专项练习(三)角的平分线-【专项训练】2026-2027学年八年级上册数学——全等三角形（人教版·新教材）

·全等三角形 专项练习（三）角的平分线 g分类一作已知角的角平分线 1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是 () A C M B A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC 于点D,E,再分别以点D,E为圆心，大于】DE的长为半径画弧，两弧交于点F,作射 线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是 () A E B A.1 B.3 C.2 D. 3.作出下面角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹) a 4.如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离 相等，并且到河流与公路的交叉点A处的距离为1.5cm（指图上距离)的地方，则图中工 厂的位置应选在哪里？并说明理由· 公 论 路 M区 31 数学专项训练。 分类二角的平分线的性质 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,若BC=32,且BD:CD= 9:7,则点D到AB边的距离为 () A.18 B.16 C.14 D.12 2.如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,求PQ 的最小值. M P 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,D是BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点 F.求证：∠B=∠C. E 4.如图，已知点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC,C0⊥AB,垂足分别为D,E.求证： OB=OC. E D 32 ·全等三角形 5.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC= 70°，求∠B0C的度数. o B 0 )分类三角的平分线的判定 1.如图，D为∠ABC内部一点，且到∠ABC两边的距离相等，连接BD.若∠DBC=25°，则 ∠ABC的度数为 () 。D A.25° B.45° C.50° D.60° 2.如图，BE=CF,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且∠C+∠ABD=180°. 求证：AD平分∠BAC. B 3.已知：如图，CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD相交于点O,OB=OC 求证：∠1=∠2. 12 33 数学专项训练 4.如图，已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD交BE于点O. (1)若OC=OB,求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB. EA 0 5.如图，四边形ABCD中，AD=AB,∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB. D B 6.如图，OP是∠MON的平分线，OA=OB,点C在OP上，连接AC,BC,分别过点D作 AC,BC的垂线DE,DF,垂足是E,F. 求证：(1)AC=BC; (2)DE=DF. A E D 0 342.AD=A'D'；△ABC≌△A'B'C CAD=A'D' 证明：∠C=∠C'=90。,又 AC=A'C', ∴.Rt△ADC≌Rt△A'D'C(HL), .CD=C'D'. :AD与A'D'分别为BC与B'C边上的中线， .点D和点D'分别是BC与B'C的中点， .BC=2CD,B'C'=2C'D', .BC=B'C', AC=A'C', 在△ABC和△A'B'C'中， ∠C=∠C, BC=B'C', ∴.△ABC≌△A'B'C(SAS). 3.情况一：添加的条件是∠A=∠C, 证明：AE=CF, .∴.AE+EF=CF+EF, 即AF=CE. ∠A=∠C, 在△ADF和△CBE中，了AF=CE, ∠AFD=∠CEB, .∴.△ADF≌△CBE(ASA). 情况二：添加的条件是DF=BE, 证明：在△ADF和△CBE中， DF=BE, ∠AFD=∠CEB, AF=CE, .△ADF≌△CBE(SAS)· 情况三：添加的条件是∠D=∠B, 证明：在△ADF和△CBE中， T∠D=∠B, ∠AFD=∠CEB, AF=CE, .△ADF≌△CBE(AAS). 专项练习（三) 角的平分线 }分类一 作已知角的角平分线 1.A 【解析】已知角平分线的作图方法为：以0为 圆心，任意长为半径画弧，分别交AO,B0于 点N和M,再分别以N,M为圆心，大于号MN 的长为半径画弧，两弧交于点C,连接OC并延 。。全等三角形 长，即可得∠AOB的平分线.故ON=OM,NC= MC,OC=OC.在△ONC和△OMC中， CON=OM, NC=MC, (0C=0C, .△ONC≌△OMC(SSS), .∠AOC=∠BOC.故选A. 2.C 【解析】过点G作GH⊥AC于点H(图略)， 则∠AHG=∠B=90°. 由作图，可知AF平分∠BAC, 角平分线上的点到角的两边的距离相等， .HG=BG=1.又AC=4,.△ACG的面积为 子AC~iC=7x4x1-2故选C 1 3 B 4.解：工厂的位置应选在∠A的平分线上，且距 点A1.5cm处.理由：角的内部到角的两边的距 离相等的点在角的平分线上 三)分类二 角的平分线的性质 1.C 2.解：过P作PE⊥OM于点E,当Q与E重合 时，PQ最小，PE⊥OM,PA⊥ON,OP平分 ∠MOW,.PE=PA=2,即PQ的最小值是2. 3.证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF,∠BED=∠CFD=90°. D是BC的中点， .BD=CD. CBD=CD, 在Rt△BDE和Rt△CDF中， DE DF, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴.∠B=∠C. 4.证明：：点O在∠BAC的平分线上，B0⊥AC, C0⊥AB,∴.OE=OD,∠BE0=∠CD0=90°， ∠BEO=∠CDO, 在△BE0和△CD0中， OE=OD, ∠EOB=∠DOC, 43 数学专项训练… .△BE0≌△CD0(ASA),.OB=OC. 5.解：0F=0D=0E, ·.OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB, ∠BAC=70°， .∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， .∠OBC+∠OCB=1(LABC+∠ACB)= 2 ×110°=55°， 2 .∴.∠B0C=180°-（∠OBC+∠0CB)=180° 55°=125 )分类三 角的平分线的判定 1.C 【解析】：D到∠ABC两边的距离相等，.BD 是∠ABC的平分线，.∠ABD=∠DBC=25° .∠ABC=∠ABD+∠DBC=25°+25· 50°.故选C. 2.证明：∠EBD+∠ABD=180°， ∠C+∠ABD=180°， ∴∠EBD=∠C. DE⊥AB,DF⊥AC, .∠E=∠CFD=90°. C∠EBD=∠C, 在△BED和△CFD中， BE=CD, ∠E=∠CFD, ∴.△BED≌△CFD(ASA), .DE=DF. .AD平分∠BAC. 3.证明：在△BOD和△C0E中， ∠ODB=∠OEC=90°， ∠BOD=∠COE, OB=OC, .△BOD≌△COE(AAS), 0D=0E. 又OD⊥AB,OE⊥AC, .A0平分∠BAC,.∠1=∠2. 4.证明：(1)CD⊥AB,BE⊥AC. ∴∠CE0=∠BD0=90° 在△CEO和△BD0中， ∠CEO=∠BDO, ∠EOC=∠DOB, OC =0B .△CE0≌△BD0(AAS),∴.E0=DO. .点O在∠BAC的平分线上 (2):点O在∠BAC的平分线上，且 BE⊥AC,CD⊥AB, ∴.∠CE0=∠BD0=90°，E0=D0 ∠CEO=∠BDO, 在△CE0和△BD0中， E0=D0, ∠COE=∠BOD, ∴.△CE0≌△BD0(ASA),.OC=OB. 5.证明：过点A分别作AN⊥BC,AM⊥CD的延 长线，垂足为N,M M 3 2 C 在四边形ABCD中，∠DAB+∠1+∠BCD+∠2= 360°， 又∠DAB+∠BCD=180°，.∠1+∠2= 180°，又∠2+∠3=180°，.∠1=∠3， .·AN⊥BC,AM⊥CD, ∴.∠ANB=∠AMD=90° ∠1=∠3， 在△ABN和△ADM中 ∠ANB=∠AMD=90°， AB=AD .△ABN≌△ADM(AAS),.AN=AM .点A在∠BCD的平分线上，即CA平分∠BCD. 6.证明：（1)：0P是∠MON的平分线， ∴.∠AOC=∠B0C. 在△AOC和△B0C中， COA=OB ∠AOC=∠B0C, 0C=0C, ∴.∠AOC≌∠BOC(SAS), .∴.AG=BC (2)由(1)可知∠AC0=∠BC0, ∴.∠ACD=∠BCD, .CD是∠ACB的平分线， DE⊥AC,DF⊥BC, .DE DF. 综合练习 1.A2.A3.A4.B5.B6.C7.A8.B 9.D10.A11.12612.413.4014.6 15.a+b=0 16.证明：BF=EC, .∴.BF+FC=EC+FC, 即BC=EF CAB=DE, 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E, BC=EF, .△ABC≌DEF(SAS), ∴.∠ACB=∠DFE, .AC∥DF 17.证明：AD∥BC,.∠OAE=∠OCF. :0是AC的中点，∴.OA=OC 厂∠OAE=∠OCF, 在△A0E和△C0F中，了OA=0C, ∠AOE=∠COF, .△AOE≌△COF(ASA), ∴.OE=OF,AE=CF 又AC⊥EF, .∠A0F=∠A0E=90°， A0=A0, 在△AOF和△AOE中 ∠AOF=∠AOE F0=E0, .△AOF≌△AOE(SAS)· ..AE=AF. 18.解：（1)角的两边；角的平分线上； （2)PE;平分线； (3)证明：如图，作射线OP D 0 ·全等三角形 PD⊥AO,PE⊥OB, .∠PD0=∠PE0=90°， COP=OP, 在Rt△OPD和Rt△OPE中， PD=PE, .Rt△OPD≌Rt△OPE(HL), ∴.∠DOP=∠EOP, .OP是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的 平分线上 (4)如图，M,N,G,H即为所求， 故答案为4. 19.解：：AD⊥CE,BE⊥CE, ∴.∠ADC=∠CEB=90°. .·ACB=90°， ∴.∠ACD+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90°， ∴.∠ACD=∠CBE, ∠ADC=∠CEB, 在△ACD与△CBE中， ∠ACD=∠CBE, AC=BC, .△ACD≌△CBE（AAS), .CD BE=3,AD CE, .CE=CD+DE=3+5=8, ∴.AD=8, Sa=7CE:AD=方×8x8=2 20.（1)证明：D是BC的中点，.BD=CD. BD =CD, 在△ABD与△ECD中， ∠ADB=∠EDC, AD=ED. .∴△ABD≌△ECD(SAS). (2)解：在△ABC中，D是边BC的中点， ∴.S△ABD=S△ADC 由(1)知△ABD≌△ECD, .S△ABD=S△EcD. S△A8D=5. 45》