河南省南阳市豫南名校2026-2027学年高三上学期9月测评数学试题

**基本信息** 高三开学数学测评，以经济模型、博物馆古籍等真实情境命题，覆盖统计、函数、几何等核心模块，通过基础题与综合题梯度设计，检测数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|百分位数、集合、向量、椭圆离心率等|第4题结合经济需求与数列，体现用数学眼光观察现实| |填空题|3/15|排列组合、函数奇偶性与周期性、正三棱锥|第13题考函数性质，检测数学思维的逻辑性| |解答题|5/77|概率统计（正态分布）、导数证明、抛物线综合|第17题博物馆古籍评价问题，用数学语言表达现实；第19题抛物线定值探究，关联高考命题趋势|

2026一2027学年高三9月测评 数学参考答案及多维细目表 题号 1 2 3 5 6 41-e)=1,e-14e2+4=0,又e<1, 9e2 答案 B C A D C e=14-1g4X4=7-35. 题号 7 8 9 10 11 7.【答案】D 答案 D B AC ABD ABD 【解析】不妨设a1,a2,a3,a4,a5,a6的公差为d, 1.【答案】B 【解析】将这组数据从小到大排列得到2,3,4,6， aar8:的公比为g,则-g,a-号同 a5 9,由5×30%=1.5可知这组数据的第30百分 位数应为3. ,于是d=a6-a, 理a6=4 g2g.而ag=a1 44 2.【答案】C 【解析】显然a>0,注意到A={x∈Z1一a<x +u.可得-96+4传- 92g设p g,可得 <1+a,a∈Z},由1∈A知集合{x∈Z1<x<1 5p3-42-24=0,(力-2)(5p2+6p+12)=0, +a,a∈Z}与{x∈Zl1-a<x<1,a∈Z}内均应 而5p2+6p+12>p2+6p十9=(+3)2≥0，故 有1013个元素，可得1013<a+1-1≤1014， 1 由a∈Z得a=1014. p=2,g=2,于是a6=16,a,=9a6=8,结合等 3.【答案】A 差数列的性质知总人数M=3(a1十a6)十a,十 【解析】由题意得c=(4k+4,1),由a⊥c得a·c a8=3×112+12=348. =0,即k(4k+4)+1=42+4k+1=(2k+1)2 8.【答案】B =0,k=一2 1 【解析】选项中a均为正整数，将区间(0，π)分成 4.【答案】A a个小区间π，3+1)π) a ,其中=0,1，…，a a 【解析】由条件可知 20=B-25a'联立可解得 -1.在小区间内，令t=ax-kπ，则0<t<π，且 10=B-110, f(x)=xsinaz= (-1) -(kπ十t)sint.设h(t)= a=4, a 8=120, 于是可得{an}的公差d=一2a=-8. (kπ十t)sint,则h'(t)=sint十(k元十t)cost.当 5.【答案】D 0<1≤时，h'()>0:当<4<元时，h()= 【解析】求导得f(x)=(2x一)： 2cost-(kπ十t)sint<0,.h'(t)在此区间内单 6c0sx= cox2-lnz,fa)=。 11 6, 调递减.又h()=1>0,h'(x)=-(k+D< π f(1)=sinπ=0，可得切线方程为y= 11(x 0,由零点存在性定理可知h'(t)在区间(0，π)内 6 有唯一零点，∴h(t)在区间(0，π)上先增后减，即 一1)，当y=0时，x=1;当x=0时，y= ,可 为偶数时，f(x)在每个小区间内先增后减， 6 为奇数时，f(x)在每个小区间内先减后增.因此 得所求三角形的面积S= 1x1- 1 =12 极小值点个数等于0,1，…，a一1中奇数的个数 6.【答案】C 代入a=1,3,4,5,可得极小值点个数分别为0， 【解析】由对称性可知|NF1|=NF2I,设E的 1,2,2,只有a=3时为奇数. 9.【答案】AC 半焦距为c,易知∠NF,F2=45°，故MS,3c (2’2 【解析】由之=(a3-3a)+(3a2-1)i的实部为 9c2 a,得a3-3a=a,即a(a2-4)=0.又a>0,得a 2十4c2)=1,设E的离心率为e,则 =2,故选项A正确； 数学HNZB参考答案第1页共5页 此时之=2+11i,1之|=√(22+11)=55，且点 lOPI 555 A(2,11)在第一象限内，故选项B错误，选项C 2sin∠PQO 2* 6 ,故选项D正确。 正确； 又x2=(2+11i)2=-117+44i,对应点 12.【答案】180 B(-117,44)在第二象限内，故选项D错误. 【解析】数字0不能放首位，.优先考虑首位，其 10.【答案】ABD 他位置可以任选，共有A;A=6×6×5=180 个没有重复数字三位数. 【解折】由1AB1=暂-石可得w=3,故选项A18.【答案 正确； 【解析】令t=x十a,则x=t一a,.f(t)= (t-a)2+2(t-a)+3=t2+(2-2a)t+a2- 代人x=0得2sing=E,由p<答得g=天。 4” 2a十3，f(x)为偶函数，∴.f(t)的表达式中一 故选项B正确； 次项系数为0，即2-2a=0,解得a=1,经检验 f)=2sn+(e+) 符合题意，故a=1. -2sin(3x+ 14.【答案】8或12√2-16（少写不给分） π)=一2sin3x,显然其为奇函数，故选项C 【解析】记O为△ABC中心，以O为原点，OC 错误； 的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方 f'(x)=6cos3x+ 向，OP的方向为之轴正方向，建立如图所示的 4 '(0)=3√2，故选项D 空间直角坐标系. 正确。 11.【答案】ABD 【解析】显然tan∠POF,-=,由∠POP,∈ 0,)得os∠POF:=青，面显然OP- 号F,F=5,由余弦定理得1PF, 设OP=2h,则C(2,0,0),A(-1,-√3,0)， OP2+OF212-2OP OF2Icos/POF2= B(-1,3,0),P(0,0,2h),E(1,0,h),记 5+5-2X5×5=2,PF,=2,于是 4 01(x1y1,之1)，O2(x2y2,之2)，由球心到球面 的距离为半径可得(x1十1)2+(y1十3)十之 IPF21√10 cos∠PF,F=F,F,-0,故选项A正确； =(x1+1)2+(y1-3)+x？=x+y?十 由勾股定理得|PF112=|F1F212一|PF212 (z1-2h)2=(x1-1)2+y?+(之1-h)2,解 h2+1 18,∴.|PF1|=3√2，由定义得2a=|PF1| 3, |PF2=22,∴.a=2,b=√TOF22-a 得y1=0, =土6 3,故渐近线方程为y=士bx a 2x,故选 k-5 6h 项B正确； (x2十1)2+(y2十3)2+z号=(x2+1)2+ 显然P的横坐标xp满足cos∠POF2=OP' TP (y2-3)2十z号=(x2-2)2十y2十z号= x2=0, xp=46 5,由曲线对称性可知PQ=2xp (x:-1)2十十(x2-h)2,解得y2=0, 由 h2-3 y5,故选项C错误； 之2 2h 5 AB =2002得3= h2+1)2 3 3 ,sin∠PQO=sin∠QPO=sin∠POF2= 51 h2-37h2-52_h2+1)2+4(h2+1)2 ∴.由正弦定理得△OPQ的外接圆半径R= 2h 6h 9 9h2 数学HNZB 参考答案第2页共5页 h6+6h4-18h2+4=0,(h2-2)(h4+8h2-2) =0,2=2或2=-8+64中8=32-4，于 是所求距离的平方d2=4h2=8或12√2-16. 15.解：(1)a3=a1q2,由a3=4a1,得a192=4a1 B 又a1≠0，g2=4,即q=2或q=-2.…2分 17.解：(1)记“该本古籍可直接人柜”为事件A,“该 由S2=3,得a1(1十q)=3,∴.a1(1+2)=3,或 本古籍需干燥”为事件B,“该本古籍被登记”为 a1(1-2)=3.……4分 事件G,则P(A)=p,P(B)=1-p,且G表示 a1=1或a1=-3.…5分 X≤64.………………2分 (2)由S2=3,得a1(1十q)=3.由g>4,得q> 当事件A发生时，X~N(60,16),4=60,o 2,或q<-2.又S3=a1（1+q+q2)= =4,且64=4十o.由正态曲线关于直线x=4 对称，且P(μ一o<X<μ+σ)=0.68，可得P(u 30时-0+g) ……8分 1+q <X<+o)=0.34.又P(X<)=0.5, ∴.P(GA)=P(X≤64)=0.5十0.34=0.84 .由“对勾函数”的性质易知，当q>2时，S3> …4分 32+2+)=7 …10分 当事件B发生时，X~N(68,16),∴u=68,o= 4,且64=μ-o.由正态曲线关于直线x=μ对 当9<-2时，5<3(2+- 称，且P(u-o<X<u十σ)=0.68，可得P(μ一 ………………12分 o<X<)=0.34,∴P(G|B)=P(X≤64)= ∴.S3的取值范围为S3<一9，或S3>7.… 0.5-0.34=0.16. ……13分 ……6分 16.(1)证明：∠PAD=∠PAB=90°，PA⊥ 由全概率公式，得P(G)=P(GIA)P(A)+ AD,PA⊥AB.又AB∩AD=A,∴PA⊥平面 P(G|B)P(B)=0.84p+0.16(1-p)=0.68p ABCD,.PA⊥CD.…2分 十0.16..该页古籍被登记的概率关于p的表 又四边形ABCD为平行四边形，∠DAB=90°， 达式为P(G)=0.68p十0.16.…8分 ∴.四边形ABCD为矩形，.AD⊥CD.…4分 (2)由条件概率公式，登记后该本古籍需干燥的 ,AD,PA是平面PAD内的两条相交直线， 概率为P(B|G)= P(BG)_P(GB)P(B)_ P(G) P(G) ∴.CD⊥平面PAD.又PDC平面PAD, 0.16(1-p)_4(1-p) CD⊥PD.…6分 0.68p+0.1617p+4 …10分 (2)解：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分 设复检费用为a元，则a>0,需干燥古籍直接 别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直 入柜的损失为4a元.对已登记古籍，若直接入 角坐标系，则A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,2,0), 柜，其损失的费用期望为4aP(B|G);若复检， C(4,2,0),P(0,0,2),…8分 其费用期望为a.按费用期望较小原则建议复 .PB=(4,0,-2),DC=(4,0,0),DP=(0, 2,2).设平面PCD的一个法向量为n,… 检，则a<aP(BlG),放P(BG)> …10分 …13分 则n·DC=0,n·DP=0,∴.n=(0,1,1)为平 面PCD的一个法向量.…11分 由于0≤p1,17p+4>0,于是176> 设直线PB与平面PCD所成的角为0，则sin0 4,即16(1-p)>17p+4,整理得12>33p, -P官.nl √10 1PBn√42+(-2)2×√12+1210 <普又0<≤1，若该古籍被建议复检。 ……14分 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 则力的取值范围为0≤力<1： .4 …15分 101 15分 18.解：(1)g(x)=f(x)+fr)g（x)= 数学HNZB 参考答案第3页共5页 r) .…4分 代人y2=4x,得y2=4,从而AB=4.点0到直 (2)0由I)得g(x)-f'()-f 线z1的距离为1，放S-号41=2… f2(a) ………4分 f'(x)f(x)-1)_f'(x)f(x)-1)f(x)+1) (2)设直线l:x=my十a,联立抛物线方程得 f2(x) f2(x) g'(x)≥0，又f'(x)>0,f(x)>0,f(x)十 jp2=4x,y2-4my-4a=0, x=my十a, 1>0,.f(x)-1≥0，即f(x)≥1.…6分 若存在x。∈R,使f(xo)=1,由于f'(x)>0在 y十y=4m, …6分 (y1y2=-4a. R上恒成立，f(x)在R上单调递增，取x。 又MA=ly1|√/1+m2,MB=|y2|√1+m, 1<x0,则f(x0-1)<f(x0)=1,这与f(x)≥ 1矛盾，故f(x)>1.…10分 ON=lal 十m1…8分 ②令F(x)=g(x)十x.对任意x1<x2,有 MA·MB0N2=lyya(1+m)·1+m a2 F(x2)-F(x1)=g(x2)-g(x1)十x2-x1> 0,.F(x)在R上单调递增，因此方程F(x)= 0至多有一个实根.……13分 =4a1+m)‘1千m=4a3.…9分 由题条件可知曲线y=F(x)的图象为一条连 (3)由(2)得y1y2=-4a<0,∴.AB=MA+ 续不断的严格递增曲线.又F(0)=g(0)>0,取 MB=(ly1|+|y2I)√1+m=|y1-y2|· x。=一g(0),则x0<0,从而g(xo)<g(0), ∴.F(xo)=g(xo)+x0=g(xo)-g(0)<0.… √1+m=4√(m2+a)(1+m2),…12分 …16分 由零点存在性定理，得F(x)在区间(xo,0)内 .ON-TAB.ON 1+m2 至少有一个零点.又F(x)在R上严格单调递 1 =2a21+(a-1)1+m, …15分 增，故方程g(x)十x=0有且仅有一个实根.… ……………………………………17分 当a=1时，S·ON=2为定值.…17分 19.解：(1)由a=1且1⊥x轴，得1：x=1.将x=1 数学HNZB参考答案第4页共5页 多维细目表 学科素养 预估难度 题型 题号 分值 必备知识 数学逻辑数学直观数学数据 分析 易 中 抽象推理建模想象运算 难 选择题 5 百分位数 选择题 2 5 集合的运算 选择题 平面向量基本定理 选择题 函数与数列的应用 选择题 导数的几何意义 选择题 6 5 椭圆的性质 选择题 数列的实际应用 选择题 导函数与极值 选择题 6 复数 选择题 10 6 三角函数的图象与性质 选择题 11 6 双曲线综合 填空题 12 5 排列组合 填空题 13 函数的基本性质 填空题 14 5 立体几何综合 √ 解答题 15 13 等比数列 解答题 16 15 立体几何与空间向量 解答题 17 15 概率综合 解答题 18 17 抽象函数与导函数综合 解答题 19 17 抛物线综合 数学HNZB参考答案第5页共5页 2026-2027学年高三9月测评 数学 （满分：150分 用时：120分钟） 注意事项： 1．答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．一组数据3,4,9,2,6的第30百分位数为 A.2 B.3 C.6 D.9 2．若集合A={x∈Z||x-1|<a,a∈Z}内的元素个数为2027，则a= A.1 012 B.1 013 C.1 014 D.1 015 3．设向量a=(k,1),b=(4,-3),c=4a+b.若a⊥c，则k= A. B. C. D. 4．在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为w，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即D=β-αw，其中α,β>0，且均为给定常数，αw0称为工资指数为w0的需求点弹性.在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为 A.-8 B.-6 C.-4 D.-2 5．设函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A. B. C. D. 6．记坐标原点为O，椭圆E：的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点M,交y轴于点N.若，则E 的离心率的平方为 A. B. C. D. 数学 HNZB 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 7．现有8个小队，分别编号为1,2,···,8，记编号为n的小队的人数为，已知成等差数列，成等比数列.若，则这8个小队的总人数为 A.254 B.286 C.312 D.348 8．若函数f(x)=xsinax在区间（0，π）上有奇数个极小值点，则a的值可以是 A.1 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部为a(a>0)，且z和在复平面内对应的点分别为A,B，则 A.a=2 B. |z|=5 C.A在第一象限内 D.B在第四象限内 10．函数的部分图象如图所示，其中点在曲线y=f(x)上，若，则 A.ω=3 B. C. 是偶函数 D.曲线y=f(x)在点C处的切线斜率为 11．在平面直角坐标系Oxy中，双曲线E：的左、右焦点分别为,，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q， 若，则 A. B.E的渐近线方程为 C. D.ΔOPQ的外接圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数为 （用数字作答）. 13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x都有，则a= 14．在正三棱锥P-ABC中，E为棱PC的中点，四点P,A,B,E在球的球面上，A,B,C,E在球的球面上，若，则点P到平面ABC距离的平方为 数学 HNZB 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知公比为q的等比数列的前n项和为，且 （1）若，求 （2）若，求的取值范围. 16.（本小题满分15分） 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，∠DAB=∠PAD=∠PAB ，且AB=4,PA=AD=2. （1）求证：CD⊥PD； （2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 17.（本小题满分15分） 某博物馆工作人员将古籍放入展柜前需读取某项评价指标X，古籍的实际状态分为可直接入柜与需干燥两类，抽取一本古籍可直接入柜的概率为p.当古籍可直接入柜时，X~N(60,16)；当古籍需干燥时，X~N(68,16)．规定X≤64时，古籍将被登记.现任取一本古籍. （1）求该本古籍被登记的概率关于p的表达式； （2）登记后，按费用期望较小原则选择直接入柜或复检．已知复检可避免损失，且需干燥古籍直接入柜的损失为复检费用的4倍．若该古籍被建议复检，求p的取值范围．附：若，则取P(μ-σ<X<μ+σ)=0.68. 数学 HNZB 第3页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 18.（本小题满分17分） 已知函数f(x)及其导函数的定义域均为R，且曲线y=f(x)的图象为一条连续不断的光滑曲线，f(x)>0与在R上恒成立，设定义域为R的函数g(x)= （1）求用含f(x)和的代数式表示）； （2）若 ①求证：f(x)>1; ②判断方程g(x)+x=0实数根的个数，并说明理由. 19.（本小题满分17分） 在平面直角坐标系Oxy中，设抛物线，点M(a,0)(a>0).过点M的直线l 与C交于A,B两点，设点O到直线l的垂足为N，记△OAB的面积为S. （1）若a=1，且l⊥x轴，求S； （2）求关于a的表达式； （3）当直线l变化时，若S·ON为定值，则求出a的值，并求该定值． 数学 HNZB 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $