1.1生活中的立体图形（分层作业，13大题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 1.1 生活中的立体图形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 常见的几何体 题型02 生活中的几何体 题型03 组合几何体的构成 题型04 常见几何体的分类 题型05 棱柱 题型06 几何体的构成元素 题型07 点、线、面、体之间的关系 题型08 点动成线，线动成面 题型09 面动成体 B组 能力进阶 题型01 几何体的表面积 题型02 常见几何体的体积计算 C组 思维拔高 题型01 规律探究 题型02 新定义几何体 常见的几何体题型01 1．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列图形中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的有（     ） ①圆锥和圆柱的底面都是圆                    ②棱锥底面边数与侧棱数相等 ③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形    ④正方体是四棱柱，四棱柱是正方体 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 4．分别写出下列图形的名称： （1）________（2）________（3）________（4）________（5）________（6）________ 5．（24-25七年级上·广东揭阳·月考）如图，将几何体与它的名称连接起来． 生活中的几何体题型02 1．下列哪个物体给我们以圆柱的形象(   ) A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东滨州·期末）一个乒乓球有以下性质，其中属于几何性质的为（   ） A．材质 B．红色 C．有弹性 D．半径 3．生活中：(1)墨水瓶包装盒；(2)漏斗；(3)地球仪；(4)六角螺母；(5)卷筒卫生纸．各属于什么几何图形？ (1)________；(2)_______；(3)_______；(4)________；(5)_______． 4．下图是一些颇具特色的建筑物照片： 想象这些建筑物的实体，回答下列问题： （1）哪些建筑物（或其一部分）与古埃及金字塔的形状相同或相近？ （2）哪些建筑物的形状与我们学习过的几何体相同或相近？你能用适当的语言描述它们相同或相近的特征吗？ 5．如图，每个物体的形状分别类似于哪种几何体？请将这些物体按一定的标准进行分类． 组合几何体的构成题型03 1．如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 2．如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 3．（25-26九年级下·江西景德镇·期中）如图：有A，B，C三种三角形木板，小美想将其拼接成三棱锥，以下说法正确的是（  ） A．用1块A与3块B可拼成正三棱锥 B．用1块A与3块C可拼成正三棱锥 C．用2块A与2块C可拼成三棱锥 D．用2块B与2块C可拼成三棱锥 4．指出下图中各物体分别是由哪些立体图形组成的． 5．如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ 常见几何体的分类题型04 1．下列几何体中，没有曲面的是（    ） A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．球 2．将下列几何体分类，柱体有：______（填序号）． 3．（25-26七年级·山东·月考）下列几何体中，柱体是______，含曲面的有______无顶点的有______（填序号） 4．如图，画出了8个立体图形，请你找出与图②具有相同特征的图形，并说出相同的特征． 5．数学课上，左老师给出了这样一道题：将图中的几何体进行分类，并简要说明理由. 小明认为：若按柱、锥、球来划分：②③⑥是柱体；④⑤是锥体；①是球体. 小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲面；②③⑤⑥是一类，因为组成它们的各个面都是平面. 同学们，你认为小明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正. 棱柱题型05 1．（25-26七年级上·广东佛山·月考）下列几何体中，是棱柱的为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）元旦，小颖想给妈妈一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法，不正确的是（   ） A．它有9条棱 B．它有6个面 C．它的所有侧棱长都相等 D．它有6个顶点 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是长方形；乙同学：它有12条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 4．一个棱柱有12个顶点，所有的侧棱长的和是48cm，则每条侧棱长是____ cm. 5．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图所示是一个七棱柱，它的底面边长都是，侧棱长是．观察这个棱柱，回答下列问题： (1)七棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？由此猜想棱柱有多少个面？ (2)这个七棱柱的侧面积是多少？ (3)七棱柱一共有多少条棱？一共有多少个顶点？ (4)通过对棱柱的观察，请写出棱柱的顶点数与的关系？棱柱棱的条数与的关系？ 几何体的构成元素题型06 1．如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 2．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 3．如图：三棱锥有__个面，它们相交形成了__条棱，这些棱相交形成了__个点． 4．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（），面数（），棱数（）之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是个，八边形的个数是，则_________． 5．请分别指出下列几何体各有多少个面，面与面相交形成的线各有多少条，线与线相交形成的点各有多少个． 点、线、面、体之间的关系题型07 1．点动成________，线动成________，面动成________；围成体的是________，面与面相交得________，线与线相交得________． 2．如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱________⊥面．    点动成线，线动成面题型08 1．雨滴滴下来形成雨丝属于下列哪个选项的实际应用（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 3．下面现象说明“线动成面”的是（    ） A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 B．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹 C．天空划过一道流星 D．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线 4．用数学知识解释下列现象： (1)飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释为________； (2)一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释为________； (3)汽车雨刷刷过的路径，解释为________． 5．如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形．把有对应关系的线与平面图形用线连起来． 面动成体题型09 1．（2025·陕西西安·二模）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 2．图中是将一平面图形绕直线l旋转一周得到的，则该平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，这说明了_________． 4．（25-26七年级·陕西咸阳·期末）如图，现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的宽所在的直线旋转一周，得到的几何体其中一个底面的面积为_____．（结果保留） 5．直角三角形两条直角边的长分别为12和5，以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，求所有可能得到的几何体的底面积． 几何体的表面积题型01 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长．这个直七棱柱所有侧面的面积之和是__． 2．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是________．      3．一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是____________平方厘米． 4．如图所示，把底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体，这个近似长方体的表面积是_____cm2，体积是_____cm3． 5．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，“线动成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 常见几何体的体积计算题型02 1．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图是一张长为，宽为的长方形纸片，将这张长方形纸片绕着其长所在直线旋转一周，得到一个立体图形，则这个立体图形的体积是（   ） A． B． C． D． 2．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图所示的“粮仓”（单位：m）的容积为_____________________（结果保留π）． 4．如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高，直立放置于水桶底面上，此时水桶内的水面高度为．若水桶的底面直径为，铁柱的底面直径为．现将铁柱取出，则水桶内的水面高度变为________．（不计桶的厚度及水的损失） 5．把三角形ABC沿BC边和AB边分别旋转一周，得到2个圆锥（如下图），哪个圆锥的体积大？ 规律探究题型01 1．观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 四面体 五面体 正方体 正八面体 图形 顶点数v 4 6 8 棱数e 6 12 面数f 4 5 8 分析表中的数据，v，e，f之间的关系用等式表示为________． 2．观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有_________个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有____________个． 3．五棱柱、六棱柱各有多少个面？多少个顶点？多少条棱？猜测七棱柱的情形并设法验证你的猜测． 4．如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． (1)数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表： 图形 ① ② ③ ④ 顶点数(V) 边数(E) 区域数(F) (2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系； (3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数． 5．将一个正方体的表面全涂上颜色． （1）如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a个，则a=　 　； （2）如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体．设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a个，各个面都没有涂色的有b个，则a+b=　 　； （3）如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b=　 　； （4）如果把正方体的棱n等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到　 　个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b=　 　． 新定义几何体题型02 1．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角称为多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（   ）． A． B． C． D． 2．学科素养·数形结合 用，，，代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图是由，，，中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图所示的组合图形中表示&的是________． 3．阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 生活中的立体图形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 常见的几何体 题型02 生活中的几何体 题型03 组合几何体的构成 题型04 常见几何体的分类 题型05 棱柱 题型06 几何体的构成元素 题型07 点、线、面、体之间的关系 题型08 点动成线，线动成面 题型09 面动成体 B组 能力进阶 题型01 几何体的表面积 题型02 常见几何体的体积计算 C组 思维拔高 题型01 规律探究 题型02 新定义几何体 常见的几何体题型01 1．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列图形中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体的分类逐项判断即可．本题主要考查几何图形，牢记几何体的分类是解题的关键． 【详解】A、为球，该选项不符合题意； B、为圆锥，该选项不符合题意； C、为正方体，该选项不符合题意； D、为圆柱，该选项符合题意． 故选：D． 2．下列说法中，正确的有（     ） ①圆锥和圆柱的底面都是圆                    ②棱锥底面边数与侧棱数相等 ③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形    ④正方体是四棱柱，四棱柱是正方体 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题抓住圆柱、圆锥、棱锥、棱柱的结构特征进行判断． 【详解】解：①由圆柱和圆锥的特征可以得知：圆柱、圆锥的底面都是圆形．故①正确； ②棱锥底面边数与侧棱数相等．故②正确； ③棱柱的上下底面是全等的多边形，则棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形．故③正确； ④正方体是四棱柱，但是四棱柱不一定是正方体．故④错误． 综上所述，正确的说法是：①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了立体图形的认识，熟记常见立体图形的结构特征是解题的关键． 3．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】根据几何体的特点判断解答即可． 【详解】解：①长方体：将正方体盒子水平放置，装部分水时，水形成的几何体就是长方体，可能． ②正方体：要让水成为正方体，需要把正方体盒子完全装满水才能得到，题目说明是“一定量的水”，且未装满，因此不可能． ③圆柱体：水静止时水面是平面，正方体盒子的所有面都是平面，因此水形成的几何体所有面都是平面，而圆柱体有曲面，不可能． ④三棱锥：将正方体一个顶点朝下放置，让水面刚好过该顶点相邻三条棱的各一点，水就形成三棱锥，可能． ⑤三棱柱：将正方体侧放，让水面经过正方体一组相对的平行棱，水就能形成三棱柱，可能． 综上，可能的是①④⑤，答案选D． 4．分别写出下列图形的名称： （1）________（2）________（3）________（4）________（5）________（6）________ 【答案】 长方体 圆柱 圆锥 三棱柱 三棱锥 球 【分析】根据立体图形的底面形状、侧面特征、顶点数量等特征，逐一识别图形名称． 【详解】解：（1）具有个长方形面，相对面平行且相等，是长方体； （2）上下底面为大小相同的圆形，侧面为曲面，是圆柱； （3）底面为圆形，侧面为曲面并汇聚于一个顶点，是圆锥； （4）上下底面为三角形，侧面为长方形，是三棱柱； （5）底面为三角形，侧面为三角形并汇聚于一个顶点，是三棱锥； （6）从任意方向观察均为圆形，表面为连续曲面，是球； 因此，各图形名称依次为：长方体、圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、球． 5．（24-25七年级上·广东揭阳·月考）如图，将几何体与它的名称连接起来． 【答案】 【分析】本题考查了认识立体图形，根据常见立体图形的概念连线即可，注意正确区分各个几何体的特征可得答案． 【详解】略 生活中的几何体题型02 1．下列哪个物体给我们以圆柱的形象(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱体上下表面都是圆的特征即可解题. 【详解】解：∵圆柱体的上下表面是圆, 故选C. 【点睛】本题考查了圆柱体的识别,属于简单题,熟悉立体图形的定义是解题关键. 2．（25-26七年级上·山东滨州·期末）一个乒乓球有以下性质，其中属于几何性质的为（   ） A．材质 B．红色 C．有弹性 D．半径 【答案】D 【分析】几何性质是描述物体形状、大小等几何特征的性质，判断各选项的属性即可得出结论． 【详解】解：∵几何性质是反映物体几何形状、大小特征的性质， A材质、B颜色、C弹性都属于物理性质，不属于几何性质， D选项半径是描述球体大小的几何量，属于几何性质， 故选项D符合题意． 3．生活中：(1)墨水瓶包装盒；(2)漏斗；(3)地球仪；(4)六角螺母；(5)卷筒卫生纸．各属于什么几何图形？ (1)________；(2)_______；(3)_______；(4)________；(5)_______． 【答案】 (1)长方体 (2)圆锥 (3)球体 (4)六棱柱 (5)圆柱 【分析】掌握常见几何体的特征，棱柱主要特点：上下两个平行的面，侧面是四边形；球体主要特点：一个曲面；圆锥主要特征；两个面，底面是圆，侧面是一个曲面；圆柱主要特征：上下两个全等的平行的圆，侧面是一个曲面；根据不同几何体的特点，写出答案即可. 【详解】解：根据以上分析特征故墨水瓶包装盒是长方体；漏斗是圆锥；地球仪是球体；六角螺母是六棱柱；卷筒卫生纸是圆柱. 故答案为(1)长方体；(2)圆锥；(3)球；(4)六棱柱；(5)圆柱. 【点睛】本题考查学生对常见几何体特点掌握程度，牢记常见几何体的特征是解题关键， 4．下图是一些颇具特色的建筑物照片： 想象这些建筑物的实体，回答下列问题： （1）哪些建筑物（或其一部分）与古埃及金字塔的形状相同或相近？ （2）哪些建筑物的形状与我们学习过的几何体相同或相近？你能用适当的语言描述它们相同或相近的特征吗？ 【答案】（1）B，E建筑物的顶端； （2）E底部的立柱是圆柱体，上下两个面是相等的圆形，中间是曲面， A的顶部是圆锥体，底面是圆形，上面是锥形， F是棱柱体，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行， 【分析】（1）根据金字塔的形状结合照片回答即可，（2）根据学过的几何体与照片对照回答即可. 【详解】（1）金字塔是棱锥，所以侧面看是三角形，所以B、E建筑物的顶端与金字塔的形状相同. （2）略 【点睛】本题考查生活中的立体图形，熟练掌握各立体图形的结构特点是解题关键. 5．如图，每个物体的形状分别类似于哪种几何体？请将这些物体按一定的标准进行分类． 【答案】见解析 【分析】根据所给的几何体的形状和特征，找出有一个曲面围成的几何体；由常见几何体的形状和特征，找出其中有顶点的锥体；观察所给图形的形状和特征，把剩下的放到一组． 【详解】解：①类似于长方体；②类似于圆锥；③类似于圆柱；④类似于球；⑤类似于棱柱；⑥类似于棱锥． 按柱体、锥体、球来分：①③⑤是柱体，②⑥是锥体，④是球（分类标准不唯一，合理即可）． 组合几何体的构成题型03 1．如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 【答案】B 【分析】此题主要考查了认识几何体，关键是认识常见的几何体，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．根据常见的几何体的形状，观察粮仓外形图，分别分析其上下部分对应的常见几何体可得答案． 【详解】解：观察图片可知，粮仓的上半部分是一个有尖顶，侧面为曲面且从底面逐渐收缩到顶点的形状，这符合圆锥的特征，所以粮仓上半部分是圆锥； 粮仓的下半部分是一个上下底面为等大的圆形，侧面是曲面，这符合圆柱的特征，所以粮仓下半部分是圆柱； ∴一座粮仓，它可以看作是由圆锥和圆柱几何体组成的； 故选：B． 2．如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 3．（25-26九年级下·江西景德镇·期中）如图：有A，B，C三种三角形木板，小美想将其拼接成三棱锥，以下说法正确的是（  ） A．用1块A与3块B可拼成正三棱锥 B．用1块A与3块C可拼成正三棱锥 C．用2块A与2块C可拼成三棱锥 D．用2块B与2块C可拼成三棱锥 【答案】B 【分析】根据相邻面的公共边长度必须相等，才能无缝拼接成封闭的三棱锥，判断即可． 【详解】解：选项A：用1块A作底面，3块B作侧面，不能拼成正三棱锥； 选项B：用1块A作底面，3块C作侧面，可拼成正三棱锥； 选项C：用1块A作底面，2块C和1块A作侧面，不能拼成三棱锥； 选项D：用1块B作底面，2块C和1块B作侧面，不能拼成三棱锥． 4．指出下图中各物体分别是由哪些立体图形组成的． 【答案】 正方体、圆柱和圆锥 圆柱、长方体和三棱柱 五棱柱、球 【分析】将组合体拆分，分析其结构特征，结合柱体，锥体，球体解答即可． 【详解】解：（1）是由一个正方体，一个圆柱，一个圆锥组成的组合体； （2）是由一个圆柱，一个长方体，一个三棱柱组成的组合体； （3）是由一个五棱柱，一个球组成的组合体． 5．如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ 【答案】(1)64个 (2)8个 (3)24个 (4)24个 (5)有，8个 【分析】（1）棱长是8cm的立方体体积512cm3，棱长为2cm的小正方体体积为8cm3，由此能求出共得到多少个棱长为2cm的小正方体； （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个； （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个； （4）一个面有红色的小正方体位于棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，由此能求出一面涂色的小正方体有多少个； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个． 【详解】（1）棱长是8cm的立方体体积为：8×8×8=512（cm3）， 棱长为2cm的小正方体体积为8cm3， ∴共得到512÷8=64个小正方体． （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体， ∵立方体共有8个顶点， ∴三面涂色的小正方体有8个， （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体， ∵立方体共有12条边，每边有2个正方体， ∴二面涂色的小正方体有24个， （4）一面涂色的小正方体在棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体， ∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体， ∴一面涂色的小正方体有24个， （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，共有64-8-24-24=8个， 【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征． 常见几何体的分类题型04 1．下列几何体中，没有曲面的是（    ） A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．球 【答案】B 【分析】根据围成几何体的面分为多面体和曲面体，逐一进行判断即可求解. 【详解】解：A.侧面是曲面，是曲面体，故不符合题意； B.每个面都是长方形，没有曲面，故符合题意； C. 侧面是曲面，是曲面体，故不符合题意； D.是曲面体，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的分类，理解分类的标准是解题的关键． 2．将下列几何体分类，柱体有：______（填序号）． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】解这类题首先要明确柱体的概念和定义，然后根据图示进行解答． 【详解】柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：（1）（2）（3）． 故答案为（1）（2）（3）． 【点睛】此题主要考查了认识立体图形，几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形． 3．（25-26七年级·山东·月考）下列几何体中，柱体是______，含曲面的有______无顶点的有______（填序号） 【答案】 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ ①⑦ 【分析】本题考查对常见立体图形的识别及其基本特征的理解，熟知立体图形的特征是解题关键．根据立体图形的特征即可得到答案． 【详解】解：下列几何体中，柱体是①③④⑤⑥⑧，含曲面的有①②⑦，无顶点的有①⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧；①②⑦；①⑦． 4．如图，画出了8个立体图形，请你找出与图②具有相同特征的图形，并说出相同的特征． 【答案】 图④⑦与图②有相同特征，相同特征：都是锥体； 图①⑤与图②有相同特征，相同特征：底面都是圆． 【分析】本题考查了立体图形的分类.本题的关键在于观察和识别图形的特征，然后进行比较和分类.通过本题的练习，我们可以提高对几何图形特征的理解和识别能力. 【详解】略 5．数学课上，左老师给出了这样一道题：将图中的几何体进行分类，并简要说明理由. 小明认为：若按柱、锥、球来划分：②③⑥是柱体；④⑤是锥体；①是球体. 小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲面；②③⑤⑥是一类，因为组成它们的各个面都是平面. 同学们，你认为小明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正. 【答案】都不正确，按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体；按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面. 【分析】分别按柱、锥、球来分类与按平面或曲面来分类，分别求解即可. 【详解】解：都不正确. 若按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体. 若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面. 【点睛】此题主要考查几何体的分类，解题的关键是熟知几何体的分类方式与方法. 棱柱题型05 1．（25-26七年级上·广东佛山·月考）下列几何体中，是棱柱的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的分类；根据立体图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是圆锥，不符合题意； B． 是圆柱，不符合题意； C． 是棱柱，符合题意； D． 是三棱锥，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）元旦，小颖想给妈妈一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法，不正确的是（   ） A．它有9条棱 B．它有6个面 C．它的所有侧棱长都相等 D．它有6个顶点 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的特点，掌握三棱柱点，线，面的性质是关键． 根据三棱柱的特点即可求解． 【详解】解：三棱柱有9条棱，故A选项正确，不符合题意； 有5个面，故B选项错误，符合题意； 它的所有侧棱长都相等，故C选项正确，不符合题意； 有6个顶点，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是长方形；乙同学：它有12条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【答案】B 【分析】本题主要考查了棱柱和棱锥的特点，根据甲同学描述有4个面是长方形，乙同学描述有12条棱，结合选项立体图形的性质，判断符合条件的几何体是四棱柱． 【详解】解：A．三棱柱有9条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件； B．若为直四棱柱，其有4个侧面为长方形，共有12条棱，符合条件； C．三棱锥有6条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件； D．四棱锥有8条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件． 故选：B． 4．一个棱柱有12个顶点，所有的侧棱长的和是48cm，则每条侧棱长是____ cm. 【答案】8 【分析】有12个顶点的棱柱是六棱柱.六棱柱有6条侧棱，知道侧棱长的和是48cm，除以6就得到了每条侧棱的长度了. 【详解】解：根据棱柱的概念和定义，可知12个顶点的棱柱是六棱柱，即有6条侧棱， 又因为所有侧棱长的和是48cm，所以每条侧棱长是48÷6=8cm． 故答案为：8． 【点睛】本题考查棱柱，在棱柱中，是几棱柱，它就有几个侧面，并且就有几条侧棱． 5．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图所示是一个七棱柱，它的底面边长都是，侧棱长是．观察这个棱柱，回答下列问题： (1)七棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？由此猜想棱柱有多少个面？ (2)这个七棱柱的侧面积是多少？ (3)七棱柱一共有多少条棱？一共有多少个顶点？ (4)通过对棱柱的观察，请写出棱柱的顶点数与的关系？棱柱棱的条数与的关系？ 【答案】(1)七棱柱共有9个面．侧面是长方形，底面是七边形．由此猜想棱柱有个面 (2) (3)七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点 (4)棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查棱柱的组成，理解棱柱各部分的数量是解题的关键． （1）直接观察七棱柱即可解答； （2）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量7个即可解答； （3）观察七棱柱即可解答； （4）由七棱柱的规律，总结即可解答． 【详解】（1）解：七棱柱有7个侧面，2个底面，共有9个面．侧面是长方形，底面是七边形．由此猜想棱柱有n个侧面，2个底面，共有个面． （2）解：， 答：这个七棱柱的侧面积是． （3）解：七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点． （4）解：棱柱共有个顶点，共有条棱． 几何体的构成元素题型06 1．如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体，熟练掌握简单几何体的特征是解题的关键； 根据面与面相交成线即可求解； 【详解】解：面与面相交成条线；即侧面与上面相交的一条曲的和一条直的线，侧面与下面相交的一条曲的和一条直的线，侧面上的曲面与平面相交成两条直的线，共条线； 故选：B 2．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于7 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：因为7是质数， 所以不带红色的小正方体只能是排成一排， 所以这个长方体由即个小正方体组成， 把它看成3层，第一层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 第二层两面带红色的小正方体个数为：4个， 第三层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 所以两面带红色的小正方体个数为：（个）， 故选D． 3．如图：三棱锥有__个面，它们相交形成了__条棱，这些棱相交形成了__个点． 【答案】 4 6 4 【详解】 解：三棱锥有4个面，它们相交形成了6条棱，这些棱相交形成了4个点．故答案为4、6、4． 【小结】 本题考查了立体图形（三棱锥）的认识，熟练掌握常见立体图形的特征是解题的关键． 4．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（），面数（），棱数（）之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是个，八边形的个数是，则_________． 【答案】14 【分析】得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值． 【详解】解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有24×3÷2=36条棱， 那么24+f-36=2，解得f=14， ∴x+y=14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，难点是熟练掌握欧拉定理． 5．请分别指出下列几何体各有多少个面，面与面相交形成的线各有多少条，线与线相交形成的点各有多少个． 【答案】图（1）的几何体有4个面，面与面相交形成的线有6条，线与线相交形成的点有4个；图（2）的几何体有6个面，面与面相交形成的线有条，线与线相交形成的点有8个；图（3）的几何体有9个面，面与面相交形成的线有条，线与线相交形成的点有9个 【分析】本题考查立体图形的认识，熟练掌握立体图形的基本知识是解题的关键．根据立体图形的基本知识结合图形即可得出答案． 【详解】解：图（1）的几何体有4个面，面与面相交形成的线有6条，线与线相交形成的点有4个； 图（2）的几何体有6个面，面与面相交形成的线有条，线与线相交形成的点有8个； 图（3）的几何体有9个面，面与面相交形成的线有条，线与线相交形成的点有9个． 点、线、面、体之间的关系题型07 1．点动成________，线动成________，面动成________；围成体的是________，面与面相交得________，线与线相交得________． 【答案】 线 面 体 面 线 点 【解析】略 2．如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱________⊥面．    【答案】 【分析】借助合页型折纸，说明该棱与面ABCD垂直即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 点动成线，线动成面题型08 1．雨滴滴下来形成雨丝属于下列哪个选项的实际应用（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据点动成线分析即可． 【详解】雨滴滴下来形成雨丝属于点动成线， 故选：A． 【点睛】此题考查点、线、面、体，关键是根据点动成线解答． 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 3．下面现象说明“线动成面”的是（    ） A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 B．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹 C．天空划过一道流星 D．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键，点动成线、线动成面、面动成体． 【详解】解：A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，此现象给我们“面动成体”的感觉，故A不符合题意； B．汽车挡风玻璃上的“刮雨器”可以看成“线段”，雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹，给我们的感觉是“线动成面”，故B符合题意； C．天空划过一道流星，给我们的感觉为“点动成线”，故C不符合题意； D．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线，给我们感觉为“点动成线”，故D不符合题意； 故选：B． 4．用数学知识解释下列现象： (1)飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释为________； (2)一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释为________； (3)汽车雨刷刷过的路径，解释为________． 【答案】(1) 点动成线 (2) 面动成体 (3) 线动成面 【分析】根据点、线、面、体之间的动态关系，对应每个实际现象判断即可，核心是抓住运动的图形是什么，运动后得到的图形是什么． 【详解】（1） 飞机可看作一个点，飞行过程中拉出的线是点运动形成的，因此“飞机拉线”解释为点动成线． （2）半圆是一个平面图形，绕它的直径所在直线旋转一周形成立体的球，因此这个现象解释为面动成体． （3）汽车雨刷可看作一条线，雨刷运动刷过的路径是线运动形成的面，因此这个现象解释为线动成面． 5．如图，上面的线分别按箭头所示方向平移或绕定点旋转，可以得出下面的平面图形．把有对应关系的线与平面图形用线连起来． 【答案】 连线如下： 【分析】根据线的特征（直线、射线、曲线等）以及平移、旋转的性质，判断线经过相应变换后得到的平面图形，然后进行连线．本题主要考查点、线、面之间的关系，以及平移和旋转的性质，熟练掌握线经过平移、旋转后形成平面图形的规律是解题的关键． 【详解】解：竖直的直线，平移后得到矩形（长方形）；斜向的直线，平移后得到平行四边形；曲线（类似“S”形 ），平移后得到与之形状匹配的曲线图形；线段旋转后得到扇形． 面动成体题型09 1．（2025·陕西西安·二模）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键． 根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可． 【详解】解：将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，得到的立体图形是 ． 故选：C 2．图中是将一平面图形绕直线l旋转一周得到的，则该平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据面动成体，所得图形是两个圆锥体的组合体确定答案即可． 【详解】解：A、该图形绕l一周得到的图形是一个圆锥，不符合题意； B、该图形绕l一周得到的图形是一个圆锥，不符合题意； C、该图形绕l一周得到的图形是一个球，不符合题意； D、该图形绕l一周得到的图形是上下两个圆锥组成的，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了面动成体，熟悉常见图形旋转得到的立体图形是解题的关键． 3．硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，这说明了_________． 【答案】面动成体 【分析】根据点动成面、面动成体原理即可解答． 【详解】解：硬币在桌面上快速地转动时，看上去像球，这说明了面动成体． 故答案为：面动成体． 【点睛】本题主要考查了面动成体，这是面动成体的原理在现实中的具体表现． 4．（25-26七年级·陕西咸阳·期末）如图，现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的宽所在的直线旋转一周，得到的几何体其中一个底面的面积为_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，掌握“面动成体”和圆柱底面积的计算方法是正确解答的关键．以宽所在的直线为轴旋转一周得到圆柱，其底面半径等于长方形的长，再由圆的面积公式计算底面积即可． 【详解】解：以宽为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为，高为， 因此底面的面积为：， 故答案为：． 5．直角三角形两条直角边的长分别为12和5，以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，求所有可能得到的几何体的底面积． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转体，根据题意以直角三角形一条直角边为轴转动时，旋转出来的几何体为圆锥，则底面为圆形，半径为非轴所在直角边的长度． 【详解】解：当以长为的直角边所在的直线为轴旋转一周时，几何体的底面积为：； 当以长为的直角边所在的直线为轴旋转一周时，几何体的底面积为． 综上所述，得到的几何体的底面积是或． 几何体的表面积题型01 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长．这个直七棱柱所有侧面的面积之和是__． 【答案】224 【分析】本题考查认识立体图形．根据直七棱柱的形体特征以及长方形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：这个直七棱柱的每一个侧面都是长为，宽为的长方形， 所以这个直七棱柱的侧面的面积之和为， 故答案为：224． 2．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是________．      【答案】 【分析】从顶点处挖去一个小正方体，挖去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变． 【详解】解：挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积相等， 剩余部分的表面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体体积、表面积的计算，明确挖去的正方体中相对的面的面积都相等是此题关键． 3．一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是____________平方厘米． 【答案】190 【分析】本题考查了求不规则立方体的表面积，根据题意得到正方体多出中正方体和小正方体各4个面，进行求解即可． 【详解】解：立体图形的表面积为（平方厘米）； 故答案为：190． 4．如图所示，把底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体，这个近似长方体的表面积是_____cm2，体积是_____cm3． 【答案】 192π+160 320π 【分析】由图可知，这个长方体的表面积比原圆柱多了两个4×20的长方形面积，而体积与圆柱相同. 【详解】解：由图可知，长方体的表面积为，8π×20+8π×4+4×20×2=192π+160（cm2）； 体积是，4×20×4π=320π（cm3）， 故答案为192π+160；320π． 【点睛】观察图形并发现长方体和圆柱之间的表面积和体积关系是解题关键. 5．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，“线动成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2)形成的几何体的表面积是 【分析】本题主要考查了求圆柱的表面积，面动成体， 对于（1），根据长方形旋转得出圆柱解答； 对于（2），根据表面积等于两个底面积加上侧面积解答即可． 【详解】（1）解：所得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体； （2）解：绕所在直线旋转一周，形成底面半径为，高为的圆柱， ． 形成的几何体的表面积是． 常见几何体的体积计算题型02 1．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图是一张长为，宽为的长方形纸片，将这张长方形纸片绕着其长所在直线旋转一周，得到一个立体图形，则这个立体图形的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，将长方形纸片绕长边所在直线旋转一周，得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱体，根据体积计算公式进行计算即可． 【详解】解：将这张长方形纸片绕着其长所在直线旋转一周，得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱体， 所以，体积为：， 故选：D． 2．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 3．如图所示的“粮仓”（单位：m）的容积为_____________________（结果保留π）． 【答案】 【分析】根据圆柱和圆锥的底面半径为，圆锥的高为，圆柱的高为，利用圆柱和圆锥的体积公式可得“粮仓”的容积． 【详解】解：由图可知，圆柱和圆锥的底面半径为，圆锥的高为，圆柱的高为， ∴这个“粮仓”的容积． 4．如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高，直立放置于水桶底面上，此时水桶内的水面高度为．若水桶的底面直径为，铁柱的底面直径为．现将铁柱取出，则水桶内的水面高度变为________．（不计桶的厚度及水的损失） 【答案】 【分析】先求出取出铁柱前水的体积，然后根据取出后水柱的底面积为整个圆形水桶的底面积求出此时的水面高度即可． 【详解】铁柱取出前，水的体积为：， 铁柱取出后，水铺满整个圆桶地面，即此时水柱的底面积等于圆桶的底面积， ∴此时水面高度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆柱体的体积计算，准确分析变化前后对应圆柱体的底面积是解题关键． 5．把三角形ABC沿BC边和AB边分别旋转一周，得到2个圆锥（如下图），哪个圆锥的体积大？ 【答案】以AB边为轴旋转成圆锥的体积大 【分析】利用圆锥体积公式计算体积，再比较即可； 【详解】解：以AB边为轴旋转时体积为：（cm³）， 以CB边为轴旋转时体积为：（cm³）， 因为25πcm³＞15πcm³，所以以AB边为轴旋转成圆锥的体积大． 【点睛】本题考查了圆锥的特征，圆锥体积的计算；掌握体积公式是解题关键． 规律探究题型01 1．观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 四面体 五面体 正方体 正八面体 图形 顶点数v 4 6 8 棱数e 6 12 面数f 4 5 8 分析表中的数据，v，e，f之间的关系用等式表示为________． 【答案】，，，， 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点、线、面、体的相关概念，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形数出顶点数，棱数，面数，填入表格，根据表格数据，顶点数与面数的和减去棱数等于进行解答． 【详解】解：四面体的顶点数是，棱数是，面数是； 五面体的顶点数是，棱数是，面数是； 正方体的顶点数是，棱数是，面数是； 正八面体的顶点数是，棱数是，面数是； 名称 四面体 五面体 正方体 正八面体 图形 顶点数v 4 6 8 6 棱数e 6 9 12 12 面数f 4 5 6 8 ∵， ， ， ， …， ∴． 即、、之间的关系式为：． 故答案为：，，，，． 2．观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有_________个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有____________个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 3．五棱柱、六棱柱各有多少个面？多少个顶点？多少条棱？猜测七棱柱的情形并设法验证你的猜测． 【答案】 如图： 三棱柱有5个面，6个顶点，9条棱； 四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱； 五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱； 六棱柱有8个面，12个顶点，18条棱； 猜想：七棱柱有9个面，14个顶点，21条棱； 观察以上棱柱可得： n棱柱有（n＋2）个面，2n个顶点和3n条棱， 所以七棱柱有9个面，14个顶点，21条棱． 【分析】结合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n＋2）个面，2n个顶点和3n条棱． 【详解】略 【点睛】本题考查了棱柱的特征．熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n＋2）个面，2n个顶点和3n条棱． 4．如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． (1)数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表： 图形 ① ② ③ ④ 顶点数(V) 边数(E) 区域数(F) (2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系； (3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数． 【答案】（1）见表格解析；（2）V＋F＝E＋1；（3）30. 【分析】（1）根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得出结果； （2）根据表（1）数据总结出规律； （3）根据题（2）的公式把20个顶点和11个区域代入即可得平面图形的边数． 【详解】（1）结合图形我们可以得出： 图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域； 图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域； 图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域； 图④有10个顶点、15条边、这些边围成6区域． （2）根据以上数据，顶点用V表示，边数用E表示，区域用F表示，他们的关系可表示为：V+F=E+1； （3）把V=20，F=11代入上式得：E=V+F﹣1=20+11﹣1=30．故如果平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为30． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． 5．将一个正方体的表面全涂上颜色． （1）如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a个，则a=　 　； （2）如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体．设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a个，各个面都没有涂色的有b个，则a+b=　 　； （3）如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b=　 　； （4）如果把正方体的棱n等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到　 　个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b=　 　． 【答案】（1）8；（2）9；（3）32；（4），． 【分析】根据正方体的性质可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，涂色位于表面中心的一面涂色，处于正中心的没涂色．依此可得到（1）棱二等分时的所得小正方体表面涂色情况；（2）棱三等分时的所得小正方体表面涂色情况；（3）棱四等分时的所得小正方体表面涂色情况．（4）根据已知图形中没有涂色的小正方形个数得出变化规律进而得出答案． 【详解】解：（1）三面被涂色的有8个，故a=8； （2）三面被涂色的有8个，各面都没有涂色的1个，a+b=8+1=9； （3）两面被涂成红色有24个，各面都没有涂色的8个，b+c=24+8=32； （4）由以上可发现规律：能够得到n3个小正方体，两面涂色c=12（n﹣2）个，各面均不涂色（n﹣2）3个，b+c=12（n﹣2）+（n﹣2）3． 故答案为8，9，32，n3，12（n﹣2）+（n﹣2）3． 【点睛】本题主要考查了正方体的组合与分割．要熟悉正方体的性质，在分割时有必要可动手操作． 新定义几何体题型02 1．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角称为多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义问题，解题的关键是理解曲率的定义，结合正八面体的性质进行计算． 根据曲率的定义，先求出正八面体一个顶点的曲率，再结合正八面体顶点的数量，求出总曲率． 【详解】解：由正八面体的性质，每个面均为等边三角形， ∴在一个顶点处的四个角均为，故一个顶点的曲率等于， 故正八面体的总曲率等于． 故选：B． 2．学科素养·数形结合 用，，，代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．如图是由，，，中的两个图形组合而成的（组合用“&”表示）．如图所示的组合图形中表示&的是________． 【答案】 【分析】本题主要考查学生通过观察、分析识别图形的的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定、、、各代表什么图形． 根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，图中第一个图形和第二个图形都有圆，即表示圆，那么表示正方形，表示三角形，由图中第三个图形可知表示线段． 【详解】解：由题图中第一个图形和第二个图形都有圆知是圆，所以是正方形，是三角形，由题图中第三个图形可知是线段，所以组合图形中表示&的是， 故答案为：． 3．阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5 (2)21，50 (3)正八面体 【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据该正多面体的体积与原正方体体积的比为求解即可； （2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可求出表面积； （3）直接根据图形解答即可． 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱； ②． 故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个， 表面积最小是． 故答案为：21，50； （3）解：由图可知，该造型的大四面体棱长是小正四面体棱长的2倍，结合4个小正四面体的摆放位置，中间空缺部分的形状是正八面体． 故答案为：正八面体． 【点睛】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉图体的定义是解答本题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $