25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年人教版数学 九年级上册

**基本信息** 本练习以一元二次方程根与系数的关系为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从公式直接应用到跨情境问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|韦达定理直接应用|选择1-6、填空13-16，如已知方程求两根和积，夯实概念理解| |提升层|定理与判别式、代数式变形结合|选择7-12、填空17，含参数讨论（如选择7）、根的性质转化（如填空17新运算）| |综合层|几何应用与创新拓展|解答18-25，如结合直角三角形（22题）、换根法（25题），发展模型意识|

25.2.4一元二次方程根与系数的关系 一．选择题（共12小题） 1．若方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知a，b是方程x2﹣x﹣6＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣4 D．8 3．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．2024 B．2026 C．2028 D．4052 4．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为﹣4和﹣5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（　　） A．x2﹣9x+18＝0 B．x2+9x+18＝0 C．x2+5x+18＝0 D．x2﹣9x+14＝0 5．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．已知x1，x2是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 7．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2+7m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝18，则m的值为（　　） A．﹣9 B．2 C．2或﹣9 D．﹣2或9 8．设x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m＞3 C．3＜m≤5 D．m＞1 10．方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于（　　） A．﹣5 B．2 C．﹣24 D．5 11．设a，b是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则a2b+ab2的值为（　　） A．2026 B．2027 C．﹣2026 D．﹣2025 12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“双倍方程”，以下关于双倍方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣6x+8＝0是双倍方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是双倍方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是双倍方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是双倍方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 二．填空题（共5小题） 13．若x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根，则另一个根为　 　 ． 14．已知a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根（a≠b），则a2+2a+b的值是　 　 ． 15．若实数m、n是方程x2+11x+1＝0的两个根，则（m2+n2）+11（m+n）+11＝ 　 　 ． 16．已知x＝2是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 　 　 ． 17．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 18．已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣3x1x2＝17，求k的值． 19．已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0． （1）判断该一元二次方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根； （3）若方程的一个根是另一个根2倍，求k的值． 20． 已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣3＝0的两实数根，且，求k的值． 21．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，试求k的值． 22．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）． （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值； （2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 24．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x12+x22＝6，求m值； （2）令T，求T的取值范围． 25．请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4一元二次方程根与系数的关系 一．选择题（共12小题） 1．若方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：∵方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝k， ∵且x1+x2＝x1x2， ∴3＝k， 故选：C． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．已知a，b是方程x2﹣x﹣6＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣4 D．8 【分析】设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则，．据此求得a+b＝1，ab＝﹣6，进而代值求解即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝1，ab＝﹣6， ∴（a+1）（b+1）＝ab+（a+b）+1＝﹣6+1+1＝﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系． 3．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．2024 B．2026 C．2028 D．4052 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x1+2026，则通过降次的方法得到x1+x2＝（x1+x2）+2026，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x1是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的实数根， ∴2x1﹣2026＝0， ∴2x1+2026， ∴x1+x2＝2x1+2026﹣x1+x2＝（x1+x2）+2026， ∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2， ∴x1+x2＝2+2026＝2028． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 4．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为﹣4和﹣5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（　　） A．x2﹣9x+18＝0 B．x2+9x+18＝0 C．x2+5x+18＝0 D．x2﹣9x+14＝0 【分析】设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），再利用根与系数的关系得出关于a，b及a，c之间的关系式即可解决问题． 【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， 由题知， （﹣4）+（﹣5）＝﹣9，2×9＝18， 所以b＝9a，c＝18a， 所以原来的方程为ax2+9ax+18a＝0， 则x2+9x+18＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 5．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到m2+m＝2026，m+n＝﹣1，再把原式变形为（m2+m）+（m+n），由此代值计算即可． 【解答】解：由条件可知m2+m﹣2026＝0，m+n＝﹣1， ∴m2+m＝2026， ∴m2+2m+n＝（m2+m）+（m+n）＝2026+（﹣1）＝2025， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．熟练掌握以上知识点是关键． 6．已知x1，x2是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求式子的高次项降次，再结合一元二次方程根与系数的关系即可计算出结果． 【解答】解：由条件可知，，且由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣1， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把x1+x2＝﹣1代入得：6×（﹣1）+5＝﹣1， 所以的值为﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 7．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2+7m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝18，则m的值为（　　） A．﹣9 B．2 C．2或﹣9 D．﹣2或9 【分析】由根与系数的关系得到m2+7m＝18，解得m的值后判断是否符合题意即可． 【解答】解：已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+m2+7m＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1x2＝m2+7m， ∵x1x2＝18， ∴m2+7m＝18， 整理得：m2+7m﹣18＝0， 因式分解得：（m﹣2）（m+9）＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣9， 当m＝2时， 原方程为x2﹣6x+18＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×18＝﹣36＜0， ∴该方程没有实数根，不符合题意， 当m＝﹣9时， 原方程为x2+27x+18＝0， ∵Δ＝272﹣4×1×18＝657＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，符合题意， 则m的值为﹣9， 故选：A． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握该关系是解题的关键． 8．设x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】先利用与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数关系得x1+x2，x1x2， 所以2． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m＞3 C．3＜m≤5 D．m＞1 【分析】依据题意，由一元二次方程判别式与韦达定理，可得Δ≥0，进而列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，即可计算得解． 【解答】解：由题意得： ∴． ∴3＜m≤5． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 10．方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于（　　） A．﹣5 B．2 C．﹣24 D．5 【分析】因为x2+4x﹣5＝0，所以，因为x2﹣6x+1＝0，所以x1x2＝1，则方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于﹣5，即可作答． 【解答】解：由条件可知，x1x2＝1， 则﹣5×1＝﹣5， ∴方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于﹣5， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 11．设a，b是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则a2b+ab2的值为（　　） A．2026 B．2027 C．﹣2026 D．﹣2025 【分析】先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果． 【解答】解：由题知， 因为a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根， 则，， 所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣2026×1＝﹣2026． 故选：C． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“双倍方程”，以下关于双倍方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣6x+8＝0是双倍方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是双倍方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是双倍方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是双倍方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【分析】根据新定义和一元二次方程的解法，逐个判断每个说法的正误．解题的关键是利用方程的根满足“一个根是另一个根的2倍”这一条件进行推导． 【解答】解：根据新定义和一元二次方程的解法逐项分析判断如下： ①解方程x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， x1＝4，x2＝2，即x1＝2x2， ∴方程x2﹣6x+8＝0是双倍方程，故①正确，符合题意； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是双倍方程，其根为x1＝2，， 当x1＝2x2时，，得m+n＝0， 当x2＝2x1时，，得4m+n＝0， ∴不一定只有m+n＝0，故②错误，不符合题意； ③∵pq＝2，方程px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∵pq＝2， ∴，则， ∴该方程是双倍方程，故③正确，符合题意； ④设方程ax2+bx+c＝0的两根为x和2x， 分两种情况： 情况一：x1＝2x2， 由求根公式得： ， 两边同乘2a得：， 移项整理得：， 两边平方：b2＝9（b2﹣4ac）， 展开得：b2＝9b2﹣36ac， 整理得：2b2＝9ac； 情况二：x2＝2x1， 同理可得： 整理得：， 平方后同样得：2b2＝9ac， ∴若方程是双倍方程，则2b2＝9ac，故④正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查新定义“双倍方程”的理解，一元二次方程的解法及根的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共5小题） 13．若x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根，则另一个根为x＝3　 ． 【分析】利用根与系数的关系求出两根之积，把已知根代入计算即可求出另一根． 【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根，设另一根为m， ∴2m＝6 ∴m＝3， 则另一根是x＝3． 故答案为：x＝3． 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 14．已知a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根（a≠b），则a2+2a+b的值是　2025　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到a2+a＝2026，a+b＝﹣1，代入a2+2a+b计算即可． 【解答】解：因为a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根， 所以a2+a﹣2026＝0，a+b＝﹣1， 则a2+a＝2026， 所以a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2026+（﹣1）＝2025． 故答案为：2025． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及代数式求值，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15．若实数m、n是方程x2+11x+1＝0的两个根，则（m2+n2）+11（m+n）+11＝ 　9　 ． 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得m+n＝﹣11，mn＝1，再利用完全平方公式变形，整体代入进行运算即可． 【解答】解：∵m，n是方程x2+11x+1＝0的两个根， ∴m+n＝﹣11，mn＝1， ∴（m2+n2）+11（m+n）+11 ＝[（m+n）2﹣2mn]+11（m+n）+11 ＝[（﹣11）2﹣2]+11×（﹣11）+11 ＝119﹣121+11 ＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 16．已知x＝2是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是 　2　 ． 【分析】由于已知方程的一根2，并且一次项系数也已知，根据两根之和公式可以求出方程的另一根． 【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+24，得x1＝2． 故答案为：2． 【点评】根据方程中各系数的已知情况，合理选择根与系数的关系式是解决此类题目的关键． 17．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　　 ． 【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解． 【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0， 化简得x2+10x+7＝0， ∵m，n是该方程的两根， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 18．已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣3x1x2＝17，求k的值． 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解k的值． 【解答】（1）证明：在一元二次方程x2+（k+4）x+2k＝0中，a＝1，b＝k+4，c＝2k， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×2k＝k2+8k+16﹣8k＝k2+16， ∵无论k取何实数，k2≥0， ∴k2+16≥16＞0，即Δ＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）∵x1、x2是方程x2+（k+4）x+2k＝0的两根， ∴由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（k+4），x1•x2＝2k， 将上述两式代入x1+x2﹣3x1x2＝17得：﹣（k+4）﹣3•2k＝17， 整理得：﹣7k＝21， 解得k＝﹣3． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 19．已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0． （1）判断该一元二次方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根； （3）若方程的一个根是另一个根2倍，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得k的取值范围，再计算Δ可判断方程根的情况； （2）把x＝﹣2代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由条件可知k+1≠0， ∴k≠﹣1， 而Δ＝（k+3）2﹣4×2（k+1） ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2≥0， ∴当k＝1时，原方程有两个相等的实数根，当k≠1且k≠﹣1时，原方程有两个不相等的实数根． （2）由条件可知4（k+1）﹣2（k+3）+2＝0， 解得：k＝0， ∴方程为：x2+3x+2＝0， ∴（x+2）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∴方程的另一个根为﹣1． （3）由条件可知[（k+1）x+2]（x+1）＝0， ∴（k+1）x+2＝0，x+1＝0， 解得：，x2＝﹣1， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴当时，解得：k＝0，经检验符合题意； 当时，解得：k＝3，经检验符合题意； 综上：k＝0或k＝3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 20．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣3＝0的两实数根，且，求k的值． 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到2x1﹣k+3，再利用得到2（x1+x2）﹣k+2，接着利用根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣3，所以4﹣k+2，解得k1＝4，k2＝7，然后根据根的判别式的意义确定k的值． 【解答】解：∵x1是关于x的方程x2﹣2x+k﹣3＝0的实数根， ∴2x1+k﹣3＝0， ∴2x1﹣k+3， ∵， ∴2x1﹣k+3+2x2﹣1， ∴2（x1+x2）﹣k+2， 根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣3， ∴4﹣k+2， 整理得k2﹣11k+28＝0， 解得k1＝4，k2＝7， 经检验k＝4或k＝7为原方程的解， ∵Δ＝22﹣4（k﹣3）≥0， ∴k≤4， ∴k的值为4． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 21．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，试求k的值． 【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到Δ≥0，由此可求k的取值范围； （2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k． 【解答】解：（1）方程x2+3x+k﹣3＝0中， a＝1，b＝3，c＝k﹣3， 由题意可知：Δ＝32﹣4（k﹣3）≥0， 解得：； （2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根， ∴，即， ∵， ∴﹣3x1﹣k+3+2x1+x2+k＝4，即：x2﹣x1＝1①． ∵②， 联立①②解得：， ∴（﹣2）×（﹣1）＝k﹣3， 解得：k＝5． 【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键． 22．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分BC为腰和BC为底边两种情况进行求解即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2） ＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2≥0； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， 解得：m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴m＝6； （3）①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： 25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0， ∴m＝7， ∴方程为：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：5+5+3＝13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（m﹣5）2＝0， ∴m＝5， ∴方程为：x2﹣6x+9＝0， 解得：x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的周长为：3+3+5＝11； 综上：周长为11或13． 【点评】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）． （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值； （2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得Δ＝0，求出k； （2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k． 【解答】解：（1）∵方程的两根为菱形相邻两边长， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0， 4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0， 4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0， 4k﹣8＝0， k＝2， （2）不存在，理由如下： ∵该方程的两解是菱形的两对角线长， ∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3， 设菱形的两对角线长a，b． ∵菱形的两对角线互相垂直平分， ∴由勾股定理得，4， 4， b2+a2＝16， ∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16， （a+b）2﹣2ab＝16， [2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16， 解得k， ∵Δ＝4k﹣8， ∴4k﹣8≥0． ∴k≥2， ∵k2， ∴不存在满足条件的常数k． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意4k﹣8≥0这个知识点． 24．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x12+x22＝6，求m值； （2）令T，求T的取值范围． 【分析】首先根据方程有两个不相等的实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积． （1）变形x12+x22为（x1+x2）2﹣2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值； （2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围． 【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根， 所以Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3） ＝﹣4m+4＞0， 所以m＜1， 又∵m是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m＜1． ∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3； （1）∵x12+x22＝6， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝6， 即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）＝6． 整理，得m2﹣5m+2＝0． 解得m； ∵﹣1≤m＜1， 所以m． （2）T ＝2﹣2m． ∵T＝2﹣2m， ∴m＝1． ∵﹣1≤m＜1，且m≠0， ∴﹣1≤11且10． 解得0＜T≤4且T≠2． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的积的式子． 25．请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：y2﹣y﹣2＝0　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，然后把x＝﹣y代入原方程，化简可求； （2）根据题意，设所求方程的根是y，则y，所以x，然后把x代入原方程，化简可求； （3）由（2）可知，对方程cx2+bx+a＝0两边同时除以x2，得a（）2+b•c＝0，则方程cx2+bx+a＝0的两根是ax2+bx+c＝0（a≠0）两根的倒数，进而求解． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0， 得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y， 所以x， 把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得 2（）2﹣7•3＝0， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0， ∵令y﹣1＝x， ∴y＝x+1， 则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/19 10:47:33；用户：付洋；邮箱：13998414261；学号：35557238 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $