14.3 角的平分线-【专项训练】2026-2027学年八年级上册数学——全等三角形（人教版·新教材）

数学专项训练。 14.3 角的平分线 基础解读 知识点1尺规作图—角的平分线的作法 【解析】钝角∠AOB的平分线的作法： 用直尺和圆规作已知角的平分线的步骤： (1)以，点0为圆心，适当长为半径画 已知：∠AOB. 弧，交OA于点M,交OB于点N; 求作：∠AOB的平分线 (2)分别以点M,N为圆心，大于1 作法：(1)以点0为圆心，适当长为半 MN的长为半径画孤，两孤在∠AOB的内条 径画弧，交OA于点M,交OB于点N. 交于点C: (3)画射线OC.射线OC即为所求，如 (2)分别以点M,N为圆心，大于之MN 图①所示 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相 用同样的作法作平角的平分线如图② 交于点C 所示· (3)画射线OC.射线OC即为所求（如图）. 【答案】 4 ① ② 注意： 知识点2角的平分线的性质 (1)在作角的平分线时，一般以大于 1.性质：角的平分线上的点到角两边的距 之MN的长为半径作弧，以等于M 离相等.如下图，若OP平分∠AOB（或 的长为半径作弧时交点不明显，以小于 ∠AOP=∠BOP),且PD⊥AO,PE⊥ 子MN的长为半径作弧时无交点。 OB,垂足分别为D,E,则PD=PE. (2)作法中“以适当的长为半径画弧” 是要求以美观、大方为原则，不宜太长 或太短 (3)在作法中“画射线OC”不能叙述 注意： 为“连接OC”，因为角的平分线是射线 点到角的两边的距离指的是点到角的两边 而不是线段. 的垂线段的长度. (4)尺规作图要保留作图痕迹，并且要 2.说明：该性质的证明是通过三角形全等 有结论.如：射线OC即为所求 得到的，它可以独立作为证明两条线段相 例1分别画出已知钝角和平角的平分线. 等的依据. 例2如图，在Rt△ABC中，∠A=90°， ∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3, BC=10,求△DBC的面积. 16 ·全等三角形 【解析】先根据已知条件求出△BED≌ D △CFD(AAS),即可推出BE=CF. 【答案】证明：，AD为△ABC的BC边 上的中线，∴.BD=CD 【解析】作DE⊥BC于点E,由BD是 BE⊥AD交AD的延长线于点E, ∠ABC的平分线，知DE=AD=3,再由三角 CF⊥AD,∴.∠E=∠CFD=90°. 形的面积公式可求出△BCD的面积. 在△BED和△CFD中， 【答案】如图，作DE⊥BC于点E, ∠E=∠CFD, .BD是∠ABC的平分线，∠A=90° ∠BDE=∠CDF, ∴.DE=AD=3. BD=CD, 又BC=10, ∴.△BED≌△CFD(AAS), S=号×3×10=15. ∴.BE=CF 2 知识点4角的平分线的判定 D 判定：角的内部到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上.如图，若PD⊥AO, PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD= PE,则点P在∠AOB的平分线上. 知识点3证明几何命题的一般步骤 证明一个用文字叙述的几何命题的一般 步骤： （1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用符号表 注意： 示已知和求证； 该判定的前提是这个点必须在角的内部， (3)经过分析，找出由已知推出要证的 因为通过作图可以发现，角的外部也存在 结论的途径，然后写出证明过程 到角的两边距离相等的点，但是这些点不 例3求证：三角形的一边的两端点到这条 在角的平分线上.因为角的平分线是一条 边上的中线所在直线的距离相等 射线，角的外部的那些到角的两边的距离 已知：如图所示，AD为△ABC的BC边 相等的点不在角的平分线上· 上的中线，且CF⊥AD于点F,BE⊥AD交 (1)条件PD⊥AO,PE⊥OB都应具备. AD的延长线于点E,求证：BE=CF, 性质入 (2)点在角的平分线上〈 点到角 的两边的距离相等 (3)角的平分线的性质反映的是只要是 角的平分线上的点到角的两边的距离就一 定相等，无一例外；角的平分线的判定反 数学专项训练。 映的是在角的内部且到角的两边距离相等DE=DF,问题就可以解决，因此先证DE= 的点，无一例外都在角的平分线上 DF. 例4已知：如图所示，BE=CF,BF⊥AC 【答案】证明：，BF⊥AC,CE⊥AB, 于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D ∴.∠DEB=∠DFC=90°. 在△BDE和△CDF中， 求证：AD平分∠BAC. ∠DEB=∠DFC, ∠BDE=∠CDF, BE=CF, .△BDE≌△CDF(AAS), .DE DF, 【解析】要证AD平分∠BAC,只要证得 ∴.AD平分∠BAC 提分训练 意训练点]尺规作图—角的平分线的作法 D.a≥0，b<2D5的长 1.如图①，已知∠ABC,用尺规作它的角平 【关注过程】以B为圆心画弧时，半径 分线.如图②，步骤如下： a必须大于0；分别以D,E为圆心，以b为 第一步：以B为圆心，以a为半径画 半径画弧时，b必须大于1DE的长，否则没 弧，分别交射线BA,BC于点D,E; 有交点.故选B. 第二步：分别以D,E为圆心，以b为 【学会总结】在作角的平分线时，一般 半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P; 第三步：画射线BP.射线BP即为所 以大于子DE的长为半径作弧 求.下列正确的是 2.线段AB与射线AP有一公共端点A.（完成 下列作图，不要求写作法，保留作图痕迹) B ① (1)用直尺和圆规作出∠BAP的平分线 AC 第一步 第二步 第三步 ② (2)用圆规在射线AP上截取线段AD= AB,连接BD A.a,b均无限制 （3)用直尺和圆规在BD右侧作出以点 B.a>0,b>1DE的长 B为顶点的∠DBQ,使∠DBQ=∠BDA,且 C.a有最小限制，b无限制 BQ与AC相交于点Q. ·全等三角形 【关注过程】 【学会总结】点到直线的距离最短，利 (1)射线AC为所求. 用角平分线的性质可知CG=GH=1 (2)作AD=AB,连接BD为所求 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是 (3)作∠DBQ=∠BDA,且BQ与AC△ABC的角平分线，BC=10cm,BD:DC= 相交于点Q.∠DBQ为所求. 3:2,则点D到AB的距离为 F M 【学会总结】根据题意要求及角的平分 B D C 线的作图步骤做图即可， 【关注过程】，BC=10cm, BD:DC=3:2, 训练点2角的平分线的性质 :DC=10×2=4(cm）. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用 3+2 尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE= .·AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°， BD;分别以D,E为圆心、以大于之DE的 .点D到AB的距离等于DC的长，即点D 到AB的距离等于4cm. 长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F; 【学会总结】利用角平分线上的点到角 作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB 两边的距离相等可知DC的距离等于点D到 上一动点，则GP的最小值为 AB的距离 5.如图所示，在四边形ABCD中，BC>BA, AD=DC,BD平分∠ABC,试猜想∠BAD与 ∠DCB有什么关系？请说明理由. A.无法确定 B C.1 D.2 B 【关注过程】如图，过点G作GH上AB 于点H.由题意可知，BG平分∠ABC. 【关注过程】解：∠BAD+DCB=180°， .·GH⊥BA,GC⊥BC, 理由如下：如图，过点D分别作DE⊥BA, ∴.GH=GC=1. 交BA的延长线于点E,作DF⊥BC,交BC 根据垂线段最短可知，GP的最小值为1.故 于点F 选C. .BD平分∠ABC,∴.DE=DF 在Rt△AED和R△CFD中，DE=DF, 「AD=CD, ∴.Rt△AED≌Rt△CFD(HL), .∠DCB=∠DAE. 19 数学专项训练。 .∠BAD+∠DAE=180°， 训练点3证明几何命题的一般步骤 ∴.∠BAD+∠DCB=180° 7.如图，已知∠A=∠ABC,∠D=∠CBD, ∠ABD=∠CBD,点E在BC的延长线上. 求证：CD平分∠ACE. D 【学会总结】本题是运用角平分线的性 质证明角的和差问题，关键是作辅助线构造 【关注过程】证明：·∠D=∠CBD, 全等三角形 ∠ABD=∠CBD,.∠D=∠ABD, 6.如图所示，在△ABC中，AB=AC .AB∥CD (1)尺规作图：过点A作△ABC的角 .∠ABC=∠DCE,∠A=∠ACD 平分线AD(不写作法，保留作图痕迹)： 又∠A=∠ABC,∴.∠ACD=∠DCE, (2)在AD上任取一点E,连接BE, ∴.CD平分∠ACE CE.求证：∠ABE=∠ACE 【学会总结】本题解题的关键是熟练掌 握、应用平行线的判定定理和性质定理 8.如图，给出五个等量关系： ①AD=BC;②AC=BD;③CE=DE; ④LD=∠C;⑤LDAB=∠CBA B D 【关注过程】(1)如图所示， B 请你以其中两个为条件，另外三个中的 个为结论，推出一个正确的结论（只需写 出一种情况)，并加以证明. 已知： (2)证明：：AD是△ABC的角平分线 求证： ∴.∠BAD=∠CAD. 证明： 在△ABE和△ACE中， 【关注过程】选择由①②推出④，理由 CAB=AC, 是根据SSS证△DAB≌△CBA,推出④. ∠BAE=∠CAE, 已知：AD=BC,AC=BD. AE=AE, 求证：∠D=∠C. ∴.△ABE≌ACE(SAS), 证明：在△DAB和△CBA中， ∴.∠ABE=∠ACE. AD=BC, 【学会总结】熟练掌握角平分线的画法 BD=AC, 和性质解决问题。 .AB=AB, 20 。全等三角形 ∴.△DAB≌△CBA(SSS), .∠D=∠C 即由条件①②能推出结论④ 【学会总结】本题考查了全等三角形的 性质和判定，灵活运用全等三角形的性质进 EM 行推理即可. 【学会总结】本题考查等腰三角形的性质、 9.如图，BD和CD分别平分△ABC的内角 ∠EBA和外角∠ECA,BD交AC于点F,连 角平分线的性质定理和判定定理、平行线的 接AD 判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅 (1)求证：AD平分∠GAC; 助线，灵活运用角平分线的判定和性质定理 (2)若AB=AD,请判断△ABC的形状，并 解决问题， 证明你的结论 训练点4角的平分线的判定 10.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一 点，且点O到△ABC三边的距离相等，若 ∠A=70°，则∠BOC的度数为() E 【关注过程】(1)证明：如图，过点D 作DN⊥BA延长线，DK⊥AC,DM⊥BC延 长线，垂足分别为点N、K、M B .·BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA, A.35° B.125° C.55°D.135 DN⊥BA,DK⊥AC,DM⊥BC 【关注过程】·.∠A=70° ∴.DM=DN=DK, .∴.∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， ∴.AD平分∠GAC. .点O到△ABC三边的距离相等， (2)△ABC是等腰三角形， .B0平分∠ABC,CO平分∠ACB, 证明：AB=AD, .∠ABD=∠ADB. :.∠OBC+LOCB=L(∠ABC+∠ACB)= .:BD平分∠ABC, 55°，∴.∠B0C=180-55°=125°. ∴.∠ABD=∠CBD, 故选B. ∴.∠ADB=∠CBD, 【学会总结】掌握在角的内部，到一个 .AD∥BC, 角的两边的距离相等的点在角的平分线上· ..∠GAD=∠ABC,∠DAC=∠ACB. 11.已知，如图，OC是∠AOB内部的一条 .AD平分∠GAC, 射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA, ∴.∠GAD=∠CAD, PE⊥OB,下列条件中：①∠AOC=∠BOC, ∴.∠ABC=∠ACB, ②PD=PE,③OD=OE,④LDPO=∠EPO, ∴.△ABC是等腰三角形， 能判定OC是∠AOB的平分线的有() 21 数学专项训练… ∴.△BDE与△CDF是直角三角形. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， CBE=CF, BD=CD, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ⊙ ∴.DE=DF, A.1个 B.2个C.3个 D.4个 ·.AD是∠BAC的平分线， 【关注过程】.∠AOC=∠BOC, ∴.点D在∠BAC的平分线上 .OC是∠AOB的平分线，①符合题意； 【学会总结】证明AD是∠BAC的平分 PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, 线，只需证明点D到∠BAC两边的距离相等 ∴.OC是∠AOB的平分线，②符合题意； 即可 在Rt△POD和Rt△POE中， 13.如图，C是∠AOB内部的一条射线OM 「0D=OE, 上一点，D,E分别在边OA,OB上.CD= OP=OP, CE,∠ODC+∠OEC=180°. ∴.Rt△POD≌Rt△POE(HL), 求证：∠AOM=∠BOM. ∴.∠AOC=∠B0C, ∴.OC是∠AOB的角平分线，③符合题意； D .∠DPO=∠EPO,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴.在△POD和△POE中， E B T∠DPO=∠EPO, 【关注过程】证明：如图，过点C作 ∠PD0=∠PEO, CF⊥OA于点F,CG⊥OB于点G OP=OP, ∴.∠CFD=∠CGE=90°， ∴.△POD≌△POE（AAS), ∠ODC+∠0EC=180°， .∴.∠AOC=∠B0C, 又∠ODC+∠CDF=180°， .OC是∠AOB的平分线，④符合题意. ∴.∠CDF=∠CEG. 故选D. T∠CFD=∠CGE, 【学会总结】根据角平分线的性质角平 在△CDF与△CEG中， ∠CDF=∠CEG, 分线上的点到角两边的距离相等，全等三角 CD=CE, 形的判定定理和性质定理判断即可 ∴.△CDF≌△CEG(AAS),∴.CF=CG 12.如图，BE=CF,DE⊥AB的延长线于 又CF⊥OA,CG⊥OB, 点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC.求证： .OM平分∠AOB, 点D在∠BAC的平分线上 .∴.∠AOM=∠BOM. M 【关注过程】证明：DE上AB的延长 0 GE B 线于点E,DF⊥AC于点F, 【学会总结】见到求邻角相等，就想角 .∠BED=∠CFD=90°， 平分线的判定.