精品解析：天津市南开大学附属中学2026-2027学年高一年级上学期开学测试数学试卷

南大附中高一入学数学测试试卷 （满分100分，时间45分钟） 一、选择题（每题5分，共25分） 1. 方程的正整数解有（ ）组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图（1），在一个边长为的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到一个如图（2）所示的图案，若再将剪下的两个小长方形拼成一个如图（3）所示的新长方形，则新长方形的周长可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数（为常数）的图象上有两点，.若且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 4. 如图，是半圆的直径，以为圆心，长为半径的半圆交于，两点，弦切小半圆于点.已知，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二.填空题（每小题5分，共45分） 6. 分式方程的解为______. 7. 如图，，，，，则的面积为______. 8. 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3，绿色卡片两张，标号分别为1和2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的概率为______. 9. 若，则_________. 10. 如图，已知，，，，则的坐标为______. 11. 已知，，则______. 12. 已知，，，则多项式的值为______. 13. 如图在圆中，，，，求______. 14. 如图所示，在中，，，为斜边上一动点，，垂足分别为、，当线段最小时，的值等于______. 三、解答题（每小题10分，共30分） 15. 在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的个温室大棚进行修整改造，然后，个大棚种植香瓜，另外个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”.最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包个大棚，以后就用个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤/每棚） 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚） 香瓜 甜瓜 现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为个，明年上半年个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为元.根据以上提供的信息，请你解答下列问题： （1）求出与之间的函数关系式； （2）求出李师傅种植的个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于万元. 16. 在平面直角坐标系中，点，点分别是坐标轴上的点，连接.把绕点逆时针旋转得.点，旋转后的对应点为点，.记旋转角为. （1）如图①，当点落在边上时，求的值和点的坐标： （2）如图②，当时，求的长和点的坐标； （3）连接，直接写出在旋转过程中面积的最大值. 17. 已知点是二次函数图象上的点. （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，求函数的最大值与最小值的差； （3）当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南大附中高一入学数学测试试卷 （满分100分，时间45分钟） 一、选择题（每题5分，共25分） 1. 方程的正整数解有（ ）组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】可化为，根据题意可知且，结合的正因数对即可求解. 【详解】可化为，即， 因为都是正整数，则，则， 又， 所以或或， 解得或或， 所以方程的正整数解有组. 2. 如图（1），在一个边长为的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到一个如图（2）所示的图案，若再将剪下的两个小长方形拼成一个如图（3）所示的新长方形，则新长方形的周长可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察图形，根据正方形的边长及图中给出的线段长度，分别表示出剪去的小长方形的长和宽，进而确定拼成的新长方形的长和宽，最后利用长方形周长公式求解． 【详解】由图（1）可知，正方形的边长为 ． 观察图（2），剪去的两个小长方形相同． 在水平方向上，正方形边长为 ，左侧留下的宽度为 （由图（2）左下角标注可知）， 所以剪去的小长方形的长为 ． 在竖直方向上，正方形边长为 ，图（2）右侧标注了三个 ，表示剩余图案（“E”字形）的三个横向部分的宽度均为 ， 所以两个剪去的小长方形的宽之和为 ． 因为两个小长方形相同，所以每个小长方形的宽为 ． 观察图（3），新长方形是由两个小长方形上下拼接而成（中间有水平虚线）， 所以新长方形的长为 ， 新长方形的宽为 ． 所以新长方形的周长为： 3. 已知函数（为常数）的图象上有两点，.若且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【详解】二次函数的开口向下，对称轴为直线. 对于开口向下的抛物线：点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大；距离越远，函数值越小. 由，可知： 到对称轴的距离为， 到对称轴的距离为. 由条件，变形得，因此： 即， 说明点离对称轴更远. 结合开口向下的性质，离对称轴越远函数值越小，故. 4. 如图，是半圆的直径，以为圆心，长为半径的半圆交于，两点，弦切小半圆于点.已知，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，利用切线垂直和直角三角形求出、，再结合等腰三角形确定和，最后将阴影面积分解为，代入公式计算即可． 【详解】连接、，如图所示： 弦切小半圆于点， ． ，， ． 在中，， ， ． 小半圆的半径为． 在中，， ， ． ， ， ， ． 又， 图中阴影部分的面积 . 5. 方程的根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】原方程可化为，结合二次函数与反比例函数进行判断： 二次函数开口向上、顶点为，函数值恒非负； 反比例函数的图像分布在第一、三象限， 当时函数值为负，不可能和非负的二次函数值相等，因此时没有根. 当时，二次函数随增大而递增， 反比例函数随增大而递减； 当取很小的正数时，远大于， 当时，，，此时二次函数值更大， 说明两个函数图像在第一象限恰好有1个交点， 对应原方程有1个根. 二.填空题（每小题5分，共45分） 6. 分式方程的解为______. 【答案】 【解析】 【详解】去分母，两边同乘， 整理得，， 解得，， 把代入， 分母不为， 所以方程的解为. 7. 如图，，，，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】过作交于点，根据勾股定理和相似三角形，分别求出和，即可求出面积. 【详解】因为，， 所以， 过作交于点， 因为， 所以，， 所以， 所以， 所以， 又，即，解得， 所以的面积为. 8. 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3，绿色卡片两张，标号分别为1和2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的概率为______. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式计算概率. 【详解】从五张卡片中任取两张，共有种取法， 从五张卡片中取两张颜色不同且标号之和小于4的取法有：红1绿1、红1绿2、红2绿1，共3种，故概率为. 9. 若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】将待求表达式先化简，在把两边平方即可求解. 【详解】由于，则，分子分母同时除以， 于是. 故答案为： 10. 如图，已知，，，，则的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】先作垂线，再由得，再通过的直角三角形特点解出各直角边长，从而得出点B坐标． 解：如图，过点作轴于点， 过点作于点， 则， ， ， ， ． 又， ， ，． 在中，，， ，， ，， 点的坐标为． 11. 已知，，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】先将和分母有理化后进行运算. 【详解】， ， . 12. 已知，，，则多项式的值为______. 【答案】 【解析】 【详解】由条件可知，，， . 13. 如图在圆中，，，，求______. 【答案】 【解析】 【分析】过的直径为，根据圆的性质可知与相似，从而得到，设，可化为，再根据勾股定理即可得到答案. 【详解】如图，过的直径为，连接， 因为，，， 所以与相似， 所以， 因为，，所以， 设，， 则，即， 因为， 在中，. 14. 如图所示，在中，，，为斜边上一动点，，垂足分别为、，当线段最小时，的值等于______. 【答案】## 【解析】 【分析】先判定四边形是矩形，得到，当垂直时取得最小值， 再利用角的等量转换，把求转化为求，算出结果． 【详解】如图，连接， 在中，， ，， 四边形是矩形， ． 由垂线段最短可得时线段的长最小， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 则． 三、解答题（每小题10分，共30分） 15. 在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的个温室大棚进行修整改造，然后，个大棚种植香瓜，另外个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”.最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包个大棚，以后就用个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤/每棚） 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚） 香瓜 甜瓜 现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为个，明年上半年个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为元.根据以上提供的信息，请你解答下列问题： （1）求出与之间的函数关系式； （2）求出李师傅种植的个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于万元. 【答案】（1）（且） （2）香瓜至少种植个大棚 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接表示所获利润即可得到函数解析式； （2）根据函数值范围，直接求解自变量范围即可得到结果. 【小问1详解】 由题知， ，且. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，解得， 又且， 所以香瓜至少种植个大棚，才能使获得的利润不低于万元. 16. 在平面直角坐标系中，点，点分别是坐标轴上的点，连接.把绕点逆时针旋转得.点，旋转后的对应点为点，.记旋转角为. （1）如图①，当点落在边上时，求的值和点的坐标： （2）如图②，当时，求的长和点的坐标； （3）连接，直接写出在旋转过程中面积的最大值. 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求解旋转角的大小和点的坐标即可. （2）利用旋转的性质得出是等边三角形，再求解线段长度和关键点坐标即可. （3）对于动点问题，主要思路是减少动点，将动点转化为不动点，由，将的面积问题转化为的长度问题，进而得到面积的最大值即可. 【小问1详解】 过点作于点， 又，所以是等腰直角三角形，即也是等腰直角三角形， 由旋转性质可知，， 所以，所以. 【小问2详解】 过点作于点， 在中，， 所以，所以. 由旋转性质可知， 所以是等边三角形，得到. 【小问3详解】 过点作于点，， 所以在旋转过程中最大时，就是面积最大时， 当过点时，最大，此时， 所以面积最大值为. 17. 已知点是二次函数图象上的点. （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，求函数的最大值与最小值的差； （3）当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. 【答案】（1） 顶点坐标为 （2） （3） 或 【解析】 【分析】（3）属于定轴动区间问题，对进行分类讨论. 【小问1详解】 代入点，，解得. 二次函数的解析式为，所以顶点坐标为. 【小问2详解】 因为抛物线开口向上，结合图像可知， 时，单调递减；时，单调递增. 所以时，函数取最小值为， 时，；时，，所以函数在时取最大值为， 函数的最大值与最小值的差为. 【小问3详解】 情况一：当，即时，在上单调递减， 时，；时，， 所以，解得（舍）. 情况二：当时，在上单调递减， 在上单调递增，所以时，， 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍）. 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍） 情况三：当时，在上单调递增， 时，；时，， 此时，解得（舍）. 综上所述，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $