3.1 比例线段 题型专练　2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 以题型为单元，典例引领+分层变式训练，覆盖比例线段全知识点，梯度从概念理解到实际应用，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|比例基本性质、线段比等单一知识点|典例示范+选择填空题，如比例式与乘积式转换，培养运算能力| |能力提升|成比例线段、黄金分割等综合应用|解答题为主，如根据比例求多字母值，发展推理意识| |综合应用|比例尺、实际生活情境问题|结合生活实例，如人体黄金比、地图比例尺，体现模型意识|

湘教版（2024）九年级上册 3.1 比例线段 题型专练 【题型1】 根据比例的基本性质求代数式的值 【典例】若，（b﹣2d≠0），则（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若，则（　　） A. B. C.5 D.﹣5 【举一反三2】已知，b﹣2d+3f＝50，那么a﹣2c+3e＝　   　． 【举一反三3】　    　． 【举一反三4】已知，求k2﹣3k﹣4的值． 【题型2】根据比例的性质求字母的值 【典例】若，则k的值为（　　） A. B.1 C.﹣1 D. 【举一反三1】若，a+b+c＝18，则a等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【举一反三2】已知x，y，z满足，且x﹣2y+z＝12，则x＝    ． 【举一反三3】已知，且3x+4z﹣2y＝40，求x、y、z的值． 【举一反三4】已知，且x+2y+3z＝﹣46，求x，y，z的值． 【题型3】根据比例的基本性质求字母的比 【典例】已知，则（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】已知：，，那么a：b：c等于（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如果x：（x+y）＝3：5，那么（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】已知4x﹣3y＝0，x≠0，则　    ． 【举一反三4】已知，求a：b． 【题型4】根据比例的性质解方程 【典例】已知3：（x﹣1）＝6：12，则x的值为（　　） A.12 B.6 C.7 D.1.5 【举一反三1】如果（x+2）：x＝2：3，那么x的值为（　　） A.6 B.﹣6 C. D. 【举一反三2】若2：a＝a：8，则a＝    ． 【举一反三3】求下列比例式中的x． （1）3：8＝15：x； （2）； （3）：x：． 【题型5】比例式和乘积式的互相转换 【典例】已知3x＝2y，那么下列式子中一定成立的是（　　） A.x+y＝5 B. C. D. 【举一反三1】若a：b＝2：3，则下列各式中正确的式子是（　　） A.2a＝3b B.3a＝2b C. D. 【举一反三2】已知3x﹣2y＝0（y≠0），那么x：y＝　     　． 【举一反三3】已知：2a＝3b．（a，b均不为0），求a：b的值； 【题型6】求线段的比 【典例】延长线段AB到点C，使BC＝AB，则下列线段的比错误的是（　　） A.AB：AC＝1：2 B.AB：BC＝1：1 C.BC：AC＝1：2 D.AC：AB＝1：2 【举一反三1】已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（　　） A.3：2 B.5：3 C.5：2 D.3：5 【举一反三2】如图，线段AB：BC＝1：2，那么AC：BC等于（　　） A.1：3 B.2：3 C.3：1 D.3：2 【举一反三3】如图，    ，    ． 【举一反三4】教室黑板的长为4.5 m，宽为1.5 m，长和宽的比是    ，若改为分米做单位，长与宽的比是    ，长是宽的    倍． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．求： （1）；（2）． 【题型7】比例尺、图上距离与实际距离 【典例】在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2 cm，它的实际长度约为（　　） A.100 km B.2000 m C.10 km D.20 km 【举一反三1】在比例尺是1：10000的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为10 cm，它的实际长度约为（　　） A.1000 m B.1000 cm C.100 m D.100 cm 【举一反三2】在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4 cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　） A.17 km B.34 km C.170 km D.340 km 【举一反三3】在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5 cm，则A、B两地的实际距离为　    　km． 【举一反三4】甲、乙两地的实际距离为540 km，在某地图上量得这两地的距离为18 cm，则该地图的比例尺为 　      　． 【举一反三5】在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是2：3，甲、乙两车的速度各是多少？ 【题型8】判断是否为成比例线段 【典例】已知四条线段的长如下，则能成比例线段的是（　　） A.1，1，2，3 B.1，2，3，4 C.1，2，2，4 D.2，3，4，5 【举一反三1】以下四组线段，成比例的是（　　） A.1，2，3，4 B.2，3，4，5 C.1，，， D.5，6，7，8 【举一反三2】已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？ （1）a＝16 cm b＝8 cm c＝5 cm d＝10 cm （2）a＝8 cm b＝5 cm c＝6 cm d＝10 cm． 【举一反三3】已知a，b，c，d是四条线段，试判断它们是不是成比例线段． （1）a＝1 mm，b＝0.8 cm，c＝0.02 cm，d＝4 cm； （2）a＝1 cm，b＝0.4 cm，c＝40 cm，d＝3 cm． 【题型9】根据成比例线段求线段的长 【典例】已知a、d、b、c依次成比例线段，其中a＝3 cm，b＝4 cm，c＝6 cm，则d的值为（　　） A.8 cm B. C.4 cm D. 【举一反三1】已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3 cm，d＝6 cm，c＝4 cm，则线段a的长度为（　　） A.8 cm B.2 cm C.4 cm D.1 cm 【举一反三2】已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则线段d的长为（　　） A.1 cm B.4 cm C.2 cm D.9 cm 【举一反三3】已知线段a、b、c、d成比例，且a＝6，b＝9，c＝12，则d＝　　． 【举一反三4】四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3 cm，c＝4 cm，d＝5 cm，则a＝__________cm． 【举一反三5】已知四条线段a、b、c、d成比例，其中b＝3 cm，c＝2 cm，d＝6 cm，则线段a的长度是多少？如果改成四条线段b、c、d、a成比例，其中b＝3 cm，c＝2 cm，d＝6 cm，则此时线段a的长度是多少？ 【举一反三6】（1）已知a＝3 cm，b＝60 mm，c＝4 cm，a，b，c，d四条线段是成比例线段，求线段d的长； （2）已知a＝4 cm，c＝9 cm，且a，b，b，c是成比例线段，试求线段b的长； （3）已知线段a＝2 cm，b＝30 m，c＝6 cm，d＝10 m，试判断它们是否为成比例线段． 【题型10】利用黄金比求线段的长 【典例】小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段AB，量得AB＝8米，若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则线段AC的长为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】校园里一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，如果将AB看作一条线段，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10 cm，那么AP的长度为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作弧，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝2，则AB＝　       　.（结果保留根号） 【举一反三3】已知点A、B、C在一条直线上，AB＝1，且AC2＝BC•AB，求AC的长． 【举一反三4】已知点C是线段AB的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段AC的长． 【题型11】黄金分割的应用 【典例】某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80 cm，则AB约是（　　） A.30 cm B.49 cm C.55 cm D.129 cm 【举一反三1】生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下b与全身a的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中a为20米，则b约为（　　） A.12.4米 B.13.8米 C.14.2米 D.16.2米 【举一反三2】古希腊以来，人们以满足黄金分割比的事物为美．长发及腰，佳人倾城一笑亦是一种美．现有一名13岁的少女，从今年算起，未来x（0≤x≤4）年其身高近似满足函数y＝2x+160（单位：厘米）．若某一年该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比，已知该少女的头发长度为64厘米，则下列说法正确的是（　　）（注：黄金分割比为0.618） A.对于函数y＝2x+160而言，y为自变量，x为因变量，160为常量 B.该少女此时身高约为160厘米（四舍五入取整） C.该少女年龄为17岁（四舍五入取整） D.若某一年该少女身高为170厘米，则该少女年龄为18岁 【举一反三3】人体下半身（脚底到肚脐的长度）与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士，身高1.68 m，下半身1.02 m，她应选择　    　cm（取两位有效数字）高的高跟鞋看起来更美． 【举一反三4】如图，乐器上的一根弦AB的长度为20 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，则线段AC的长度为　  　cm． 【举一反三5】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.6． （1）求该女士下半身长x； （2）为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1） 【题型12】根据黄金分割求线段比值或判断成比例线段 【典例】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） A.AB2＝AP2+BP2 B.BP2＝AP•BA C. D. 【举一反三1】如图，点B是线段AC的黄金分割点（BC＞AB），则下列结论中正确的是（　　） A.AC2＝AB2+BC2 B.AB2＝AC•BC C. D. 【举一反三2】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是　   　． 【举一反三4】如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，计算线段AB的黄金比的值． 【举一反三5】已知AB＝2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且AD2＝BD•AB，求的值． 湘教版（2024）九年级上册 3.1 比例线段 题型专练（参考答案） 【题型1】 根据比例的基本性质求代数式的值 【典例】若，（b﹣2d≠0），则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三1】若，则（　　） A. B. C.5 D.﹣5 【答案】A 【解析】∵， ∴可设a＝2k，b＝3k， ∴． 故选：A． 【举一反三2】已知，b﹣2d+3f＝50，那么a﹣2c+3e＝　   　． 【答案】30 【解析】由等比性质，得 ， a﹣2c+3e＝30， 故答案为：30． 【举一反三3】　    　． 【答案】 【解析】∵， ∴由等比性质可得， 故答案为：． 【举一反三4】已知，求k2﹣3k﹣4的值． 【答案】解：∵k， ∴由等比性质可得：k， 当a+b+c+d≠0时，k， 当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a， ∴k2， ∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣34或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6． 【题型2】根据比例的性质求字母的值 【典例】若，则k的值为（　　） A. B.1 C.﹣1 D. 【答案】D 【解析】当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），因而k1， 当a+b+c≠0时，k． 故k的值是﹣1或． 故选：D． 【举一反三1】若，a+b+c＝18，则a等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】设，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a+b+c＝18， ∴2k+3k+4k＝18， 解得：k＝2， ∴a＝2k＝4． 故选：B． 【举一反三2】已知x，y，z满足，且x﹣2y+z＝12，则x＝    ． 【答案】14 【解析】设k， 则x+4＝3k，y+3＝2k，z+8＝4k， 所以x＝3k﹣4，y＝2k﹣3，z＝4k﹣8， ∵x﹣2y+z＝12， ∴3k﹣4﹣2（2k﹣3）+4k﹣8＝12， 解得：k＝6， 即x+4＝18， 解得：x＝14， 故答案为：14． 【举一反三3】已知，且3x+4z﹣2y＝40，求x、y、z的值． 【答案】解：设k，那么x＝2k，y＝3k，z＝5k， 由于3x+4z﹣2y＝40， ∴6k+20k﹣6k＝40， ∴k＝2， ∴x＝4，y＝6，z＝10． 【举一反三4】已知，且x+2y+3z＝﹣46，求x，y，z的值． 【答案】解：设x＝2k，y＝3k，z＝5k，（k≠0）， ∵x+2y+3z＝﹣46， ∴2k+6k+15k＝﹣46， 解得：k＝﹣2， ∴x＝﹣4，y＝﹣6，z＝﹣10． 【题型3】根据比例的基本性质求字母的比 【典例】已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴5（a﹣b）＝3a， 即：2a＝5b， ∴． 故选：D． 【举一反三1】已知：，，那么a：b：c等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵a：b＝1：，b：c：， ∴a＝2b，cb， ∴a：b：c＝2b：b：b：：． 故选：C． 【举一反三2】如果x：（x+y）＝3：5，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵x：（x+y）＝3：5， ∴5x＝3x+3y， 2x＝3y， ∴x：y＝3：2． 故选：A． 【举一反三3】已知4x﹣3y＝0，x≠0，则　    ． 【答案】 【解析】∵4x＝3y， ∴． 故答案为． 【举一反三4】已知，求a：b． 【答案】解：∵， ∴2（a﹣b）＝a， 2a﹣2b＝a， 2a﹣a＝2b， a＝2b， ∴a：b＝2：1． 【题型4】根据比例的性质解方程 【典例】已知3：（x﹣1）＝6：12，则x的值为（　　） A.12 B.6 C.7 D.1.5 【答案】C 【解析】∵3：（x﹣1）＝6：12， ∴6（x﹣1）＝3×12， 即6x﹣6＝36， 解得x＝7． 故选：C． 【举一反三1】如果（x+2）：x＝2：3，那么x的值为（　　） A.6 B.﹣6 C. D. 【答案】B 【解析】（x+2）：x＝2：3， 2x＝3（x+2）， 2x＝3x+6， 2x﹣3x＝6， ﹣x＝6， x＝﹣6， 经检验x＝﹣6是原方程的解， 故选：B． 【举一反三2】若2：a＝a：8，则a＝    ． 【答案】±4 【解析】∵2：a＝a：8， ∴a2＝2×8＝16， 解得a＝±4． 故答案为：±4． 【举一反三3】求下列比例式中的x． （1）3：8＝15：x； （2）； （3）：x：． 【答案】解：（1）3x＝8×15， 3x＝120， 解得x＝40； （2）4.5x＝9×0.8， 4.5x＝7.2， 解得x＝1.6； （3）x， x， 解得x． 【题型5】比例式和乘积式的互相转换 【典例】已知3x＝2y，那么下列式子中一定成立的是（　　） A.x+y＝5 B. C. D. 【答案】C 【解析】∵3x＝2y， ∴， 故选：C． 【举一反三1】若a：b＝2：3，则下列各式中正确的式子是（　　） A.2a＝3b B.3a＝2b C. D. 【答案】B 【解析】A.2a＝3b⇒a：b＝3：2，故选项错误； B.3a＝2b⇒a：b＝2：3，故选项正确； C.⇒b：a＝2：3，故选项错误； D.⇒a：b＝4：3，故选项错误． 故选：B． 【举一反三2】已知3x﹣2y＝0（y≠0），那么x：y＝　     　． 【答案】2：3 【解析】∵3x﹣2y＝0， ∴3x＝2y， ∵y≠0， ∴x：y＝2：3． 故答案为：2：3． 【举一反三3】已知：2a＝3b．（a，b均不为0），求a：b的值； 【答案】解：∵2a＝3b， ∴a：b＝3：2. 【题型6】求线段的比 【典例】延长线段AB到点C，使BC＝AB，则下列线段的比错误的是（　　） A.AB：AC＝1：2 B.AB：BC＝1：1 C.BC：AC＝1：2 D.AC：AB＝1：2 【答案】D 【解析】延长线段AB到点C，使BC＝AB，则AC＝2AB， A．AB：AC＝1：2，故此选项不合题意； B．AB：BC＝1：1，故此选项不合题意； C．BC：AC＝1：2，故此选项不合题意； D．AC：AB＝2：1，故此选项符合题意． 故选：D． 【举一反三1】已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（　　） A.3：2 B.5：3 C.5：2 D.3：5 【答案】B 【解析】∵AB：BC＝3：2， ∴设AB＝3x，则BC＝2x，AB+BC＝AC＝5x， ∴AC：AB＝5：3． 故选：B． 【举一反三2】如图，线段AB：BC＝1：2，那么AC：BC等于（　　） A.1：3 B.2：3 C.3：1 D.3：2 【答案】D 【解析】设AB＝k，BC＝2k， ∴AC＝3k， ∴AC：BC＝3k：2k＝3：2． 故选：D． 【举一反三3】如图，    ，    ． 【答案】； 【解析】设每个小正方形的边长为1， 则BC2，AC2， ∴，． 故答案为：，． 【举一反三4】教室黑板的长为4.5 m，宽为1.5 m，长和宽的比是    ，若改为分米做单位，长与宽的比是    ，长是宽的    倍． 【答案】3：1；3：1；3 【解析】∵教室黑板的长为4.5 m，宽为1.5 m， ∴长和宽的比是：4.5：1.5＝3：1， 若改为分米做单位，长与宽的比是3：1， 长是宽的3倍． 故答案为：3：1，3：1，3． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．求： （1）；（2）． 【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴； （2）由（1）得：， ∴设BC＝x，则AB＝2x，ACx， ∴． 【题型7】比例尺、图上距离与实际距离 【典例】在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2 cm，它的实际长度约为（　　） A.100 km B.2000 m C.10 km D.20 km 【答案】B 【解析】2200000（厘米）＝2（千米）， 答：甲、乙两地的实际距离是2千米． 故选：B． 【举一反三1】在比例尺是1：10000的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为10 cm，它的实际长度约为（　　） A.1000 m B.1000 cm C.100 m D.100 cm 【答案】A 【解析】设实际长度为x km， 根据题意得10：x＝1：10000， 解得x＝100000 cm＝1000 m． 故选：A． 【举一反三2】在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4 cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　） A.17 km B.34 km C.170 km D.340 km 【答案】C 【解析】3.4＝3.4×5000000＝17000000（厘米）， 17000000厘米＝170千米． 答：上海到杭州的实际距离是170千米． 故选：C． 【举一反三3】在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5 cm，则A、B两地的实际距离为　    　km． 【答案】1.5 【解析】设A、B两地的实际距离为x厘米， 根据题意得， 解得x＝150000， 150000 cm＝1.5 km． 故答案为1.5． 【举一反三4】甲、乙两地的实际距离为540 km，在某地图上量得这两地的距离为18 cm，则该地图的比例尺为 　      　． 【答案】1：3000000 【解析】∵540 km＝54000000 cm， ∴该地图的比例尺为：18：54000000＝1：3000000， 故答案为：1：3000000． 【举一反三5】在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是2：3，甲、乙两车的速度各是多少？ 【答案】解：10×3000000＝30000000（厘米）， 30000000厘米＝300千米， 设甲车的速度是2x千米/时，则乙车的速度是3x千米/时， 根据题意得3（2x+3x）＝300， 解得x＝20， 2x＝2×20＝40， 3x＝3×20＝60． 答：甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是60千米/时． 【题型8】判断是否为成比例线段 【典例】已知四条线段的长如下，则能成比例线段的是（　　） A.1，1，2，3 B.1，2，3，4 C.1，2，2，4 D.2，3，4，5 【答案】C 【解析】A.∵1×2≠1×3， ∴1，1，2，3不能成比例线段，故不符合题意； B.∵1×4≠2×3， ∴1，2，3，4不能成比例线段，故不符合题意； C.∵1:2＝2:4， ∴1，2，2，4；能成比例线段，故符合题意； D.∵2×5≠3×4， ∴2，3，4，5不能成比例线段，故不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】以下四组线段，成比例的是（　　） A.1，2，3，4 B.2，3，4，5 C.1，，， D.5，6，7，8 【答案】C 【解析】A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，，∴，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？ （1）a＝16 cm b＝8 cm c＝5 cm d＝10 cm （2）a＝8 cm b＝5 cm c＝6 cm d＝10 cm． 【答案】解：（1）∵8×10＝80，16×5＝80，∴能够成比例； （2）∵8×6＝48，10×5＝50，∴不能够成比例． 【举一反三3】已知a，b，c，d是四条线段，试判断它们是不是成比例线段． （1）a＝1 mm，b＝0.8 cm，c＝0.02 cm，d＝4 cm； （2）a＝1 cm，b＝0.4 cm，c＝40 cm，d＝3 cm． 【答案】解：（1）∵0.02×4＝0.08，1 mm＝0.1 cm，0.1×0.8＝0.08，0.08＝0.08， ∴它们是成比例线段； （2）∵0.4×40＝16，134，16≠4， ∴它们不是成比例线段． 【题型9】根据成比例线段求线段的长 【典例】已知a、d、b、c依次成比例线段，其中a＝3 cm，b＝4 cm，c＝6 cm，则d的值为（　　） A.8 cm B. C.4 cm D. 【答案】D 【解析】根据题意得：a：d＝b：c， ∵a＝3 cm，b＝4 cm，c＝6 cm， ∴3：d＝4：6， ∴d cm， 故选：D． 【举一反三1】已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3 cm，d＝6 cm，c＝4 cm，则线段a的长度为（　　） A.8 cm B.2 cm C.4 cm D.1 cm 【答案】B 【解析】由题意得：a：b＝c：d， ∴a：3＝4：6， 解得：a＝2． 故选：B． 【举一反三2】已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则线段d的长为（　　） A.1 cm B.4 cm C.2 cm D.9 cm 【答案】B 【解析】根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d， 所以d4（cm）． 故选：B． 【举一反三3】已知线段a、b、c、d成比例，且a＝6，b＝9，c＝12，则d＝　　． 【答案】18 【解析】∵线段a、b、c、d成比例， ∴a：b＝c：d， ∴d， 又∵a＝6，b＝9，c＝12， ∴d18． 【举一反三4】四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3 cm，c＝4 cm，d＝5 cm，则a＝__________cm． 【答案】2.4 【解析】∵四条线段a、b、c、d成比例， ∴，ad＝bc， ∵b＝3 cm，c＝4 cm，d＝5 cm， 5a＝12， 解得：a＝2.4 cm． 故答案为：2.4． 【举一反三5】已知四条线段a、b、c、d成比例，其中b＝3 cm，c＝2 cm，d＝6 cm，则线段a的长度是多少？如果改成四条线段b、c、d、a成比例，其中b＝3 cm，c＝2 cm，d＝6 cm，则此时线段a的长度是多少？ 【答案】解：∵四条线段a，b，c，d成比例， ∴， ∴， ∴a＝1 cm． ∵四条线段b、c、d、a成比例， ∴， ∴， ∴a＝4 cm． 【举一反三6】（1）已知a＝3 cm，b＝60 mm，c＝4 cm，a，b，c，d四条线段是成比例线段，求线段d的长； （2）已知a＝4 cm，c＝9 cm，且a，b，b，c是成比例线段，试求线段b的长； （3）已知线段a＝2 cm，b＝30 m，c＝6 cm，d＝10 m，试判断它们是否为成比例线段． 【答案】解：（1）∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段， ∴， ∵a＝3 cm，b＝60 mm＝6 cm，c＝4 cm， ∴， 解得：d＝8， 故线段d＝8 cm； （2）∵线段a、b、b、c是成比例线段， ∴，即b2＝ac， ∵a＝4 cm，c＝9 cm， ∴b2＝4×9＝36， ∴b＝6（负值舍去）． 故线段b的长为6 cm； （3）∵线段a＝2 cm，b＝30 m＝3000 cm，c＝6 cm，d＝10 m＝1000 cm， ab＝2×3000＝6000， cd＝6×1000＝6000， ∴ab＝cd， ∴四条线段能够成比例． 【题型10】利用黄金比求线段的长 【典例】小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段AB，量得AB＝8米，若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则线段AC的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8米， ∴ACAB8＝4（1）米， 故选：B． 【举一反三1】校园里一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，如果将AB看作一条线段，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10 cm，那么AP的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10 cm， ∴APAB10＝（55） cm， 故选：C． 【举一反三2】黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作弧，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝2，则AB＝　       　.（结果保留根号） 【答案】1 【解析】设正方形的ABCD的边长为x， ∴AB＝BC＝x， ∵矩形ABFG为黄金矩形， ∴， ∴， 解得：x1， ∴AB＝BC1， 故答案为：1． 【举一反三3】已知点A、B、C在一条直线上，AB＝1，且AC2＝BC•AB，求AC的长． 【答案】解：分三种情况： 当点C在线段AB上，如图： ∵AC2＝BC•AB， ∴点C是AB的黄金分割点， ∴ACAB1； 当点C在线段AB的延长线时，如图： 设AC＝x，则BC＝AC﹣AB＝x﹣1， ∵AC2＝BC•AB， ∴x2＝（x﹣1）•1， 整理得：x2﹣x+1＝0， ∴原方程没有实数根； 当点C在线段BA的延长线时，如图： 设AC＝x，则BC＝AC+AB＝x+1， ∵AC2＝BC•AB， ∴x2＝（x+1）•1， 整理得：x2﹣x﹣1＝0， 解得：x1，x2（不符合题意，舍去）， ∴AC的长为； 综上所述，AC的长为或． 【举一反三4】已知点C是线段AB的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段AC的长． 【答案】解：设分成的两部分中较长线段的长为x， 可得x2＝（x﹣2）（x+x﹣2）， x2﹣6x+4＝0， 解得， 而x﹣2＞0， 所以，或． 线段AC的长为3或1． 【题型11】黄金分割的应用 【典例】某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80 cm，则AB约是（　　） A.30 cm B.49 cm C.55 cm D.129 cm 【答案】B 【解析】由题意可得，0.618， 解得AB≈49， 故选：B． 【举一反三1】生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下b与全身a的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中a为20米，则b约为（　　） A.12.4米 B.13.8米 C.14.2米 D.16.2米 【答案】A 【解析】由题意可知，，代入a＝20米， ∴b≈20×0.618＝12.36≈12.4（米）． 故选：A． 【举一反三2】古希腊以来，人们以满足黄金分割比的事物为美．长发及腰，佳人倾城一笑亦是一种美．现有一名13岁的少女，从今年算起，未来x（0≤x≤4）年其身高近似满足函数y＝2x+160（单位：厘米）．若某一年该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比，已知该少女的头发长度为64厘米，则下列说法正确的是（　　）（注：黄金分割比为0.618） A.对于函数y＝2x+160而言，y为自变量，x为因变量，160为常量 B.该少女此时身高约为160厘米（四舍五入取整） C.该少女年龄为17岁（四舍五入取整） D.若某一年该少女身高为170厘米，则该少女年龄为18岁 【答案】C 【解析】A．对于函数y＝2x+160而言，x为自变量，y为因变量，故该选项错误，不符合题意； B．设该少女头发末端到脚底的长度为m厘米， ∵该少女的头发长度为64厘米， ∴其身高为（m+64）厘米， 又∵该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比， ∴，解得m＝103.5， 其身高为103.5+64＝167.5≈168厘米， ∴该少女此时身高约为168厘米（四舍五入取整），故该选项错误，不符合题意； C．由B知，该少女此时身高约为168厘米， ∵其身高近似满足函数y＝2x+160， ∴解得x＝4， 又∵13+4＝17，故该选项正确，符合题意； D．若该少女身高为170厘米，则2x+160＝170， 解得x＝5， ∵0≤x≤4，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三3】人体下半身（脚底到肚脐的长度）与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士，身高1.68 m，下半身1.02 m，她应选择　    　cm（取两位有效数字）高的高跟鞋看起来更美． 【答案】4.8 【解析】设她应选择高跟鞋的高度是x cm，则0.618， 解得：x≈4.8 cm． 经检验知x≈4.8是原方程的解， 故本题答案为：4.8． 【举一反三4】如图，乐器上的一根弦AB的长度为20 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，则线段AC的长度为　  　cm． 【答案】（10100） 【解析】∵点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，AB＝20 cm， ∴ACAB20＝（1010）（cm）， 故答案为：（1010）． 【举一反三5】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.6． （1）求该女士下半身长x； （2）为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1） 【答案】解：（1）x＝165×0.6＝99（cm）， 答：该女士下半身x为99 cm； （2）设需要穿的高跟鞋是y cm， 则99+y＝0.618（165+y）， 解得：y≈7.8， 答：她应穿的高跟鞋的高度为7.8 cm． 【题型12】根据黄金分割求线段比值或判断成比例线段 【典例】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） A.AB2＝AP2+BP2 B.BP2＝AP•BA C. D. 【答案】D 【解析】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴AP2＝BP•BA，，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【举一反三1】如图，点B是线段AC的黄金分割点（BC＞AB），则下列结论中正确的是（　　） A.AC2＝AB2+BC2 B.AB2＝AC•BC C. D. 【答案】D 【解析】∵点B是线段AC的黄金分割点（BC＞AB）， ∴， 即，，BC2＝AB⋅AC， 故选：D． 【举一反三2】已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据黄金分割定义可知：AP是AB和BP的比例中项， 即AP2＝AB•BP， ∴． 故选：A． 【举一反三3】如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是　   　． 【答案】 【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，计算线段AB的黄金比的值． 【答案】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC， ∴， ∴线段AB的黄金比的值为． 【举一反三5】已知AB＝2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且AD2＝BD•AB，求的值． 【答案】解：∵D在AB上，且AD2＝BD•AB， ∴点D是AB的黄金分割点，且ADAB1， 而点C是AB的黄金分割点， 当C、D重合时，0， 当C、D不重合时，AC＝3， ∴CD1﹣（3）＝24， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $