4.1 成比例线段（分层作业）数学北师大版九年级上册

4.1 成比例线段 1．（24-25九年级上·广西来宾·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接计算即可，熟练掌握比例的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】A.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B.，∴四条线段成比例，故符合题意； C.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； 故选择：B 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）若a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25九年级上·山西运城·期中）若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质，由已知得到，，然后代入计算解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割以及比例方程的知识点，解题的关键是根据黄金分割的比例关系列出方程． 先根据已知条件求出该女士下半身的长度，再设出高跟鞋高度，根据穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值为0.618列出方程求解． 【详解】该女士下半身长， 设她应穿的高跟鞋的高度是，穿上高跟鞋后，下半身长变为，身高变为， 因为穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值要接近0.618，所以可列方程：， 解得：， 故答案选：D． 6．（24-25九年级下·山东淄博·期中）若线段，且点C是的黄金分割点，则等于（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分、两种情况，根据黄金比值计算即可．本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】解：∵线段，且点C是的黄金分割点， ∴当时，， 当时， ， 故选D． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知两个数2、8，则2和8的比例中项为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设2和8的比例中项为， 则：， ∴， ∴； 故选C． 8．（2025·江苏盐城·二模）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·湖南怀化·二模）鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据黄金分割点的定义可求出，进而可求出，再根据黄金分割点的定义即可求出． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．（24-25七年级下·河南·自主招生）《周髀算经》是中国古代数学著作，其中记载：“勾广三，股修四，径隅五”，意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（即最长的边）为5（弦），后人简单地把这个事实说成“勾3股4弦5”．已知一个直角三角形三条边的长度比是3：4：5，且斜边的长度是，则这个直角三角形的面积是 ． 【答案】150 【分析】本题考查比的应用及直角三角形面积公式的应用，解题的关键是根据三边比例关系求出两条直角边的长度． 先根据三边比例和斜边长度求出直角边长度，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】 () () () () 故答案为：150 11．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E 为线段的黄金分割点，，则的长为 cm．(结果保留根号) 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义、勾股定理、正方形的性质、二次根式的混合等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 根据勾股定理和正方形的性质求出，再根据黄金分割点的定义列式，然后根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ∵点E为线段的黄金分割点，， ，即，解得：， ． 故答案为：． 12．（2025·四川达州·二模）如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．根据点E是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点E是的黄金分割点，， ∴． ∵米， ∴米． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)的值为 【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例中项的定义，即可得到，再根据即可求解． 【详解】（1）解：设，， 则原式． （2）解：当时，， ∵是线段，的比例中项， ∴ ∵线段， ∴． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形和矩形，，，，． (1)求和的值； (2)线段、、、是成比例线段吗？ 【答案】(1)， (2)是 【分析】（1）根据已知，代入求和的值即可； （2）根据计算，得，可以判定线段、、、是成比例线段． 本题考查了比的计算，成比例线段的判定，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，，． ∴，． （2）解：∵，， ∴， ∴线段、、、是成比例线段． 1.（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 2．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边． 【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平行于， ∴，，，， 在中，，即：，解得：，（舍）， 故选：D． 3．（2025·广东深圳·一模）数学家定义：若点把线段分成两部分，满足，则点为线段的白银分割点．已知点是线段的白银分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，理解白银分割点的定义是解题关键．根据白银分割点的定义得到，即可求出的长． 【详解】解：点是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】2016 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设，，，得出，，，根据，得出，将化简为即可得出答案． 【详解】解：设，，， 则， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2016． 5．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若，记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的和为 ．    【答案】 【分析】根据H是的黄金分割点求出，求出，，得到，再求出小正方形的边长，求出正方形的面积，再得出答案即可． 【详解】解：∵H是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∵，点E是线段的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴与的和为 故填． 【点睛】此题综合运用正方形的性质和勾股定理求得线段的长，然后求得线段之间的比，根据黄金分割的概念进行判断． 6．（2025·青海海东·一模）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 1．（2025·四川成都·三模）如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质以及概率公式，设，由黄金分割点的定义得，，再由概率公式和正方形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得：四边形为正方形， 设， ∵点E是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知，其中，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，根据条件，令是解决问题的关键． 根据条件，令，从而得到，从而得到，根据解得，从而可得的值． 【详解】解： ， 令，则， ， ， ，即， ． 故答案为：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 成比例线段 1．（24-25九年级上·广西来宾·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）若a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西运城·期中）若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·山东淄博·期中）若线段，且点C是的黄金分割点，则等于（   ） A． B． C． D．或 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知两个数2、8，则2和8的比例中项为（   ） A．2 B． C． D．4 8．（2025·江苏盐城·二模）如果，那么 ． 9．（2025·湖南怀化·二模）鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 10．（24-25七年级下·河南·自主招生）《周髀算经》是中国古代数学著作，其中记载：“勾广三，股修四，径隅五”，意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，斜边（即最长的边）为5（弦），后人简单地把这个事实说成“勾3股4弦5”．已知一个直角三角形三条边的长度比是3：4：5，且斜边的长度是，则这个直角三角形的面积是 ． 11．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E 为线段的黄金分割点，，则的长为 cm．(结果保留根号) 12．（2025·四川达州·二模）如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为 米． 13．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形和矩形，，，，． (1)求和的值； (2)线段、、、是成比例线段吗？ 1.（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·一模）数学家定义：若点把线段分成两部分，满足，则点为线段的白银分割点．已知点是线段的白银分割点，且，则 ． 4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 5．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若，记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的和为 ．    6．（2025·青海海东·一模）【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 1．（2025·四川成都·三模）如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则 ． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知，其中，则的值为 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$