4.1 比例线段（第2课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

4.1 比例线段（第2课时） 题型一：判断四条线段是否成比例 1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 2．（25-26九年级上·广东河源·期中）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【答案】C 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判断．判断一组线段是否成比例，可将其按长度从小到大排列，检验最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等，则这四条线段成比例；反之，则不成比例，根据成比例线段的概念判断各选项即可． 【详解】解：A、选项中，，∴A选项的线段不成比例； B、，∴B选项的线段不成比例； C、，∴C选项的线段不成比例； D、，∴D选项的线段成比例； 故选：D． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列各组线段中，能成比例的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判定，关键是掌握比例线段的定义；根据成比例线段的定义，若四条线段成比例，则满足，通过验证各选项中线段是否满足该关系即可得出答案． 【详解】解：∵判断四条线段成比例可通过验证最长线段与最短线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积 ∴A选项：，故不成比例 B选项：，故不成比例 C选项：，故不成比例 D选项：，故成比例 故选：D． 5．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是 （ ） A．1，3，20，30 B．1，2，3，2 C．1，2，3，4 D．，10，10， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段，比较最大数与最小数的积与另外两个数的积的大小关系进行判断即可． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段不成比例，不符合题意； D、，四条线段成比例，符合题意； 故选D． 题型二：根据成比例线段求未知线段 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为，，若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 根据题意得到，根据比例的性质得到，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， 故选：B． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）有三条长度分别为，，的线段，再添一条长度为___________的线段，能使这四条线段是成比例线段． 【答案】或或 【分析】设添加的线段为，根据四条线段成比例，分别求出即可得． 【详解】解：设再添一条长度为的线段． 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上，再添一条长度为或或的线段，能使这四条线段是成比例线段． 故答案为：或或. 【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解． 题型三：比例尺的应用 1．（25-26九年级上·四川达州·期中）达州市真佛山风景区与重庆武隆风景区之间的直线距离约为，在一张比例尺为的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（　　）的长度 A．一根火柴 B．一根筷子 C．一支钢笔 D．一支铅笔 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，首先能够根据比例尺的概念进行正确计算，然后能够结合实际物体进行估计其大小．比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离． 【详解】解：∵， 根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得它们之间的图上距离是：． 大约相当于一支铅笔的长度． 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约_____厘米． 【答案】8 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离． 【详解】解：设图上距离为x厘米，则 ， 所以（厘米）． 上海与南京的图上距离约8厘米． 故答案为：8． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺为，列出方程，解比例即可． 【详解】解：设两地的实际距离是， 根据题意得， 解得：， ， ∴两地的实际距离是． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海崇明·期中）在比例尺是的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米，那么两地的实际距离为______千米． 【答案】10 【分析】本题考查了比例线段，比例尺的定义，根据比例尺=图上距离实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【详解】解：设这两地的实际距离是x厘米，则： 解得：， 1000000厘米=10千米． 故答案为：10． 5．（25-26九年级上·上海静安·期中）甲、乙两地在地图上距离约为5厘米，地图的比例尺为1：1000000，则甲、乙两地的实际距离约为________千米． 【答案】50 【分析】根据比例尺=图上距离实际距离，即可得出结论． 【详解】根据题意得甲、乙两地的实际距离约为： ， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了比例尺，正确运用公式是解题的关键． 题型四：等比中项中相关求解 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于_____． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项和解一元二次方程，设线段的长等于，则，根据比例中项的概念列方程，并解方程即可． 【详解】解：设线段的长等于，则， ∵是与的比例中项， ∴， 解得（负根已舍去） 即线段的长等于， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知线段，，线段是线段，的比例中项，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：线段是线段，的比例中项， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知线段，，则线段的比例中项为______cm． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项，理解比例中项的概念是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解∶根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得∶比例中项的平方等于两条线段的乘积， 设它们的比例中项是 ，则， 解得：，（线段是正数，负值舍去）， 故答案为． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解： ， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 题型五：利用黄金分割求线段长度 1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的定义得到，则，进而代入求解即可． 【详解】解：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去） 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）若点是线段的黄金分割点，满足，若，则的长是_________________ ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查黄金分割、二次根式的计算等知识，正确理解和应用黄金分割的定义是解题的关键．由点是线段的黄金分割点，且，，根据黄金分割的定义得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川达州·期中）五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则_____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，将一条线段分割成长短两条线段，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，则称这种分割叫黄金分割，这一比值等于，由此可解． 【详解】解：点D是线段的黄金分割点， ， 整理得， 解得（负值舍去）， ， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形是黄金矩形，且，，点E是上一点，点G是上一点，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，再将沿直线折叠，使点D落在上的点H处，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，折叠的性质，正方形的判定，矩形的性质等知识，掌握这些知识是关键；由黄金分割得的长，由矩形及折叠的性质可得四边形是正方形，则；由折叠知，由即可求解． 【详解】解：∵矩形是黄金矩形，且，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵沿直线折叠得到，点A落在边上的点F处， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵沿直线折叠，点D落在上的点H处， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·四川成都·期末）矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金比，矩形的面积，由题意可得，即得，进而根据矩形的面积公式计算即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解：∵矩形为黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 6．（2025·江西·模拟预测）定义：若线段上有一点满足，则称点为线段的黄金分割点．与的比叫作黄金比．设黄金比为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，掌握黄金分割的定义是解答本题的关键．设，，则，由题意可知，则，得到，推出，即可求解． 【详解】 解： 设，，则， 线段上有一点满足， ，则， ， ，即， 整理得：， ， ，即，， ， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·上海青浦·期末）点是线段上的一点，如果，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点是的黄金分割点，得到，结合，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型六：黄金分割的实际应用 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 2．（25-26九年级上·山西忻州·期末）短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边，上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边，上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质及弧长公式的应用，据黄金矩形的性质求出各边的长度，再依据弧长公式分别计算两段弧的长度，最后将两段弧长相加得到“黄金螺线”的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴, ∴， ∴“黄金螺线”的长为， 故选：A． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 【答案】10 【分析】设应穿厘米的鞋子，根据黄金分割的比例关系列方程求解即可． 【详解】解：设她应穿厘米高的鞋子，原下半身长为厘米，穿鞋子后下半身长为 厘米，总身高为厘米， ∵ 黄金分割要求下半身长与总身高的比为黄金比， ∴ ， ∴ ， 去括号，整理得， 解得， 经检验是原方程的根，结果符合题意． 答：她应穿10厘米的鞋子才能好看． 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 四边形是矩形， ． 又 ， ， 则的长为． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点，已知，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点C为线段的黄金分割点，， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东佛山·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 题型一：黄金分割阅读理解题型 1．（25-26八年级下·福建福州·期末）综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 【答案】(1)米 (2)解：设正方形边长为， 由第一步折叠得是中点， ∴， 在中，， 由第二步折叠性质得， ∴， 设，则， 由折叠得，， 连接 ， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴在矩形中，长边，短边， ∴ ， ∴四边形是黄金矩形． (3)①②或 【分析】（1）首先明确黄金矩形短边与长边的比值为，因为已知短边长度，所以根据比值关系列方程即可求长边，过程中用到分母有理化化简结果； （2）先设正方形边长为参数，由第一步折叠得是中点，用勾股定理求的长度；根据第二步折叠的性质得，进而求出的长度，再结合角度关系推导，得到的长度；最后计算矩形的短边与长边的比值，验证其等于即可； （3）先判断分割线是垂直于长还是垂直于宽，分情况讨论两种分割方式下两个小矩形均为黄金矩形的条件，根据黄金矩形的比例关系列关于的方程求解，再统计解的个数和时的解． 【详解】（1）解：设长边为米， ∵短边为米， ∴ ， 解得 ， 分母有理化得：， ∴该画报的长边长度为米． （2）略 （3）①若，， 第一种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， ∴在矩形中，， ∴， 第二种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， 同理，在矩形中，， ∴， ②若，， 第一种情况：若， ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵， ∴， 即， 解得， 第二种情况：若， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或或或， ∴的不同取值共有个； ②由①可得，当时，的值为或． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再根据求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可． 【详解】（1）设，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去）， ∴白银比率为：； （2）设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得， ∴正方形的边长为． 3．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． (2)顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． (3)如图3，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中是黄金三角形．若的面积为1，则正五角星的面积为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过交叉相乘得到关于的一元二次方程，利用求根公式计算即可得出结果； （2）根据黄金三角形的定义计算即可得出结果； （3）连接，，由正五边形的性质可得，，，由黄金三角形的定义可得，则，，求出，由对称性可得，再求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：设线段，的长为，则可表示为， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵， ∴； （2）解：∵为黄金三角形，， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴； （3）解：如图，连接，， 由正五边形的性质可得：，，， ∵是黄金三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由对称性可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴正五角星的面积为 ． 4．（2025·福建龙岩·二模）综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达·芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形，证明 ，，， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设, 则, 利用题中给出的信息，分别求出, 然后分别验证选项是否成立即可. 【详解】（1）解：根据题意可得， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得：， 故答案为：； （2）略 （3）解：在黄金矩形中，设, 则, ， , , 同理可得, ， . 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，黄金矩形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； (2) 方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键． （1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明； （2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角． 【详解】（1）略 （2）略 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 则， ， ， ． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是比例线段，熟知对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，当时，即，则称b是a、d的比例中项是解题的关键． 根据比例中项的定义解答即可． 【详解】解：∵b是a，c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴的长度为， 故选：A． 3．（2025·海南海口·一模）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答． 【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得： 解得， 经检验，是分式方程的解且符合实际意义， 即P点表示的数为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理求出，进而得到、、、的长度，根据黄金分割的定义逐一判断点、、、是否为所在某条线段的黄金分割点； 【详解】解：在正方形中，， 设， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵是的中点， ∴不是的黄金分割点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是的黄金分割点， 综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 7．（25-26九年级·上海黄浦·自主招生）从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 【答案】22 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 8．（2026·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 9．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足（即），则称点P是线段的黄金分割点，若，设，则x满足的方程是________．（化为一般形式） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是读懂题意，掌握黄金分割的定义． 根据黄金分割的定义列方程即可． 【详解】解：∵，设，则， 根据黄金分割的定义可得：， 化简得，， 故答案为：． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 11．（2026·广西·模拟预测）【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 【答案】(1) (2)菱形； 理由如下： 由折叠的性质可知，，又图为矩形纸片， ，则， ， ， 四边形为菱形． (3) (4)见解析 【分析】本题考查几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． （1）利用勾股定理计算即可； （2）根据菱形的判定方法即可判断； （3）根据黄金矩形的定义即可判断． （4）根据黄金矩形的定义即可判断． 【详解】（1）解：连接，如图③， 由题知四边形为正方形，且， ， 又两个矩形相等，， ． （2）略 （3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形． ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， ， 故四边形为黄金矩形． （4）解：选其中一种写理由均可 四边形是黄金矩形的，理由如下： ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， 或者四边形是黄金矩形的理由如下： ， 故四边形为黄金矩形． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.1比例线段（第2课时) 判断四条线段是否成比例 根据成比例线段求未知线段 比例尺的应用 ①基础达标题 等比中项中相关求解 利用黄金分割求线段长度 黄金分割的实际应用 。比例线段 ②能力提升题 黄金分割阅读理解题型 ③拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 题型一：判断四条线段是否成比例 1.(26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试)下列各组线段中，a、b、C、d成比例的一组是() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 c.a=2,b=V5,c=2V5,d=10 D.a=0.8,b=3,c=1,d=10 2.(25-26九年级上·广东河源期中)下列四组长度的线段中，是比例线段的是() A.4,5,6,7 B.3,4,6,9 C.8,4,4,2 D.5,10,10,15 3.(25-26八年级下·全国·单元测试)下列各组线段成比例的是() A.20cm,30cm,40cm,50cm B.20cm,40cm,60cm,80cm C.30cm,60cm,80cm,120cm D.10cm,30cm,50cm,150cm 4.（25-26八年级下·全国.单元测试)下列各组线段中，能成比例的是() A.1cm,3cm,4cm,6cm B.30cm,12cm,0.8cm,0.2cm 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.11cm,22cm,33cm,44cm D.12cm,16cm,45cm,60cm 5.(25-26九年级上·四川成都阶段检测)在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是 () A.1,3,20,30B.1,2,3,2 C.1,2,3,4 D.45,10,10,5V5 题型二：根据成比例线段求未知线段 1.(25-26九年级上河南安阳·期末)现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4,3,2，Q,若这 四条线段是成比例线段，则a的值是() A.1 83 C.2 D.4 2.(26-27九年级上·全国·单元复习)已知线段a,b,c,d为成比例线段，其中a=2cm,b=3cm, c=6cm,则d是() A.1cm B.5cm C.9cm D.12cm 3.(25-26八年级下·山东淄博期末)已知a、b、c、d为成比例线段，其中a=4cm,b=5cm, c=10cm,则d为() B. 25 4 A.4cm -cm C.5cm D. 4.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知三条线段的长分别是4cm,5cm和10cm,如果再加上一条线 段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是 cm 5.(25-26九年级上·全国·课后作业)有三条长度分别为1cm,4cm,8cm的线段，再添一条长度为 的线段，能使这四条线段是成比例线段， 题型三：比例尺的应用 1.(25-26九年级上·四川达州·期中)达州市真佛山风景区与重庆武隆风景区之间的直线距离约为405km, 在一张比例尺为1：2000000的旅游图上，它们之间的距离大约相当于()的长度 A.一根火柴 B.一根筷子 C.一支钢笔 D.一支铅笔 2.(25-26九年级上·上海阶段检测)上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为1：4000000的地图 上，两地的图上距离约厘米 3.(25-26九年级上·安徽合肥·期中)在比例尺为1：90000的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地 2/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 间距离是9cm,那么两地的实际距离是 km. 4.(25-26九年级上·上海崇明·期中)在比例尺是1,500000的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米， 那么两地的实际距离为千米。 5.(25-26九年级上：上海静安·期中)甲、乙两地在地图上距离约为5厘米，地图的比例尺为1： 1000000,则甲、乙两地的实际距离约为 千米。 题型四：等比中项中相关求解 1. (25-26九年级上·上海·阶段检测)已知线段AB=2,C是线段AB上一点，且BC是AC与AB的比例中 项，那么线段BC的长等于： 2.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测)已知线段a=8,b=2,线段c是线段a,b的比例中项，则C= 3.(25-26九年级上·江苏泰州·期末)已知线段a=1cm,b=3cm,则线段a,b的比例中项为 cm. 4.(25-26九年级上浙江宁波期中)已知线段a、b满足a:b=3:2,且a+2b=21. 1)求a、b的值： (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值 5.(25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测)已知线段a、b、c满足a:b:c=3:2:4,且a+2b+c=33 1)求a、b、c的值： (2)若线段X是线段a、b的比例中项，求x的值： 题型五：利用黄金分割求线段长度 1.(25-26九年级下·陕西宝鸡期中)某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整 条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点.过顶角为36的等腰△ABC底角的顶点B作 ∠ABC的平分线交AC于点D,其中D为AC的黄金分割点，即AD=CD·AC.若AB=4,则线段CD 的长为 3/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2.(25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测)若点B是线段AC的黄金分割点，满足AB<BC,若AC=2,则 AB的长是 3.(25-26九年级上·四川达州期中)五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段AB 的黄金分割点，AB=10cm,则AD=,(结果保留根号) 4.(25-26九年级上·广东深圳·期中)如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形. 如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD>AB,AD=2,点E是AD上一点，点G是CD上一点，将 △ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的 点H处，则FH的长为 A H G B 5.(25.6九年级上四川成都期末)矩形的短边与长边的比等了黄金比（即5，马），则该矩形叫黄金 2 矩形.黄金矩形给我们以协调的美感.如图，黄金矩形ABCD的长边AB=4,则它的面积为。 D B 6.(2025江西·模拟预测)定义：若线段AB上有一点C满足AC2=AB·BC,则称点C为线段AB的黄金 分割点.AC与AB的比叫作黄金比.设黄金比为k,则k的值为 4/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级下.上海青浦·期末)点P是线段AB上的一点，如果AP=BP·AB,BP=V5-1,那么 AP= 题型六：黄金分割的实际应用 1.(25.26八年级下辽宁大连期末)宽与长的比是5,1的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮席视 觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形ABCD截掉正方形AEFB后，剩余的矩形 CDEF仍是黄金矩形，AD是30.86m,求CD的长度，设CD的长度是xm,根据题意，下列的方程中正 确的是() A E B 3086=V21:②30.86-x_5-1 ；®x30.86X@30.8695+1 30.86 X X 2 A.① B.①③ C.①②④ D.①②③④ 2。（25-26九年级上山西析州期末)短边与长边之比等下5-1 2一的矩形称为“黄金矩形”·如图，四边 形ABCD是黄金矩形，且AB-5-1 AD 2 以AB为边作正方形ABFE,点F,E分别在边BC,AD上，得 到黄金矩形EFCD;以DE为边作正方形DEHG,点H,G分别在边EF,CD上，得到黄金矩形HGCF. 分别以F,H为圆心作BE,EG,则曲线BEG称为“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线”BEG的长 为() E G B F 5-1m 5π A.π B. c.3-95) 2 2 D.2 3.(26-27九年级上陕西西安·开学考试)一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 脐以下的高度)的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看.某位参加空姐选拔的选手身 高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿厘米的鞋子才能好看.（精确到1厘米） 4.(26-27九年级·全国暑假作业)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的 汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且 ABNP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点c处，且BC=51,若P=2am,则 AB 2 BC的长为 cm(结果保留根号). M B 5.(25-26九年级上·四川成都期中)勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄 金，生活中到处可见黄金分割的美.如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC), 已知AB=10cm,则AC长为， 6.(25-26九年级上广东佛山期中)大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具 美感的黄金分割比.如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=40cm,则AB的长为 (结果保留根号) cm 6/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一：黄金分割阅读理解题型 1.(25-26八年级下·福建福州期末)综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 5-1 定义：若矩形的短边与长边的比值为2一， 则称该矩形为黄金矩形.黄金矩形具有协调、匀称的美学特 征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛， 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法.对任意正数α和b(a≠b),有： y Va-VB) Vā-Vb,该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如： Va+b a+VbVa-Vb) a-b 1 9V7-V5 V7-5_V7-5 7+57+57-5 ）7-5 1)某校设计制作主题宣传画报.画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1 米，求该画报的长边长度（结果保留根号）· 操作发现 (②)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片ABCD,使边AB和DC重合，得到折痕EF(点E,F分别在边AD, BC上)，然后将纸片展平， 第二步：如图②，再次折叠纸片ABCD,使边BC落在线段BE上，点C的对应点为C,折痕为BG(点G 在CD上)，展平纸片. 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片ABCD,使点A,D的对应点A,D分别落在边AB,DC上， 折痕为HG(点H在边AB上)，展平后得到矩形HBCG, 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E A ---D G G A B F F 图① 图② 图③ 求证：四边形HBCG是黄金矩形. 拓广探索 3)有一张矩形画报，记为矩形ABCD,其中AB=1,BC=mm>0.若在该画报内作一条垂直于其一组 对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的的不同取值共有 个： ②当m>1时，请直接写出所有满足条件的m值： 2.(25-26八年级下·山东青岛·期末)【问题背景】如图1，以矩形ABCD的宽BC为边，在其内部作正方 化，若沿怨 则称矩形ABCD为“黄金矩形”，其长与宽的比(AB:AD)称为“黄金比 率”。 A B E B G 图1 图2 图3 【问题探究】求“黄金比率”： 设AB=a,AD=b,则AE=a-b: 8提号”r-b--0 ∴gb±B-4-6b±85bb±5b. 2 2 2 :a-1+5b,0,=15b(负数不合题高，合去). 2 2 AB_a_1+5 ∴黄金比率为：AD62 8/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I)【问题提出】如图2，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG,GHFE,若 AB_AD AD AE 则称矩形ABCD为“白银矩形”，其长与宽的比(AB:AD)称为“白银比率”，求“白银 比率”. (2)【问题拓展】如图3，从正方形ABCD上剪下宽BE=3Cm的矩形BCFE后，剩余部分（矩形ADFE) 是“白银矩形”，求正方形ABCD的边长. 3.(25-26九年级上广东肇庆期中)实践主题：黄金分割数 (I)材料探索：如图1，点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP,BP两条线段AP>BP,且满足 BP:AP=AP:AB,这种分割叫做黄金分割.其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分 割数.若设线段AB=1,AP的长为X,则BP可表示为1-X,因为BP:AP=AP:AB,所以 1-x:x=x:1,据此计算出黄金分割数（结果保留根号）· PB 图1 (2)顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）· 如图2，若△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形，已知AB=4,求DE的长. 图2 (3)如图3，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中△AFG是黄金三角形. 若△AFG的面积为1，则正五角星的面积为 图3 4.(2025福建龙岩二模)综合与实践一一黄金矩形. 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 宽与长之比为 5-1 2 的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自 然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达·芬奇的画作《蒙娜丽莎》·今天我们追随先哲们的脚步， 利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 图1 图2 图3 如图3，矩形纸片的宽AB=2,小明按如下步骤操作 第一步：如图4，沿AC折叠，使点B落在长边上的点D处，连接CD,得正方形ABCD: 第二步：对折正方形ABCD,使边AB与CD重合，得折痕EF,并展开，如图5，则BF=CF=1: 第三步：连接DF,沿FM折叠，使点D落在BC延长线上的点G处，如图6，则FG的长为①； 第四步：过点G折叠纸片，得折痕GH,使GH⊥BC,交于AD点H,并展开，如图7，则矩形CDHG为 黄金矩形 D A E D E D M B F C 图4 图5 E D D H B F C G 图7 图8 图9 (1)补全小明操作过程中①所缺的内容」 (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形CDHG外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予 证明、 (3)小慧根据(2)题进一步发现，在黄金矩形ABCD中折去正方形ABEF,从而留下的矩形CDEF即为黄 金矩形.类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形CDE℉、 黄金矩形HFCG,…如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一 10/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条曲线，通常被称为“黄金螺线”，自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子.记 BE、EG、GN的弧长分别为l、m、n,请探究l、m、n满足的数量关系， 5.(25-26九年级上·上海阶段检测)如图，正方形纸片ABCD.现对纸片做如下操作：第一步，对折纸 片，使边AD与BC重合，得到折痕EF;第二步，将△BCF折叠，得到折痕BF;第三步，将△ABP折叠， 使顶点A落在折痕BF上点Q处 D D ③ E 上② B (I)求证：点P恰为线段AD的黄金分割点； (2)现有矩形纸片ABCD,其中AB<BC,如图所示.请你借助这张纸片，设法折出一个30°的角.要求写 出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明30°角的位置，不需要证明. 拓展培优题 1.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC, 过点E作EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为点F,G,则BG:BC的值为() G A.2:3 B.2:2 c.V2:1 D.2:V2 2.(25-26九年级上·安徽滁州期末)已知线段a,b,c,且b是a,c的比例中项，其中 a=4cm,b=12cm,则c的长度为() A.36cm B.24cm C.18cm D.16cm 3.(2025海南海口·一模)如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平 行，则点P表示的数是() 11/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2345山 0 D 10 A.2 B.2 D.5 4.(25-26八年级下·山东烟台·期末)大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具 美感的黄金比.如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC)，若AC=50,则BC长为() B A.75-25V5 B.50V5-50 c.25V5-25 D.25V5+25 5.(25-26八年级下山东威海期末)已知，线段AB=2,点M,N是线段AB的两个黄金分割点，则MN 的长为() A M N B A.V5-1 B.3-V5 c.2V5-2 D.2V5-4 6.(25-26九年级下·山东烟台期末)在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法， 如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连结BE,在EA的延长线上取点F,使 EF=BE,以AF为边作正方形AFGH.则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金 分割点的有() B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.(25-26九年级·上海黄浦·自主招生)从1,2,3…20这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序 12/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 实数组a,b,c,使b为a,c的比例中项，则不同的有序实数组a,b,c共有 组. 8.(2026江苏泰州·模拟预测)地球表面的纬度范围是0~90°，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的 部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那 么黄金地带纬度的范围是： 。(黄金比为0.618) 金字店巴比伦王国 玛雅文化 9.(25-26九年级上陕西咸阳·期中)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图， 点P是线段AB上一点(AP>BP),若满足BP=AP AP AB (即AP=BPAB),则称点P是线段AB的黄金分 割点，若AB=2,设BP=X,则x满足的方程是 (化为一般形式) B 10.(25-26九年级下山东烟台·期末)一般地，我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，在 “黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比5-1 2 如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°」 B (1)请仅用圆规在BC边上作出点D,E,使△ABD,△ACE均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作 法： ②)在(1)的基础上，求DE的值 AB 11.(2026·广西·模拟预测)【探究与证明】 【向盟情境】：宽与长的比是5-1（约为0618）的矩形叫放黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称 2 的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽 13/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为2的矩形纸片折叠黄金矩形.（提示：MN=2) 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平. 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 第三步，折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处」 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形 M B M F B C 图① 图② M B D 图③ 图④ 【问题解决】 1)图③中AB= (保留根号) (2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； 3)如图④矩形BCDE就是黄金矩形，图④的矩形 也是黄金矩形： (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由. 14/14