湖南省宁远县第一中学2024-2025学年高三上学期8月强化考试数学试题

2024年下期宁远一中高三8月强化考试数学试题 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求） 1. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. 已知非零复数满足，则( ) A. B. C. D. 3. ( ) A. B. C. D. 4. 函数在区间上有最小值,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的 愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是( ) A. B. C. D. 6．函数的图象的大致形状是( ) A． B． C． D． 7．在中，和是方程的两个根，则( ) A. B. C. D. 8. 阿波罗斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三 巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点,的 距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点与两定 点，的距之比为时的阿波罗尼斯圆为.下面，我们来研 究与此相关的一个问题：已知圆：上的动点和定点， ，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9． 已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是( ) A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 10. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形 的边长为，则在三棱锥中( ) A.的面积为 B. C. 平面平面 D.三棱锥的体积为 11．已知非常数函数及其导函数的定义域均为， 若为奇函数，为偶函数，则( ) A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12． 函数的图象恒过点 . 13．三棱锥的底面是边长为的正三角形，，则三棱锥体积 的最大值是 . 14．曲线与的公切线方程为 . 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求. 16.(15分)如图所示，是圆的直径，点是圆上异于，的动点，平面， 、分别为、的中点， (1)求证：平面； (2)若，，二面角的正弦值为，求. 17. (15分) 一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球. (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是个红球，个绿球，已知取出的个球都是红球的概率为，那么是多少？ 18.(17分)已知椭圆：的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆相交与，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同 直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 19.(17分) 如果数列满足：且 ，则称为阶“归化”数列. (1)若某阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； (2)若某阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式； (3)若为阶“归化”数列，求证. 2024年下期宁远一中高三8月强化考试数学参考答案 DBAD CAAC 9．BC 10. ABD 11．BCD 12． 13． 14．. 15. (1) 由及正弦定理得，， 又因为， 所以，因为，所以，即， 又，所以. (2)在中过点作边的高，交边于， 由题意可知，且与都是直角三角形. 由(1)知，所以为等腰直角三角形， 易求得，， 在中由余弦定理得 . 16. (1)证明：因为平面，平面，所以， 因为是圆的直径，知， 因为，且，平面，所以平面， 由、分别是、的中点，所以，所以平面. (2)以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，，且， 所以，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 ，即， 取，得，，则， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得：，即，所以，即. 17.从个球中不放回地随机取出个球共有种可能，即； 设事件“两次取出的都是红球”，则； 设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则； 设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则； 设事件“两次取出的都是绿球”，则. 事件，，，两两互斥. (1) 第二次取到红球的概率为. (2) 两次取到的球颜色相同的概率为. (3) ∵，∴， 又∵，∴，解得. 18. (1)由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为. (2)在轴上假设存在点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称， 设，，直线：，， 联立，得，则 ，， 因为，恰好关于轴对称，所以，即， 即，即 整理可得， 则，即得，即． 故在轴上存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称. 19. (1)设，，成公差为的等差数列，显然， 则由，得，∴，∴， ∴， 由得，解得， ∴数列，，为所求阶“归化”数列. (2)设等差数列，，，…，的公差为， 因为，所以，所以，即. 当时，此时， 与“归化”数列的条件相矛盾. 当时，由，， 故，又，联立解得，， 所以； 当时，由，，同理解得，， 所以. 综上，当时，； 当时，. (3)由已知可得：必有 也必有， 设，，…，为中所有大于的数，，，…，为中所有小于的数， 由已知得，， 所以. 2024年下期宁远一中高三8月强化考试数学试题 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求） 1. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( D ) A. B. C. D. 2. 已知非零复数满足，则( B ) A. B. C. D. 3. ( A ) A. B. C. D. 4. 函数在区间上有最小值,则的取值范围是( D ) A. B. C. D. 5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的 愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是( C ) A. B. C. D. 6．函数的图象的大致形状是( A ) A． B． C． D． 7．在中，和是方程的两个根，则( A ) A. B. C. D. 8. 阿波罗斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三 巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点,的 距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点与两定 点，的距之比为时的阿波罗尼斯圆为.下面，我们来研 究与此相关的一个问题：已知圆：上的动点和定点， ，则的最小值为( C ) A. B. C. D. (结合阿氏圆的性质，两定点在圆心同一侧且两定点到圆心距离的乘积等于半径的平方， 即，可以比较快的得到点坐标，进而得出最小值) 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9． 已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是( BC ) A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 10. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形 的边长为，则在三棱锥中( ABD ) A.的面积为 B. C. 平面平面 D.三棱锥的体积为 11．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函 数，则( BCD ) A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12． 函数的图象恒过点 . 13．三棱锥的底面是边长为的正三角形，，则三棱锥体积 的最大值是 . 14．曲线与的公切线方程为 . 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求. 解：(1) 由及正弦定理得，， 又因为， 所以，因为，所以，即， 又，所以. (2)在中过点作边的高，交边于， 由题意可知，且与都是直角三角形. 由(1)知，所以为等腰直角三角形， 易求得，， 在中由余弦定理得 . 16.(15分) 如图所示，是圆的直径，点是圆上异于，的动点，平面，、分别为、的中点， (1)求证：平面； (2)若，，二面角的正弦值为，求. 解析：(1)证明：因为平面，平面，所以， 因为是圆的直径，知， 因为，且，平面，所以平面， 由、分别是、的中点，所以，所以平面. (2)以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，，且， 所以，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 ，即， 取，得，，则， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得：，即，所以，即. 17. (15分) 一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球. (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率；(必修第二册教材第267页第5题) (3)如果是个红球，个绿球，已知取出的个球都是红球的概率为，那么是多少？ 解：从个球中不放回地随机取出个球共有种可能，即； 设事件“两次取出的都是红球”，则； 设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则； 设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则； 设事件“两次取出的都是绿球”，则. 事件，，，两两互斥. (1) 第二次取到红球的概率为. (2) 两次取到的球颜色相同的概率为. (3) ∵，∴， 又∵，∴，解得. 18.(17分) 已知椭圆：的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆相交与，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 解：(1)由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为. (2)在轴上假设存在点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称， 设，，直线：，， 联立，得，则 ，， 因为，恰好关于轴对称，所以，即， 即，即 整理可得， 则，即得，即． 故在轴上存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称. 19.(17分) 如果数列满足：且 ，则称为阶“归化”数列. (1)若某阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； (2)若某阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式； (3)若为阶“归化”数列，求证. 解析：(1)设，，成公差为的等差数列，显然， 则由，得，∴，∴， ∴， 由得，解得， ∴数列，，为所求阶“归化”数列. (2)设等差数列，，，…，的公差为， 因为，所以，所以，即. 当时，此时， 与“归化”数列的条件相矛盾. 当时，由，， 故，又，联立解得，， 所以； 当时，由，，同理解得，， 所以. 综上，当时，； 当时，. (3)由已知可得：必有 也必有， 设，，…，为中所有大于的数，，，…，为中所有小于的数， 由已知得，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$