精品解析：天津市第二南开学校2026-2027学年高一上学期开学考试数学试卷

数学和平二南开26秋高一开学考试卷 2026～2027学年度第一学期高一年级数学学科初高衔接练习 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合A中的一元二次方程得到集合A的元素，再根据并集的定义计算即可. 【详解】由，因式分解得，解得或，因此. 因为，所以. 2. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，所以， 又，所以. 3. 已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 4. 若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分方程是否是一元二次方程两种情况讨论即可求解. 【详解】当方程为一元二次方程时，方程有解， 则且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时， 方程有解，则， 综上：当时，方程有实数根． 所以四个数中,不符合要求的值是2． 故选：A． 5. 下列说法中正确的是（ ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A. 只有①和④ B. 只有②和③ C. 只有② D. 只有②和④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 6. 如图，直角的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，交直角边于点，若顶点的坐标为，那么的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求出点的坐标，利用点在反比例函数的图像上求出，由在上得到的横坐标，又在反比例函数图像上，从而得到的纵坐标，继而得到的坐标，利用三角形面积公式求出的面积. 【详解】因为，是的中点， 所以， 因为反比例函数的图象经过斜边的中点， 所以代入得到，， 所以反比例函数为， 因为在上，垂直于轴，，所以的横坐标为. 将代入得到，即. 因为的长度为，的长度为，所以. 因为， 所以. 7. 化简的结果为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非负数 【答案】A 【解析】 【详解】 ， 因为，所以，所以化简的结果为正数． 8. 满足式子的图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论的取值，写出关系式，然后画出图象. 【详解】当时，关系式为，即，所以或， 当时，关系式为，即，所以或， 所以解析式为， 即函数图象如下，故C正确. 9. 若、、、是正整数，且，，，设的最大值为，最小值为，则（ ） A. 48 B. 36 C. 28 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】将用表示后代入化简，结合正整数的条件确定的取值范围，进而求出最大值与最小值的差. 【详解】由已知等式可得：，，. 因为均为正整数，所以满足，解得，且， 将上述表达式代入得 ， 由于是关于的一次函数，且一次项系数为负， 故随的增大而减小： 当时，取得最大值； 当时，取得最小值； 因此. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 若，，则集合B的非空真子集的个数为________. 【答案】6 【解析】 【分析】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可. 【详解】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 故答案为：6 11. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点式，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点，在给定区间，要求最小值在处取到，最大值在处取到，因此区间必须包含，且区间右端点不能超出. 【详解】如图所示：因为，开口向上，对称轴为直线， 因为关于对称轴对称的点为， 因为区间必须包含，且区间右端点不能超出， 所以，解得. 12. 若，则m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 13. 设，是方程的两个实数根，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，是方程的两个实数根， 所以，且， 即， 则. 14. 已知集合，，若，则的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 因为，所以， 所以，解得，所以的最大值为. 15. 设集合，． （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 【答案】 ①. 1536 ②. 或 【解析】 【分析】由写出集合，由集合中的元素个数求得中每个元素在其子集中出现的次数，从而求得的所有子集中的元素之和；讨论集合是否为空集，然后由集合的包含关系建立不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解得，即， 当时，，所以集合中有个元素， 其中每个元素出现在集合的子集中的次数为， 而， 所以的所有子集中的元素之和为. ，当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以当时，的取值范围是或. 三、解答题（本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用判别式大于等于零求解即可； （2）由根与系数的关系可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴的值为． 17. 设集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若 ，求实数a的取值范围 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【小问1详解】 集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. 【小问2详解】 ，， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学和平二南开26秋高一开学考试卷 2026～2027学年度第一学期高一年级数学学科初高衔接练习 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 下列说法中正确的是（ ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A. 只有①和④ B. 只有②和③ C. 只有② D. 只有②和④ 6. 如图，直角的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，交直角边于点，若顶点的坐标为，那么的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 7. 化简的结果为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非负数 8. 满足式子的图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 9. 若、、、是正整数，且，，，设的最大值为，最小值为，则（ ） A. 48 B. 36 C. 28 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 若，，则集合B的非空真子集的个数为________. 11. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________． 12. 若，则m的取值范围为__________． 13. 设，是方程的两个实数根，则________． 14. 已知集合，，若，则的最大值为________． 15. 设集合，． （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 三、解答题（本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果是这个方程的两个根，且，求的值． 17. 设集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若 ，求实数a的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $