14.2 三角形全等的判定-【专项训练】2026-2027学年八年级上册数学——全等三角形（人教版·新教材）

·全等三角形 14.2 三角形全等的判定 基础解读： 知识点1边角边(SAS) 在△DAF和△CBE中， 1.基本事实：两边和它们的夹角分别相等的 AD=BC, 两个三角形全等（可以简写成“边角边” ∠A=B, 或“SAS”) AF=BE, 注意：用“边角边”这个基本事实判定两 ·.△DAF≌△CBE(SAS), 个三角形全等时，要注意其中的“角” .DF=CE 定是两组对应边的夹角.如果是两个三角 知识点2角边角(ASA) 形的两边及其中一边的对角分别相等，这： 1.基本事实：两角和它们的夹边分别相等的 两个三角形不一定全等，即不能用“SSA” 两个三角形全等（可以简写成“角边角” 来证明两个三角形全等. 或“ASA”).注意：“角边角”中的 2.书写格式：如图，在△ABC和△DEF中， “边”指的是两组对应角所夹的边. CAB=DE, 2.书写格式：如图，在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E, 「∠A=∠D, BC EF, AB=DE, .△ABC≌△DEF(SAS) ∠B=∠E, ·.△ABC≌△DEF（ASA). 注意：在书写两个三角形全等的条件（边 角边)时，一般按“边→角→边”的顺序 注意：在书写两个三角形全等时，一般 来写，即把夹角写在中间，以突出两边及 要把夹边写在中间，以突出两角及其夹 其夹角分别相等. 边分别相等， 例①如图所示，已知E,F是线段AB上 的点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B.求 例2如图所示，已知点E,C在线段BF上， BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F 证：DF=CE. 求证：△ABC≌△DEF 【解析】本题直接给出了一边和一角分 别相等，因此再证出另一边（即AF=BE) B E C 相等即可利用“SAS”证两个三角形全等， 【解析】根据AB∥DE,可以找到一 进而推出对应边相等. 组相等的角，即∠B=∠DEF;根据BE= 【答案】证明：AE=BF, CF,可推出BC=EF;又∠ACB=∠F.可 .AE EF=BF+FE, 推出△ABC≌△DEF 即AF=BE. 【答案】证明：：AB∥DE, 数学专项训练 .∴.∠B=∠DEF ∠A=∠F, BE=CF, ∠ACB=∠FEC, .BE+EC=CF+EC,即BC=EF BC=CE, ∠B=∠DEF, .△ABC≌△FCE(AAS), 在△ABC和△DEF中， BC =EF, ∴.AB=FC ∠ACB=∠F, 知识点4边边边(SSS) ∴.△ABC≌DEF（ASA). 1,能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形， 知识点3角角边(AAS) 全等三角形的对应边相等，对应角相等.因 1.定理：两角分别相等且其中一组等角的对 此三条边分别相等，三个角也分别相等的 边相等的两个三角形全等（可以简写成： 两个三角形全等. “角角边”或“AAS”). !2.基本事实：三边分别相等的两个三角形全 注意：相等的“边”指的是一组对应角的 等（可以简写成“边边边”或“SSS”) 对边. 注意：这个基本事实告诉我们：当三角形 2.书写格式：如图，在△ABC和△DEF中， 三条边的长度确定后，这个三角形的形 状、大小也随之确定. LA=∠D 3.书写格式： ∠B=E, 如下图，在△ABC和△DEF中， BC=EF, ·.△ABC≌△DEF(AAS) CAB=DE, D AC=DF, BC=EF, B E .·△ABC≌△DEF(SSS), 例3如图所示，在△ABC中，∠ACB=90° CD⊥AB于点D,点E在AC上，CE=BC, 过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点 F.求证：AB=FC 注意：（1)在书写两个三角形全等时， 对应顶点放在对应位置. (2)在列举两个三角形全等的条件时， 应把三个条件按顺序排列（一般是把同 一个三角形的三个条件放在等号的同一 【解析】利用已知条件寻找边相等的条！ 侧)，并用大括号将其括起来 件，进而得到三角形全等，再利用全等三角4.有些题目可以直接从已知条件中找出全 形的性质得到AB=FC 等的条件，而有些题目的已知条件是隐 【答案】证明：：EF⊥AC, 含在图形之中的.常见的隐含条件如下： ∠ACB=90°， （1)公共边或公共角相等； ∴.∠FEC=∠ACB=90°，∠F+∠ECF= (2)对顶角相等； 90° (3)等边加（或减）等边，其和（或差） 又CD⊥AB,.∠A+∠ECF=90°， 仍相等； .∠A=∠F (4)等角加（或减）等角，其和（或差） 在△ABC和△FCE中， 仍相等； ·全等三角形 (5)同角或等角的余（补）角相等； ∠AOB. (6)一些自然规律如“太阳光线可看成 B 是平行的”“光的反射角等于入射角”等. 5.在证明两个三角形全等时，如果已知两组 IC A CA 对应边分别相等，那么就要根据题意去找 ① ② 第三组对应边相等或两组对应边的夹角相 例5 如图，过点C作直线DE,使DE∥AB. 等，利用“SSS”或“SAS”来证明两个三 A B 角形全等. 例A如图，AB=DC,AF=DE,BE=CF, 。C B,E,F,C在同一直线上 【解析】由平行线的判定知内错角（同 求证：△ABF≌△DCE. 位角)相等，两直线平行，故可先构造一个 角，然后作一个角等于这个角.注意：作图 时要保留作图痕迹，作一个角等于已知角的 依据是“SSS”. 【答案】作法如下： 【解析】要证明△ABF≌△DCE,可证 (1)过点C作直线MN与AB相交，交 明这两个三角形的三边对应相等，题目提供 点为F; 的条件中“AB=DC,AF=DE”恰好是两组 （2)在直线MN的右侧作∠FCE,使 对应相等的边，我们只需再证明BF=CE! ∠FCE=∠AFC（作角相等的方法同例1)； 即可. (3)反向延长CE,则直线DE即为所 【答案】证明：，BE=CF, 求（如图). M ·.BE+EF=CF+EF,即BF=CE. B AB=DC, 在△ABF和△DCE中， AF=DE, BF=CE, ∴.△ABF≌△DCE(SSS) 知识点6斜边、直角边(HL) 知识点5尺规作角 1.定理：斜边和一直角边分别相等的两个直 用直尺和圆规作一个角等于已知角 角三角形全等（可以简写成“斜边、直角 已知：∠AOB.求作：∠A'OB,使∠A'OB= 边”或“HL”). ∠AOB. :2.书写格式：如图，在Rt△ABC和 作法： Rt△DEF中， (1)如下图，以点0为圆心，任意长为 了AB=DE, 半径画弧，分别交OA,OB于点C,D; LAC=DF, (2)画一条射线O'A',以点O'为圆心， ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). OC长为半径画弧，交O'A'于点C'; D (3)以点C为圆心，CD长为半径画 弧，与②中所画的弧相交于点D'; (4)过点D'画射线OB',则∠A'OB'= 注意：“HL”只适用于判定两个直角三 数学专项训练。 角形全等，对一般三角形并不适用，因 此在使用“HL”的过程中，要先确定两 个三角形为直角三角形，书写时必须在： C D 两个三角形前面加上“Rt” 【解析】本题考查了全等三角形的判 说明：在解决两个直角三角形全等的问 定与性质，解决本题的关键是利用L证明 题时，不能认为只有“HL”一种判定方 Rt△ABC≌Rt△BAD.然后根据全等三角 法，前面判定一般三角形全等的四种方 、 形的性质得出∠ABC=∠BAD,∠CAB= 法都可以在直角三角形中使用， ∠DBA,进而根据三角形三角关系求出∠CAO 3.判定两个直角三角形全等的关键是看已知 的度数」 条件的特点，概括起来有以下几种情况：： 【答案】(1)证明： (1)有一条直角边和斜边分别相等，用 .'∠D=∠C=90° “HL”判定其全等；(2)有两条直角边分 ∴.△ABC和△BAD都是直角三角形 别相等，用“SAS”判定其全等；（3)有 在Rt△ABC和Rt△BAD中， 一个锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定 BC=AD. 其全等；(4)有一个锐角和一条直角边分 AB=BA, 别相等，用“ASA”或“AAS”判定其全等. ∴.Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). 例6如图，已知AD,BC相交于点O.AD= (2)由（1)知Rt△ABC≌Rt△BAD, BC,∠C=∠D=90°. ∴.∠BAD=∠ABC=35°. (1)求证：△ABC≌△BAD; 又∠C=90°， (2)若∠ABC=35·,求∠CA0的 ∴.∠BAC=55°， 度数 .∠CAO=∠CAB-∠BAD=20°. 知识点7判定两个三角形全等常用的方法 已知对应相等的 可选择的 类别 元素 判定方法 需寻找的条件 两边(SS) SAS或SSS 两边的夹角对应相等或第三边对应相等 边及其邻角 SAS或ASA或 已知角的另一邻边对应相等或已知边的另 锐角三角形或 (SA) AAS 邻角对应相等或已知边的对角对应相等 钝角三角形 两角的夹边对应相等或相等一角 两角(AA) ASA或AAS 的对边对应相等 直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角 一锐角(A) ASA或AAS (或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL或AAS 条直角边对应相等或一锐角对应相等 直角三角形 斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应 HL或ASA或 直角边(L) 相等或已知边所对的锐角对应相等或另 AAS或SAS 直角边对应相等 。全等三角形 例7如图，已知∠ABC=∠DCB,若添加！是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会 条件 则可由AAS证明△ABC≌ 添加常用辅助线，构造全都三角形解决问题. △DCB. 画出图形，结合图形写出已知、求证， 若添加条件 则可由SAS证明！然后证明即可. △ABC≌△DCB. 过，点A作AD⊥BC于点D,过点A'作 若添加条件 则可由ASA证明！AD⊥BC于点D,先证明△ACD≌△A'CD', △ABC≌△DCB. 得到AD=AD'.再证明Rt△ABD≌Rt△A'BD, 得到∠B=∠B,最后证明△ABC≌△A'B'C 即可 B 【答案】已知：如图，在锐角三角形 【解析】要运用“AAS”判定△ABC≌ABC和锐角三角形A'BC中，AB=A'B,AC= △DCB,已知条件中已经有了∠ABC=:A'C',∠C=∠C'.求证：△ABC≌△A'BC'. ∠DCB,BC=CB,即一角一边的条件，由 “AAS”的特点，再找到BC和CB所对的角 相等即可，即∠A=∠D. 要运用“SAS”判定△ABC≌△DCB, 已知条件中已经有了∠ABC=∠DCB,BC= 证明：过点A作AD⊥BC于点D,过点 CB,即一角一边的条件，由“SAS”的特点， A'作A'D'⊥B'C于点D' 再找到∠ABC,∠DCB的另外一边相等即： ∴.∠ADC=∠A'D'C=∠ADB= 可，即AB=DC. ∠A'D'B'=90° 要运用“ASA”判定△ABC≌△DCB, 在△ACD和△A'C'D'中， 已知条件中已经有了∠ABC=∠DCB,BC= ∠C=∠C, CB,即一角一边的条件，只要再找到图形中 ∠ADC=∠A'D'C, 以BC,CB为边的另外一组角相等即可，即 AC=A'C', ∠ACB=∠DBC. .△ACD≌△A'CD'(AAS), 【答案】∠A=∠D,AB=DC,∠ACB= ∴.AD=A'D ∠DBC 在Rt△ABD和Rt△A'BD'中， 例8求证：两边分别相等且其中一组等边 AB=AB, 的对角相等的两个锐角三角形全等.（要 AD=A'D', 求：根据题意写出已知、求证，并证明) .Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL), ∴.∠B=∠B 在△ABC和△A'BC'中， T∠C=∠C, B ∠B=∠B', 【解析】本题考查了三角形综合题、全 AC=A'C', 等三角形的判定和性质等知识，解题的关健 ∴.△ABC≌△A'B'C'（AAS). 11 数学专项训练。 提分训练 训练点1边角边(SAS) 【关注过程】(1)证明：：BF=CE, 1.如图，O是线段AB的中点，OD∥BC且 ∴.BF+CF=CE+CF,即BC=EF. OD=BC. AB⊥BE,DE⊥BE, : (1)求证：△AOD≌△OBC; ∴.∠B=∠E=90°. (2)若∠AD0=35°，求∠D0C的度数. 在△ABC和△DEF中， (AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS), .'AC=DF. 【关注过程】（1)证明：，0是线段 （2)证明：由（1)知△ABC≌△DEF, AB的中点，∴.A0=OB. ∴.∠ACB=∠DFE,.FG=CG .'OD∥BC,∴.∠AOD=∠OBC 【学会总结】(1)由条件先得出BC= 在△AOD和△OBC中， EF和∠B=∠E,再根据边角边就可以 CAO=OB, 判断△ABC≌△DEF,利用全等三角形 ∠AOD=∠OBC, 的性质即可得出AC=DF;(2)利用 OD=BC, ∴.△AOD≌△OBC(SAS). △ABC≌△DEF,得出∠ACB=∠DFE,利 (2)解：由（1)知△AOD≌△OBC, 用等角对等边可证出GF=GC. ∴.∠OCB=∠AD0=35 训练点2角边角(ASA) .OD∥BC,∴.∠D0C=∠OCB=35° 3.如图，AE=CF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂 【学会总结】根据SAS可以证明足分别为E,F,∠A=∠C △AOD≌△OBC,进而求出∠DOC的度数.：求证：AB∥CD 2.已知，如图，点B,F,C,E在同一直线 D 上，AC,DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为 B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF= CE. D 【关注过程】证明：AE⊥BD, CF⊥BD, G ∴.∠AEB=∠CFD=90°. 在△AEB和△CFD中， B E T∠AEB=LCFD, 求证：(1)AC=DF; AE=CF, (2)FG=CG. ∠A=∠C, 。全等三角形 .△AEB≌△CFD(ASA), 训练点4边边边(S$s) ∴.∠B=∠D,∴.AB∥CD 5.如图，已知AD=BC,BD=AC,试说 【学会总结】根据ASA定理可以证明 明：∠ADB=∠BCA. △AEB≌△DFC,进而推出∠B=∠D,从而 得出AB∥CD 训练点3角角边(AAS) 【关注过程】证明：在△ADB和△BCA中， 4.如图，点C,E,F,B在同一直线上， AD=BC, 点A,D在BC异侧，AB∥CD,AE=DF, BD=AC, ∠A=∠D AB=BA, .△ADB≌△BCA(SSS), (1)求证：AB=DC; ∴.∠ADB=∠BCA (2)若AB=CF,∠B=40°，求∠D 【学会总结】根据SSS可证明△ADB≌ 的度数. △BCA,进而可得∠ADB=∠BCA. 训练点5斜边、直角边(HL) 6.已知：如图，点A,E,F,C在同一直线 上，AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC, 【关注过程】（1)证明：：AB∥CD, BF⊥AC,连接AB,CD,BD,BD交AC于 ∴.∠B=∠C. 点G,AB=CD ∠B=∠C, 求证：△DEG≌△BFG. 在△ABE和△DCF中，〈∠A=∠D, AE DF, ∴.△ABE≌△DCF（AAS), ∴.AB=DC. (2)解：AB=CD,AB=CF, ∴.CD=CF. 【关注过程】证明：.AE=CF, .∠C=∠B=40°， ∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE. .∠D=∠CFD=1×(180°-∠C)=70°. 2 .BF⊥AC,DE⊥AC, 【学会总结】根据AAS定理可以证明 ∴.∠BFA=∠DEC=90° △ABE≌△DCF(AAS),进而推出AB= AB=CD, DC.进而根据等边对等角及三角形内角和定 .Rt△ABF≌Rt△CDE(HL), 理求出∠D的度数. ∴.BF=DE, 13 数学专项训练。… 8.已知：两边及其夹角，线段a,c, ∠DGE=∠BGF, ∠.求作：△ABC,使BC=a,AB=c, 在△DEG和△BFG中， ∠DEG=∠BFG, BF=DE, ∠B=∠α.（用尺规作图，保留作图痕迹， .△DEG≌△BFG(AAS). 不写作法) 【学会总结】由AE=CF,证明AF=CE, 再证明Rt△ABF≌Rt△CDE,得到BF= DE,再结合已知条件证明△DEG≌△BFG, 从而可得答案。 意训练点6尺规作角 【关注过程】解：（1)首先根据一个角 7.如图，已知∠x,∠B.求作：∠AOB,使 等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的 ∠AOB=∠a-∠B.（尺规作图，保留作图 两边分别截取BC=a,AB=c,再连接AC; 痕迹，不写作法)》 (2)根据三角形全等的判定定理可得如 图所示： 【关注过程】解：作∠AOC=∠α，然 【学会总结】本题主要考查用尺规作三 后在∠AOC内部作∠BOC=∠B,即可得到 角形，关键是掌握作一个角等于已知角的 ∠AOB=∠-∠B,如下图所示，∠AOB 方法 即为所求 鲁训练点7判定两个三角形全等的常用方法 9.如图，已知AE=BF,∠AFD=∠BEC 个B A 【学会总结】此题考查的是基本作图， (1)若添加条件∠D=∠C,则AD= 利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此 BC吗？请说明理由； 题的关键.尺规作角的差，只需在大角中画 (2)若运用“ASA”判定△ADF≌△BCE, 出小角即可. 则需添加条件： 。全等三角形 (3)若运用“SAS”判定△ADF≌△BCE, 【关注过程】解：因为已知BE⊥AD, 则需添加条件： CF⊥AD,∠BDE=∠CDF,没有边的参 【关注过程】解：(1)AD=BC 与，所以不全等，可添加条件：BD=CD, 理由如下：，AE=BF, 证明如下： .AE+EF=BF+EF,即AF=BE .·BE⊥AD,CF⊥AD, T∠AFD=∠BEC, .∴.∠BED=∠CFD=90° C∠CFD=∠BED, 在△ADF和△BCE中， ∠D=∠C, AF=BE. 在△CDF和△BDE中，〈 ∠CDF=∠BDE, ∴.△ADF≌△BCE(AAS), CD=BD .△CDF≌△BDE(AAS) ∴.AD=BC (2)∠A=∠B. 【学会总结】此题主要考查全等三角形 要利用“ASA”判定△ADF≌△BCE, 的判定方法，根据现有已知的位置结合全等 的判定方法，来决定添加的条件. .'AE=BF,∠AFD=∠BEC, 11.如图，△ABC中，H是高AD,BE的交 ∴.AE+EF=BF+EF,即AF=BE.只要在 找到图形中以AF、BE为边另外一组角即可， 点，且BH=AC,求∠ABC的度数 即∠A=∠B.(AD∥CB也可以) （3)DF=CE. 要运用“SAS”判定△ADF兰△BCE, .AE=BF,∠AFD=∠BEC, D ∴.AE+EF=BF+EF,即AF=BE,由“SAS” 的特点，再找到∠AFD,∠BEC的另外一边 【关注过程】解：H是高AD,BE的 交点， 相等即可，即是DF=CE. 【学会总结】本题考查的是全等三角形 ∴.∠ADC=∠BDH=90 在Rt△ADC中，∠DAC+∠C=90°， 的判定，熟记各判定定理的内容并理解它们 在Rt△BCE中，∠CBE+∠C=90°， 的要点是解决此类题型的关键 .∠DAC=∠CBE. 10.如图，已知BE⊥AD,CF⊥AD,请判 T∠DBH=∠DAC, 断△CDF与△BDE是否全等，若全等请写出 在△BDH和△ADC中， ∠BDH=∠ADC, 证明过程，若不全等请你添加一个条件使它 BH=AC, 们全等，并写出证明过程 ∴.△BDH≌△ADC(AAS),BD=AD. ·.△ABD是等腰直角三角形， ∴.∠ABC=∠BAD=45° 【学会总结】本题的解题关键是找到全 等三角形，进而得到等腰直角三角形，从而 求出∠ABC的度数. 15