河南省南阳市豫南名校2026-2027学年高三上学期9月测评数学试题

2026－2027学年高三9月测评 数学 （满分：150分 用时：120分钟） 注意事项： 1.答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.一组数据3，4，9，2，6的第30百分位数为（ ） A.2 B.3 C.6 D.9 2.若集合内的元素个数为2027，则（ ） A.1012 B.1013 C.1014 D.1015 3.设向量，，．若，则（ ） A. B. C. D. 4.在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（ ） A. B. C. D. 5.设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 6.记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 7.现有8个小队，分别编号为，记编号为n的小队的人数为，已知成等差数列，成等比数列．若，则这8个小队的总人数为（ ） A.254 B.286 C.312 D.348 8.若函数在区间上有奇数个极小值点，则的值可以是（ ） A.1 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知复数的实部为，且和在复平面内对应的点分别为A，B，则（ ） A. B. C.A在第一象限内 D.B在第四象限内 10.函数的部分图象如图所示，其中点在曲线上，若，则（ ） A. B. C.是偶函数 D.曲线在点C处的切线斜率为 11.在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（ ） A. B.E的渐近线方程为 C. D.的外接圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数为______（用数字作答）． 13.已知是定义在上的偶函数，且对任意x都有，则______． 14.在正三棱锥P－ABC中，E为棱PC的中点，四点P，A，B，E在球的球面上，A，B，C，E在球的球面上，若，则点P到平面ABC距离的平方为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知公比为q的等比数列的前n项和为，且． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，，且，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17.（本小题满分15分）某博物馆工作人员将古籍放入展柜前需读取某项评价指标X，古籍的实际状态分为可直接入柜与需干燥两类，抽取一本古籍可直接入柜的概率为．当古籍可直接入柜时，；当古籍需干燥时，．规定时，古籍将被登记．现任取一本古籍． （1）求该本古籍被登记的概率关于的表达式； （2）登记后，按费用期望较小原则选择直接入柜或复检．已知复检可避免损失，且需干燥古籍直接入柜的损失为复检费用的4倍．若该古籍被建议复检，求的取值范围．附：若，则取． 18.（本小题满分17分）已知函数及其导函数的定义域均为R，且曲线的图象为一条连续不断的光滑曲线，与在R上恒成立，设定义域为R的函数． （1）求用含和的代数式表示； （2）若． ①求证：； ②判断方程实数根的个数，并说明理由． 19.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，设抛物线，点．过点M的直线与C交于两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． （1）若，且轴，求S； （2）求关于a的表达式； （3）当直线变化时，若为定值，则求出a的值，并求该定值． 2026—2027学年高三9月测评 数学参考答案及多维细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A A D C D B AC ABD ABD 1.【答案】B 【解析】将这组数据从小到大排列得到2，3，4，6，9，由可知这组数据的第30百分位数应为3． 2.【答案】C 【解析】显然，注意到，由知集合与内均应有1013个元素，可得，由得． 3.【答案】A 【解析】由题意得，由得， 即，． 4.【答案】A 【解析】由条件可知联立可解得于是可得的公差． 5.【答案】D 【解析】求导得，，，可得切线方程为，当时，；当时，，可得所求三角形的面积． 6.【答案】C 【解析】由对称性可知，设的半焦距为，易知，故，，设的离心率为，则，， 又，． 7.【答案】D 【解析】不妨设的公差为，的公比为，则，，同理，于是．而，可得，设，可得，， 而，故， 于是，结合等差数列的性质知总人数． 8.【答案】B 【解析】选项中均为正整数，将区间分成个小区间， 其中．在小区间内，令，则， 且． 设，则． 当时，；当时， ，在此区间内单调递减． 又，，由零点存在性定理可知在区间内有唯一零点，在区间上先增后减，即为偶数时，在每个小区间内先增后减，为奇数时，在每个小区间内先减后增．因此极小值点个数等于中奇数的个数．代入，可得极小值点个数分别为0，1，2，2，只有时为奇数． 9.【答案】AC 【解析】由的实部为，得，即．又，得，故选项A正确； 此时，，且点在第一象限内，故选项B错误，选项C正确； 又，对应点在第二象限内，故选项D错误． 10.【答案】ABD 【解析】由可得，故选项A正确； 代入得，由得，故选项B正确； ，，显然其为奇函数，故选项C错误； ，，故选项D正确． 11.【答案】ABD 【解析】显然，由得， 而显然， 由余弦定理得， ，于是，故选项A正确； 由勾股定理得，， 由定义得，，， 故渐近线方程为，故选项B正确； 显然的横坐标满足，，由曲线对称性可知，故选项C错误； ， ∴由正弦定理得的外接圆半径，故选项D正确． 12.【答案】180 【解析】数字0不能放首位，∴优先考虑首位，其他位置可以任选，共有个没有重复数字三位数． 13.【答案】1 【解析】令，则， ， 为偶函数，的表达式中一次项系数为0，即，解得，经检验符合题意，故． 14.【答案】8或（少写不给分） 【解析】记为中心，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，，记，，由球心到球面的距离为半径可得 ， 解得， ， 解得 由得， ，，或， 于是所求距离的平方或． 15.解：（1），由，得， 又，，即或， 由，得，，或． 或． （2）由，得．由，得，或． 又． ∴由“对勾函数”的性质易知，当时，； 当时，． 的取值范围为，或． 16.（1）证明：，． 又，平面，． 又四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形，． 是平面内的两条相交直线， 平面．又平面，． （2）解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，，． 设平面的一个法向量为， 则，，为平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为，则． ∴直线与平面所成角的正弦值为． 17.解：（1）记“该本古籍可直接入柜”为事件，“该本古籍需干燥”为事件，“该本古籍被登记”为事件，则，且表示． 当事件发生时，，，且．由正态曲线关于直线对称，且，可得． 又，． 当事件发生时，，，且．由正态曲线关于直线对称，且，可得， ． 由全概率公式，得． 该页古籍被登记的概率关于的表达式为． （2）由条件概率公式，登记后该本古籍需干燥的概率为 ． 设复检费用为元，则，需干燥古籍直接入柜的损失为元．对已登记古籍，若直接入柜，其损失的费用期望为；若复检，其费用期望为． 按费用期望较小原则建议复检，则，故． 由于，，于是，即，整理得，．又，若该古籍被建议复检，则的取值范围为． 18.解：（1），． （2）①由（1）得． ，又，，，，即． 若存在，使，由于在上恒成立，在上单调递增， 取，则，这与矛盾，故． ②令．对任意， 有，在上单调递增，因此方程至多有一个实根． 由题条件可知曲线的图象为一条连续不断的严格递增曲线．又， 取，则，从而， ． 由零点存在性定理，得在区间内至少有一个零点．又在上严格单调递增，故方程有且仅有一个实根． 19.解：（1）由且轴，得．将代入，得，从而．点到直线的距离为1，故． （2）设直线，联立抛物线方程得，， 又，，， ． （3）由（2）得， ， ， 当时，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $