第一章特殊平行四边形单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章特殊平行四边形单元测试卷 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列选项中不能判定成为矩形的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 3．（本题3分）如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为（     ） A．12 B．20 C．24 D．48 4．（本题3分）如图，在矩形中，对角线、交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．5 5．（本题3分）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，则它的边长为（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在矩形中，对角线与交于点，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，菱形的边长为，，对角线、相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为（     ）． A． B．2.5 C． D．2 10．（本题3分）如图，已知四边形是矩形，点B的坐标为，点D为边上一点，连接，现将沿折叠，点A落在x轴上的点E处，直线交y轴于点P，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长是_______________． 12．（本题3分）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 13．（本题3分）如图，在菱形中，，，，为对角线上两动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 14．（本题3分）如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为________． 15．（本题3分）在矩形中，，分别是边的中点，点在对角线上（如图），如果四边形是矩形，那么的长等于_____． 16．（本题3分）如图，正方形的边长为2，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为__________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过点M作于点E，． (1)若，求的长； (2)求证：． 18．（本题8分）如图，菱形的对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 19．（本题8分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 20．（本题8分）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 21．（本题9分）如图，的对角线相交于点． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 22．（本题9分）已知：如图，的对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，，连接、． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 23．（本题10分）如图1，点是正方形的边上一点，连接，在的延长线上取一点，使，连接． (1)连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，在四边形中，，，连接，求证：； (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出之间的数量关系． 24．（本题12分）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； (2)如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 第8页（共9页） 第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A B A D B C A 1．D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 添加 ， ∴ ， ∴四边形是矩形； 添加， ∴为矩形，A、B不符合题意． 添加， ∴ 为矩形，C不符合题意． 当 时，不能判定 为矩形，D符合题意． 2．D 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A．四边形是平行四边形，，由邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项A不符合题意； B．四边形是平行四边形，，由对角线垂直的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项B不符合题意； C．四边形是平行四边形，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，即选项C不符合题意； D．四边形是平行四边形，，由一个内角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，不能证明四边形是正方形，即选项D符合题意． 3．C 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质求出的长，进而得到的长，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，， ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 4．A 【分析】利用矩形的性质易证是等边三角形，即可得解． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 是等边三角形， ． 5．B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，计算菱形的边长即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴， ∴菱形的边长为． 6．A 【分析】由矩形的性质得到，从而得到，再得到，则是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴． 7．D 【分析】根据菱形的性质可知，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质可以求出，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证是等边三角形，即可证明，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：菱形的边长为， ， ， ， 是等边三角形， ， 、是菱形的对角线， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ． 8．B 【分析】由“菱形对角线互相垂直且互相平分”得点是的中点，根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”得，在中，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，， ∴，，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ ． 9．C 【分析】连接、，结合正方形性质证得为直角三角形，利用勾股定理，以及直角三角形斜边中线定理求解，即可解题． 【详解】解：连接、. ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∵点在上，， ∵，， 则，， 在中，， ∵是的中点， ∴． 10．A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 11． 【分析】利用直角三角形斜边中线定理求出斜边长度，再利用勾股定理进行求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且， ∴， 由勾股定理得． 12． 【分析】根据、两点坐标求出菱形边长，利用勾股定理在中求出长从而确定点坐标，最后根据菱形对边平行且相等的性质求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点在轴上，且由图可知在轴正半轴， 在中，， ∴， ∴， ∵，在轴上，轴， ∴点的纵坐标与点相同，为， ∵在的左侧，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 13． 【分析】利用菱形的性质证明，得出，结合菱形的性质得出，从而将转化为，根据两点之间线段最短可知当，，三点共线时和最小，即为对角线的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长，此时点与点重合，， ∵， ∴，即点与点重合，符合题意； 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 14． 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线的长，最后利用等面积法求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 15．/ 【分析】连接，，， 设与交于点，由四边形是矩形，，可得，可证明四边形、是平行四边形，，，再由四边形是矩形，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 16． 【分析】延长至K，使得，连接，，易证是的中位线，证明K必在上，时，取最小，过B作交于，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：延长至K，使得，连接，，， ∵E、H分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴K必在上， ∴时，取最小， 过B作交于， ∵， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的最小值为． 17．(1) (2)证明：如图，延长交的延长线于点G． ∵F为边的中点， ∴， ∴． 在菱形中，对角线平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴（等角对等边）． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）首先根据菱形性质得到对边平行和邻边、相等，根据平行线性质推出内错角，结合已知条件得到，再根据等角对等边以及垂线性质得到，求出的长，进而求解的长． （2）首先运用辅助线构造全等三角形，延长交的延长线于点G，根据菱形性质和已知条件证明，接着运用定理证明，得到；然后根据等角对等边得到；最后结合中线性质和平行线性质，运用定理证明，得到；将进行等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴（等角对等边）． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）略 18．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； (2)24 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19．(1)证明：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，得出，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，由勾股定理可得，从而列方程求出，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 20．(1)选①： 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是矩形； 选②： 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形． (2)12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据所选情况证明四边形是矩形； （2）根据勾股定理求出的长，进而求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， ，， ， 矩形的面积为：． 21．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵, ∴，即． 在和中， ， ∴． (2)解：四边形是矩形．理由： 由（1）知． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，证明，再借助证明即可； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】（1）略； （2）略． 22．(1) 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ； (2)解：四边形是矩形，理由如下： 由（1）知：， 又， 四边形是平行四边形， ，， 是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是矩形． 【分析】（1）平行四边形对边相等，先证明，得到，从而得到，再证明； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，用三角形外角和已知条件得到，进行得到，对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】（1） 略； （2） 略． 23．(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； (2)证明：如图，延长至点，截取，连接， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，证明，推出，结合，得到，即可证明； （2）如图，延长至点，截取，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，即可得出结论； （3）以为边向上作等边三角形，连接，证明，推出，结合已知求出，得到，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 证明：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、四边形内角和定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．(1)60，60 (2)证明：∵四边形是矩形， ∴，，，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (3) 【分析】（1）根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； （2）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，则，结合菱形的判定方法即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，，由全等的性质得到，如图所示，过点E作于点G，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴， 由（2）得到， ∴， 如图，过点E作于点G， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 答案第8页（共8页） 答案第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $