河南南阳市方城县第一高级中学2026-2027学年高三上学期9月第二次数学学情自测题

2026-2027学年方城一高高三上学期9月第二次数学学情自测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 2．已知向量，，其中，若，则（    ） A．40 B．48 C．51 D．62 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 5．椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的最小值为，则的值为（） A． B． C． D． 7．已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 8．已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（    ） A． B． C． D．2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 10．已知点在直线上，点，在圆上，若，且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与圆相切 B．直线倾斜角为150° C．当时，可能为90° D．若，则的取值范围为 11．在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．椭圆的离心率为______． 13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 14．已知数列的通项公式是.设为数列的前n项和，当时，______；若存在n，使得，则m的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．如图，在四棱锥中，平面分别为的中点. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 16．现甲、乙两人各有一个盒子，每个盒子都有完全相同的两个红球和一个黑球，现进行如下操作：甲、乙两人从各自盒子中随机取一球，然后交换放入对方盒子中，记n次操作后甲的盒子中黑球个数为． (1)求的分布列与数学期望； (2)证明：为定值，并求出该定值． 17．已知的内角，，所对的边，，成等差数列，且． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． 18．已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19．已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)讨论方程的实数根的个数． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年方城一高高三上学期9月第二次数学学情自测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D A B B B BC ABC 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 2．C 【分析】依据题意以及向量平行的坐标表示列式可求出，进而可求出和，再根据坐标表示的向量加法和数量积定义即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 又，所以，此时，， 所以，所以. 故选：C. 3．C 【分析】解绝对值不等式及二次不等式可求集合A，B，再利用集合交集的运算即可求解. 【详解】根据题意，则， ，则， 故. 故选：C. 4．D 【分析】先求导函数，得到斜率为 ，再利用点斜式写出切线方程化简即可. 【详解】求导函数得到，则切线斜率为 ， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 故选：D 5．A 【分析】根据椭圆的方程及焦距的概念求解. 【详解】由题意可得， ， 故椭圆的焦距为． 故选：A． 6．B 【分析】对函数求导后分析单调性，结合的取值范围求出函数最小值，结合已知最小值为，即可求出的值. 【详解】由题可知函数定义域为，对求导得， 若，恒成立，在上单调递减，无最小值，不符合题意，因此， 令，解得： 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增， 故为函数极小值点，即最小值点， 代入得： 由题知最小值为，即，解得，故. 7．B 【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的性质、等差数列的单调性进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为数列是递增的等差数列，所以， 因为成等比数列，， 所以，或（舍去）， 则， 故选：B. 8．B 【分析】先由题意确定的所有可能取值，再分别求出对应的概率，进而可求出结果. 【详解】由题意可得的所有可能取值为， 随机选取集合中5个元素构成子集，有个子集， 集合中以正整数为最小数的5元子集共有个， 所以， 所以 . 9．BC 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误， 10．ABC 【分析】A选项运用点到直线的距离，B选项运用两直线垂直的相关知识，C选项代入和验证直线是否与圆相交，D选项运用，建立直线与圆的半径之间的关系去求半径的范围. 【详解】对于A选项，圆心到直线的距离， 当时，，所以直线与圆相切，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以直线， 又因为，所以， 而直线l的倾斜角为，因此直线倾斜角为150°，故B选项正确； 对于C选项，设，，圆心O到直线的距离为， 设为A点到直线的距离，则， 因为，所以为等腰直角三角形 则，由B选项得出直线的方程为， 联立，得出A点坐标为，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， 点A到直线的距离为， 又因为，所以， 解得，则，，故直线与圆相交，所以C选项正确 对D选项，若，且，所以为等边三角形，则 点A到直线的距离，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， ， 因为，， 所以，化简可得，故，所以， 又因为，得出，故，所以， 若，则， 若，则（舍去）或，所以，故D选项错误 11．AD 【分析】利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】由题意底面半径为1，圆锥高， 对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为， 为母线的中点，，， 椭圆的长轴长，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为原点，为x轴，在平面中建立平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为，则，解得：， 则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误. 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程得，解得， 所以，故双曲线的离心率为，D正确. 12． 【详解】椭圆方程化为标准形式为. ∴ 椭圆焦点在轴上，且，. ∴ ，即. ∴ 离心率. 13．60 【分析】先利用正态分布对称性求出的值，然后利用二项展开式求出常数项即可. 【详解】由随机变量，正态分布关于均值对称， 因为， 所以和关于2对称， 所以， 所以二项式为：， 又二项展开式的通项为：， 令解得：， 所以二项展开式中常数项为：， 故答案为：60. 14． 6 16 【分析】①分和两种情况讨论求解即可；②利用周期性，则的正负只需考查，分奇偶项求和即可求解. 【详解】当，即时，，不符合题意； 当，即时，又为偶数，所以， 即，，，解得； 综上，当时，. 当时，，则数列是周期数列，周期为， 所以的正负，只需考查即可， 当时，奇数项构成首项，公差为的等差数列， 偶数项构成首项为，公比为的等比数列， 当，时， ， ， ∵时，，， 时，，， 所以若存在，使得，则，故的最小值为16. 15．(1)如图：取PD的中点H，连接FH，AH， 因为，又， 所以， 所以四边形 是平行四边形， 所以，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 (2)存在， 【分析】（1）取PD的中点H，易证，得到 是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量，根据平面 ，由求解. 【详解】（1）略 （2）建立如图所示空间直角坐标系：    则， 所以，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设，则， 若平面 ，则， 所以，解得， 所以， 则， 所以在线段上是否存在点，使得平面 ， 的长为. 16．(1)的分布列如下表： 0 1 2 (2)证明：设n次操作后甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. 由全概率公式可知： ， 即，得， 所以，又， 所以数列为以为首项，以为公比的等比数列， 得，即. 由全概率公式可得： ， 即，又， 所以，即， 又，所以， 所以，所以， 所以. 即恒为定值1. 【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列，即可求出数学期望； （2）设甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.由全概率公式得到，利用构造法，结合等比数列的通项公式求出；再次利用全概率公式求得，求出，即可求出. 【详解】（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知： ， 故的分布列如下表： 0 1 2 . （2）略 17．(1) (2) 【分析】（1）先利用等差数列性质、正弦定理得到三边的比例关系，再由余弦定理求角； （2）根据向量数量积运算求的值，结合三边比例求出各边长，进而得到三角形周长. 【详解】（1）因为边成等差数列，所以 . 由正弦定理（为外接圆半径），对角化边得：. 联立，解得，，即. 设，，（）， 由余弦定理： . 因为 ，所以. （2）由平面向量数量积的定义，. 代入，得：，解得. 由（1）知，，故，解得（边长为正，舍去负根）. 则，. 所以的周长为. 18．(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）是定值，定值为 【分析】（1）根据椭圆性质、直线斜率公式及已知的值，结合联立方程求解，. （2）（ⅰ）利用切线性质得直线参数约束，联立切线与椭圆方程得弦长表达式，结合的范围即可求最值. （ⅱ）联立切线与椭圆方程，结合斜率公式和韦达定理化简等式，得到，再结合即可求解. 【详解】（1）由椭圆性质可得：上下顶点为、，右焦点为， 故，设椭圆上动点，所以，即， 根据直线斜率公式可得：​，，则， 将代入可得：，进一步化简可得： ，又因为，所以，由可得： ，解得，因此椭圆方程为. （2）（i）设点，由题意可知， 设直线的方程为，因为直线与圆相切， 可得：，即， 联立直线与椭圆方程消去得：， 故， 由弦长公式 代入韦达定理得： 平方得， 令得 此时， 此时， 当切线斜率不存在时，切线方程为，代入椭圆方程可得： ，化简可得：，即， 取上交点，下交点， 则，综上可得取得最大值：.​​ （ii）根据斜率的定义可得： ， 其中， 又，结合几何意义可得， 又，代入可得：， 化简可得：，又， 所以是个定值. 19．(1)单调增区间为和,单调减区间为. (2)当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. 【分析】（1）利用导数的正负判断的单调区间即可； （2）将讨论方程的实数根的个数转化为讨论的零点个数问题，再利用导数研究的极大值与极小值以及单调性，分类讨论在不同范围时，的零点个数情况即可. 【详解】（1）由题意得，， 令，解得或2. + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为. （2）令，解得或. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极小值为. 当时，，， 所以时，即，此时无实根. 时，即，此时有且仅有一个实根. 时，即，此时有两个实根. 当时，则，为增根，所以此时有一个实根. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极大值为，极小值为. 以下讨论的正负， ，设， 则对恒成立，所以在单调递增. 所以在恒成立， 所以在单调递减，因为，所以. 于是在有一个实根. 当时，在单调递增，此时有一个实根. 当时，在单调递增，在单调递减， 所以极小值为，极大值为. 此时，在有一个实根. 综上所述，当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. 答案第14页（共14页） 答案第13页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $