25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 分层同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过A、B、C三组分层设计，以根与系数关系为核心，从基础应用到综合创新，构建"概念理解-关联应用-跨域整合"的巩固路径，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础练|韦达定理直接应用（和、积计算，参数求解）|选择、填空为主，如已知方程求两根和（题1），培养运算能力| |B组提升练|定理与判别式、函数结合（代数式变形，根的性质）|综合题型，如结合函数图象判断系数（题12），发展推理能力| |C组综合练|跨知识点整合（代数降次、几何应用）|复杂解答题，如菱形对角线与方程根结合（题19），提升创新意识|

九年级数学（人教版）第二十五章 一元二次方程 25.2　降次——解一元二次方程 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 A组 基础练 1.若x1，x2是方程x2−2x−8=0 的两个根，则( ) A. x1+x2=2 B. x1+x2=−2 C. x1x2=4 D. x1x2=8 2.已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有一个根为－3，则另一个根为( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 3.已知关于x的一元二次方程x2＋cx＋6＝0，它的两根之和为－2，则c的值是( ) A.4 B.2 C.－2 D.－4 4.若一元二次方程x(x+2)−3=0 的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n) 在平面直角坐标系中位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.定义(a,b,c)为方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的特征数.若特征数为(1，2k−2，k2−k) 的方程的两实数根的平方和为12，则k 的值为( ) A. −1或4 B. 4 C. −1 D. −4 或1 6.请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数不为1，且两根之和为负，两根之积为负.你所写的一元二次方程是_______________________________. 7.若x1，x2是一元二次方程x2−2x−6=0 的两个实数根，则+= . 8.已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x2+2x−m=0的两个实数根，其中x1=1，则x2= . 9.已知关于x的方程x2－3x－k＋9＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝－2x2，试求这个方程的两个实数根及k的值. B组 提升练 10.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积为－4，则k的值为( ) A.4　　 　B.3　　　 C.－4　 　　D.－5 11.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝2，则x1＋x2的值为( ) A.4 B.－4 C.4或－2 D.－4或2 12.若一元二次方程x2−2x−1=0 的两个根为m，n，则一次函数y=(m+n)x+mn 的大致图象是( ) 13.若m，n为方程x2+2 026x−1=0 的两根，则(m2+2 027m−1)(n2+2 027n−1) 的值为( ) A. 1 B. −1 C. −4 053 D. 4 053 14.若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α，β，则2α2−3α+3β 的值为 . 15.已知x1，x2是关于x的方程x2−2x+k−1=0 的两个实数根，且+=x12+2x2−1，则k 的值为 ． 16.已知关于x 的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2+3=0 . （1）若该方程有一个根是−2，求k 的值； （2）若该方程的两个实数根x1，x2 满足(x1−1)(x2−1)=14，求k 的值. C组 综合练 17.已知a，b是方程x2−3x−5=0 的两根，则代数式2a3−6a2+b2+7b+1 的值是 . 17.36 18.已知ab≠1，且那么 的值为 . 18.205 19.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2−2k−1=0 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围； （2）当方程x2−(2k+3)x+k2−2k−1=0 的判别式的值为33，且该方程的两根为x1，x2 时，求代数式(x1+1)(x2+1) 的值； （3）在（2）的条件下，若a，b 为方程x2−(2k+3)x+k2−2k−1=0的两个根，且|a|，|b| 分别为菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长，求菱形ABCD 的周长. 参考答案 A组 基础练 1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.3x2+6x−5=0（答案不唯一） 7.− 8.−3 9.解：易知x1＋x2＝3， ∵x1＝－2x2，∴x1＝6，x2＝－3， ∴x1·x2＝－k＋9＝－18，解得k＝27. B组 提升练 10.D 11.B 12.B 13.B 14.10 15.2 16.解：（1）把x=−2 代入方程得(−2)2−2(k−1)×(−2)+k2+3=0， 解得k=−3或k=−1 . （2）∵ 方程x2−2(k−1)x+k2+3=0的两个实数根为x1，x2， ∴Δ=[−2(k−1)]2−4(k2+3)≥0，解得k≤−1， x1+x2=2(k−1)，x1x2=k2+3 . ∴(x1−1)(x2−1) =x1x2−(x1+x2)+1=k2+3−2(k−1)+1=k2−2k+6=14， 解得k=−2或k=4（不合题意，舍去）. ∴k=−2 . C组 综合练 19.解：（1）根据题意得Δ=[−(2k+3)]2−4(k2−2k−1)=20k+13>0 ， 解得k>−. （2）∵Δ=20k+13=33 ，∴k=1 . ∴ 方程为x2−5x−2=0 . 根据根与系数的关系可得x1+x2=5，x1⋅x2=−2 ， ∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=−2+5+1=4 . （3）∵ 方程x2−5x−2=0的两根为a，b ，∴a+b=5，ab=−2 . 设两条对角线AC，BD交于点O， ∵AC=|a|，BD=|b| ，∴AO=CO=||，BO=DO=|| . ∴AB2=AO2+OB2=||2+||2====，∴AB== . ∴菱形ABCD的周长为4AB=4×=2 . www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $