ② 解题方法：拱桥问题是垂径定理典型应用，设半径为，弦心距为拱高，半弦长为跨度一半，用勾股定理列方程； ③ 易错提醒：弦心距计算错误，误写成。 典型例题3（奥数型） 题目：在中，半径为，弦，，，求与之间的距离。 解题步骤： ①两条平行弦的位置不确定，分两种情况：在圆心同侧、在圆心两侧； ②分别用垂径定理求弦心距，再计算距离。 ① 过圆心作于，交于； ② 由垂径定理：，； ③ 半径，由勾股定理： ，； ④ 情况一：、在圆心同侧，距离； ⑤ 情况二：、在圆心两侧，距离； 综上，两弦距离为或。 【答案】或 【知识点睛】 ① 考点定位：垂径定理的分类讨论问题； ② 解题方法：题目没有说明两条弦在圆心同侧还是两侧时，必须分类讨论；分别计算弦心距，同侧相减，两侧相加； ③ 易错提醒：只写一种情况，漏掉另一解。 考点三 圆心角、弧、弦的关系 典型例题1（基础型） 题目：在中，，下列结论错误的是（ ） A. 弧弧 B. 弦弦 C. D. 解题步骤： ① 在同圆中，，则弧弧，弦弦，A、B正确，D错误； ② ，，所以，C正确； ③ 综上，答案选D。 【答案】D 【知识点睛】 ① 考点定位：圆心角、弧、弦的关系； ② 解题方法：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；反之亦然； ③ 易错提醒：忽略“同圆或等圆”的前提条件。 典型例题2（提高型） 题目：如图，在中，弧弧，。求证：。 解题步骤： ① 弧弧，，是等腰三角形； ② 又，是等边三角形，； ③ 弧弧弧； ④ 。 【知识点睛】 ① 考点定位：等弧对等弦、等边三角形判定； ② 解题方法：弧相等→弦相等→等边三角形→三边相等→三段弧相等→三个圆心角相等； ③ 易错提醒：由角相等直接推弧相等，忽略“同圆”前提。 典型例题3（奥数型） 题目：中，是直径，弧弧弧，，求的度数。 解题步骤： ①等弧对应相等的圆心角； ②平角减去三个相等的圆心角。 ① 弧弧弧，； ② ； ③ 是直径，，。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：圆心角与弧的对应关系； ② 解题方法：等弧对等圆心角，多段弧相加对应圆心角相加； ③ 易错提醒：混淆优弧、劣弧对应的圆心角。 考点四 圆周角定理及推论 典型例题1（基础型） 题目：如图，是的直径，点在上，，求的度数。 解题步骤： ①直径所对的圆周角是直角，得； ②直角三角形两锐角互余，求。 ① 是的直径，； ② 在中，， 。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：圆周角定理推论（直径对直角）； ② 解题方法：看到直径，优先构造直径所对的圆周角，得到直角三角形； ③ 易错提醒：误用圆周角等于圆心角，直接写成。 典型例题2（提高型） 题目：四边形是的内接四边形，若，求和的度数。 解题步骤： ①同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求； ②圆内接四边形对角互补，求。 ① 与都对弧，根据圆周角定理， ； ② 四边形是圆内接四边形，； ③ 。 【答案】， 【知识点睛】 ① 考点定位：圆周角定理、圆内接四边形性质； ② 解题方法：同弧所对圆周角是圆心角的一半；圆内接四边形对角互补； ③ 易错提醒：圆周角与圆心角的倍数关系搞反，写成2倍。 典型例题3（奥数型） 题目：如图，的三个顶点都在上，是的直径，于点。求证：。 解题步骤： ①利用圆周角定理，将角转化到同弧上； ②结合直径、垂直条件，推导角相等。 ① 是直径，，由垂径定理得弧弧； ② 对弧，对弧； ③ 同弧或等弧所对的圆周角相等，。 【知识点睛】 ① 考点定位：圆周角定理与垂径定理综合； ② 解题方法：弧相等→圆周角相等；通过垂径定理得弧相等，再转化为角相等； ③ 易错提醒：直接用全等证明，忽略圆的性质。 考点五 弧长、扇形面积与圆锥 典型例题1（基础型） 题目：已知扇形的圆心角为，半径为，求扇形的弧长和面积。 解题步骤： ①直接代入弧长公式、扇形面积公式； ②化简计算。 ① 弧长公式：，代入，， ； ② 扇形面积公式：， 。 【答案】弧长，面积 【知识点睛】 ① 考点定位：弧长、扇形面积基本计算； ② 解题方法：牢记公式，圆心角为角度制，代入计算；扇形面积也可用； ③ 易错提醒：公式记错，弧长与面积公式混淆。 典型例题2（提高型） 题目：用一个圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面半径和侧面积。 解题步骤： ①扇形弧长等于圆锥底面圆的周长； ②侧面积就是扇形的面积。 ① 扇形弧长：； ② 设圆锥底面半径为，底面周长，解得； ③ 圆锥侧面积等于扇形面积：。 【答案】底面半径为，侧面积为 【知识点睛】 ① 考点定位：扇形围成圆锥的计算； ② 解题方法：扇形弧长=圆锥底面周长；圆锥侧面积=扇形面积；圆锥母线长=扇形半径； ③ 易错提醒：混淆圆锥的母线与高，把扇形半径当成高。 典型例题3（奥数型） 题目：如图，正方形边长为，分别以正方形两个对角顶点为圆心，边长为半径画弧，求阴影部分的面积。 解题步骤： ①阴影面积可通过割补法，转化为两个扇形面积和减去正方形面积； ②代入公式计算。 ① 两个扇形的圆心角都是，半径都是； ② 两个扇形面积和：； ③ 正方形面积：； ④ 阴影面积。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：阴影面积计算（割补法）； ② 解题方法：不规则阴影面积，通过割补、旋转、对称，转化为规则扇形、三角形、正方形的面积和差； ③ 易错提醒：重复计算重叠部分。 第三部分 数学活动与拓展探究 活动一 四等分圆周 活动主题：用尺规作图四等分圆周，探究等分圆周的原理。 活动目标： 1. 掌握用尺规将圆四等分、八等分的方法； 2. 理解等分圆周的几何原理，提升尺规作图能力。 活动过程： 任务1：任意作一个圆，作两条互相垂直的直径，将圆四等分； 任务2：说明四等分的原理：直径互相垂直，四个圆心角都是，所以四段弧相等； 任务3：逐步平分圆心角，得到八等分、十六等分圆周； 任务4：拓展：正六边形、正三角形的尺规作图。 活动结论： 作两条互相垂直的直径，即可四等分圆周；利用尺规平分圆心角，可以得到任意等分圆周。 活动二 探究四点共圆的条件 活动主题：探究四边形内接于圆的条件。 活动目标： 1. 通过测量、猜想、证明，得出四点共圆的判定条件； 2. 发展探究推理能力，体会几何研究的方法。 活动过程： 任务1：画出不同的四边形，测量对角，观察对角和为的四边形是否四个顶点共圆； 任务2：证明：对角互补的四边形内接于圆； 任务3：拓展：外角等于内对角的四边形内接于圆。 活动结论： 对角互补的四边形四个顶点共圆；外角等于内对角的四边形四个顶点共圆。 活动三 拓展阅读：等宽曲线与圆周率的计算 1. 等宽曲线：圆是最常见的等宽曲线，莱洛三角形也是等宽曲线；等宽曲线在任意方向上的宽度都相等，应用于车轮、井盖设计。 2. 圆周率的计算：我国古代刘徽割圆术、祖冲之精确计算圆周率；通过圆内接正多边形逼近圆，计算圆周率，体现极限思想。 第四部分 单元易错避坑指南 易错点1：忽略“不在同一直线上的三点确定一个圆” 错误示例：“任意三点确定一个圆”。 正确分析：同一直线上的三点不能作圆，必须是“不在同一直线上的三点”确定一个圆。 修正方法：提到三点定圆，先判断三点是否共线。 易错点2：垂径定理推论忽略“弦不是直径” 错误示例：“平分弦的直径垂直于弦”。 正确分析：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；如果弦是直径，任意直径都平分直径，不一定垂直。 修正方法：垂径定理推论必须强调“弦不是直径”。 易错点3：圆周角定理忽略“同一条弧” 错误示例：“相等的圆周角所对的弧相等”。 正确分析：必须是“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”；不同圆中，圆周角相等，弧不一定相等。 修正方法：提到圆周角相等，先看是否同弧、是否同圆。 易错点4：弧长、扇形面积公式角度单位错误 错误示例：直接把角度数值代入，漏掉，或者误用弧度制。 正确分析：初中阶段弧长、扇形面积公式中，是角度数，公式中要带。 修正方法：计算时先写公式，再代入数值，检查单位。 易错点5：点与圆的位置关系漏等号 错误示例：“点在圆内d<r，点在圆外d>r”，漏掉d=r的分界情况。 正确分析：点在圆上d=r，是位置关系的分界点，必须明确包含。 修正方法：判定位置时，三种情况完整覆盖：点在圆外、点在圆上、点在圆内。 易错点6：圆内接四边形性质混淆 错误示例：“圆内接四边形对角相等”。 正确分析：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 修正方法：结合图形记忆，对角和为。 第五部分 单元分层进阶达标自测 一、基础夯实篇（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 弦是直径 C. 三点确定一个圆 D. 直径是最长的弦 2. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 3. 如图，是的直径，弦于，，，则半径为（ ） A. B. C. D. 4. 在同圆中，若圆心角，则下列结论正确的是（ ） A. 弧弧 B. 弦弦 C. 弧弧 D. 5. 如图，是的直径，点在圆上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 圆内接四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 圆心角为，半径为的扇形，弧长为________。 8. 直角三角形两条直角边为和，则它的外接圆半径为________。 二、能力进阶篇（共7小题，每小题6分，共42分） 9. 如图，在中，弧弧，，求的度数。 10. 已知扇形的弧长为，半径为，求扇形的圆心角和面积。 11. 如图，中，弦，圆心到的距离为，求的半径。 12. 如图，四边形内接于，，求的度数。 13. 将半径为的圆形纸片，沿弦折叠，弧恰好经过圆心，求弦的长。 14. 圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的侧面积和全面积。 15. 如图，是的直径，弦，，求的度数。 三、思维跃迁篇（共5小题，每小题5分，共26分） 16. 已知的半径为，弦，，，求两弦之间的距离。 17. 如图，内接于，，，求的半径。 18. 如图，是的直径，是弧的中点，于，交于点。求证：。 19. 一个扇形的弧长为，面积为，求扇形的圆心角和半径。 20. 【数学活动】正六边形内接于半径为的圆，求正六边形的边长、边心距和面积。 · 第六部分 达标自测精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】D 解题步骤： ① 选项A：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，长度相等不一定重合，A错误； ② 选项B：直径是弦，但弦不一定是直径，B错误； ③ 选项C：不在同一直线上的三点确定一个圆，C错误； ④ 选项D：直径是经过圆心的弦，是最长的弦，D正确。 【知识点睛】 ① 考点定位：圆的基本概念； ② 解题方法：牢记定义，注意前提条件； ③ 易错提醒：忽略“同圆等圆”“不共线”等前提。 2. 【答案】A 解题步骤： ① 半径，点到圆心距离； ② 【知识点睛】 ① 考点定位：点与圆的位置关系； ② 解题方法：距离与半径比较； ③ 易错提醒：搞反大小关系。 3. 【答案】B 解题步骤： ① 连接，由垂径定理，； ② 中，。 【知识点睛】 ① 考点定位：垂径定理计算； ② 解题方法：连半径，构造直角三角形； ③ 易错提醒：忘记除以2。 4. 【答案】A 解题步骤： ① 同圆中相等的圆心角对等弧、对等弦； ② 弧弧，弦弦，，对应角相等。 【知识点睛】 ① 考点定位：圆心角、弧、弦的关系； ② 解题方法：等角对等弧对等弦； ③ 易错提醒：忽略同圆前提。 5. 【答案】C 解题步骤： ① 是直径，； ② 。 【知识点睛】 ① 考点定位：直径对直角； ② 解题方法：直径构造直角三角形； ③ 易错提醒：误用圆周角等于圆心角。 6. 【答案】C 解题步骤： ① 圆内接四边形对角互补； ② 。 【知识点睛】 ① 考点定位：圆内接四边形性质； ② 解题方法：对角互补； ③ 易错提醒：记成对角相等。 7. 【答案】2π 解题步骤： ① 弧长公式； ② 代入，，。 【知识点睛】 ① 考点定位：弧长公式； ② 解题方法：代入公式计算； ③ 易错提醒：公式记错。 8. 【答案】5 解题步骤： ① 直角三角形外接圆圆心在斜边中点，半径为斜边一半； ② 斜边，半径。 【知识点睛】 ① 考点定位：直角三角形外接圆； ② 解题方法：直角三角形外心在斜边中点； ③ 易错提醒：外心位置记错。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】80∘ 解题步骤： ① 弧弧，，等腰； ② ，，； ③ 圆心角。 【知识点睛】 ① 考点定位：圆周角定理、等腰三角形； ② 解题方法：等弧对等弦→等腰三角形→求顶角→圆心角是圆周角2倍； ③ 易错提醒：圆心角与圆周角倍数搞反。 10. 【答案】圆心角180∘，面积18π 解题步骤： ① 弧长，半径，由，得； ② 扇形面积。 【知识点睛】 ① 考点定位：弧长、扇形面积公式逆用； ② 解题方法：已知弧长、半径，反求圆心角；面积用更简便； ③ 易错提醒：公式变形错误。 11. 【答案】5 解题步骤： ① 过作于，则，； ② 连接，。 【知识点睛】 ① 考点定位：垂径定理； ② 解题方法：作弦心距，连半径，勾股定理； ③ 易错提醒：忘记作辅助线。 12. 【答案】120∘ 解题步骤： ① ，； ② 圆内接四边形对角互补，。 【知识点睛】 ① 考点定位：圆周角定理、圆内接四边形； ② 解题方法：先求圆周角，再用对角互补； ③ 易错提醒：直接用圆心角当作圆周角。 13. 【答案】10 解题步骤： ① 过作于，连接； ② 折叠后弧过圆心，； ③ AC=√(OA²−OC²)=√(100−25)=√75=5； ④ AB=2AC=10。 【知识点睛】 ① 考点定位：折叠问题与垂径定理综合； ② 解题方法：折叠对应弧经过圆心，说明弦心距是半径一半； ③ 易错提醒：弦长忘记乘2。 14. 【答案】侧面积15π，全面积24π 解题步骤： ① 底面半径，母线，侧面积； ② 底面积； ③ 全面积。 【知识点睛】 ① 考点定位：圆锥侧面积、全面积； ② 解题方法：侧面积，全面积加底面积； ③ 易错提醒：全面积漏掉底面积。 15. 【答案】120∘ 解题步骤： ① ，； ② 对弧，； ③ 同理，。 【知识点睛】 ① 考点定位：圆周角定理、平行线性质； ② 解题方法：平行得内错角，圆周角对应圆心角； ③ 易错提醒：角度计算错误。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】1或7 解题步骤： ① 过圆心作两弦的垂线，分别求弦心距； ② ，弦心距；，弦心距； ③ 同侧：距离；两侧：距离。 【知识点睛】 ① 考点定位：垂径定理分类讨论； ② 解题方法：两平行弦分同侧、两侧两种情况； ③ 易错提醒：只写一种情况。 17. 【答案】2 解题步骤： ① 作直径，连接； ② ，； ③ BD=BC/sin60°=6/()=4； ④ 半径=BD=2。 【知识点睛】 ① 考点定位：圆周角定理、直径构造直角； ② 解题方法：作直径，构造直角三角形，利用三角函数求直径； ③ 易错提醒：不会构造辅助线。 18. 【答案】证明见解析 解题步骤： ① 延长交于，，由垂径定理得弧弧； ② 是弧中点，弧弧； ③ 弧弧，； ④ 。 【知识点睛】 ① 考点定位：垂径定理、圆周角定理综合证明； ② 解题方法：垂直直径→平分弧→等弧对等圆周角→等角对等边； ③ 易错提醒：找不到角相等的依据。 19. 【答案】圆心角216∘，半径10 解题步骤： ① 设半径为，圆心角为； ② 弧长，面积； ③ 用面积除以弧长：，得； ④ 代入弧长公式，。 【知识点睛】 ① 考点定位：弧长、扇形面积公式综合； ② 解题方法：两个公式联立，用比例法求半径更简便； ③ 易错提醒：计算错误。 20. 【答案】边长为R；边心距为R；面积为R² 解题步骤： ① 正六边形边长等于半径，边长为； ② 边心距：中心到边的距离，由勾股定理d=√(R²−(R/2)²)=R； ③ 面积：分成6个等边三角形，S=6×R²=R²。 【知识点睛】 ① 考点定位：正多边形与圆、数学活动拓展； ② 解题方法：正六边形边长等于半径，分割为等边三角形计算面积； ③ 易错提醒：面积公式记错。 1 学科网（北京）股份有限公司 $