14.2 全等三角形的判定 暑假预习专项训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以全等三角形判定方法为主线，系统覆盖SSS、SAS、ASA、AAS、HL及综合应用，通过典例提炼推理技巧，构建从单一方法到综合应用的逻辑体系，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |SSS|3题（共线线段证明）|三边对应相等证全等|从基本判定到线段关系应用| |SAS|3题（角等量代换）|两边夹一角证全等|边角关系与等量代换结合| |ASA/AAS|各3题（平行得角/对顶角）|两角及夹边/对边证全等|角关系转化与判定选择| |HL|3题（直角三角形特性）|斜边直角边证直角全等|直角条件下的判定简化| |两次全等|4题（中线/角平分线）|多次全等传递等量关系|复杂图形的条件转化| |综合应用|2题（工业设计/舰艇问题）|建模转化为全等问题|实际情境中的几何直观|

14.2全等三角形的判定专项训练 A 基础达标题 一、利用“SSS”证明两三角形全等 1.如图，点A,E,F,D在同一直线上，AB=DC,BF=CE,AE=DF.求证： △ABF≌△DCE. B 2.如图，已知AE=DF,CE=BF,AB=CD, B (1)求证：△ACE≌△DBF (2)若∠A=62°，∠ACE=35°，求∠BHC的度数. 3.如图，AD=BC,AC=BD,若∠DAB=70°，∠ABD=40°，求∠C的度数： 二、利用“SAS”证明两三角形全等 1.已知：如图，点B,F,C,E在一条直线上，AB=DE,AB/DE,BF=EC. 求证：△ABC≌△DEF, y B D 2.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE求证：BC=DE 3.如图，在△ABC,△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C, D,E三点在同一直线上，连接BD E B (四△BAD与△CAE全等吗？为什么？ (2)试猜想BD,CE有何关系？并说明理由. 三、利用“ASA”证明两三角形全等 1.如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB,DEAB,∠DCE=∠A 求证：DE=BC. B D 2.如图，∠A=∠B,点D在AC边上，AE和BD相交于点O,若∠I=∠2，AE=BE. 求证：△AEC≌△BED B E 0 D 3.如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B,AD,BC的长表示 两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D,C为污水净化后的出口，已知 AE=EB,∠AEB=90,AD=150米，BC350米，求D,C之间的距离 B Dh 。E0 四、利用“AAS”证明两三角形全等 1.已知：如图，B,C,E,D在同一直线上，∠A=∠E,AB∥DE,BF=DC,求证 △ABC≌AEDF 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠1=∠2，AD=EC (1)求证：△ABD≌△EDC: (2)若AB=2,BE=3,求CD的长. 3.如图，己知△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，一直线m过△ABC的顶点C.过点A 作AE⊥m,过点B作BF⊥m,垂足分别为E,F. E B (1)试说明：△AEC≌aCFB: (2)请直接写出EF,AE,BF之间的数量关系 五、利用“HL”证明两直角三角形全等 1.如图，点A,B,C,D在同一直线上，且EA⊥AD,FD⊥AD,EC与FB相交点O, AB=DC,EC=FB.求证：AE=DF. B D 2.如图，AB=BC,AM=BN,AM⊥BN于点M,CN⊥BN于点N,求证 MN=AM-CN. N 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,D是AC上一点，E在BC的延长线 上，且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索 BF与AE有何特殊的位置关系，并证明你的猜想. B B 能力提升题 通过证明两次三角形全等解决问题 1.风筝起源于中国，至今己有2300多年的历史，在如图所示的“风筝”图案中， ∠I=∠2，AB=AC,AE=AF.请说明： D B 2.己知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD,AE∥FD,BF∥EC, AD和EF相交于点O.求证：OE=OF】 B 3.如图，AD是△ABC的中线，∠BAD=∠CAD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求 证：Rt△BDE≌Rt△CDF, 4.如图，DELAB于E,DFLAC于F,若BD=CD、BB=R (1)求证：AD平分∠BAC: (2)已知AB=5,AC=8,求BE的长. B D C 拓展培优题 1.如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，当点B,C,D在一条直线上时，连接AD, BE交于点M,连接CM, B (1)求证：△ACD≌△BCE. (2)试探究线段BM与线段AM,CM之间的数量关系，并说明理由， 2.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=100° ∠EAF=50°，猜想并写出线段BE,DF,，EF之间的数量关系，证明你的猜想： (2)【迁移推广】 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=2LEAF.请写 出线段BE,DF,EF之间的数量关系，并证明： (3)【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏东20°的A处.舰艇乙在指挥 中心南偏西50°的B处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向 正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前 进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C,D处，且指挥中心观测两舰艇 视线之间的夹角为75°.请直接写出此时两舰艇之间的距离. D A E B E B 图1 图2 图3 14.2全等三角形的判定专项训练答案 基础达标题 一、利用“SSS”证明两三角形全等 1.证明：.AE=DF, ∴.AE+EF=DF+EF, .∴.AF=DE 在△ABF与△DCE中 AB=DC BF=CE AF=DE .∴.△ABF≌△DCE SSS 2.(1)证明：AB=CD .AB+BC=CD+BC,即AC=DB 在△ACE与△DBF中， (AE=DF CE=BE AC=DB' ,△ACE≌aDBF(SSS) (2)解：aACE≌aDBF ∴.∠FBC=∠ACE=35°， 在△BHC中，∠BHC=180°-∠HBC-∠HCB=180°-35°-35°=110°. 3.解：在△DAB和△CBA中， AD=BC AC=BD AB=BA .△DAB≌aCBA(SSS) .∠C=∠D 在△DAB中，∠D=180°-∠DAB-∠ABD=180°-70-40°=70°， .∠C=70° 二、利用“SAS”证明两三角形全等 1.证明：，AB/DE, .∠ABC=∠C, .BF=EC. ∴.BF+FC=EC+FC, ∴BC=EF, 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠ABC=∠乙BC=EF, .△ABC≌△(SAS) 2.证明：，∠BAD=∠CAE .'.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC 即∠BAC=∠DAE 在△ABC与△ADE中 AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE ∴.△ABC≌△ADE(SAS) ∴.BC=DE 3.(1)解：全等，理由见解析： .∠BAC=∠DAE=90°， .∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴.∠BAD=∠CAE, 在△BAD与△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△BAD≌△CAE SAS: (2)解：BD=CE,BD⊥CE,理由如下： 由(1)知，△BAD≌△CAE, ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, .∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, .∠ABC=∠ACB=45°， 即∠ABD+∠DBC=45°， ∴.∠ACE+∠DBC=45°， ∴.∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°， .∠BDC=90°， 则BD⊥CE. 三、利用“ASA”证明两三角形全等 1.证明：，DEAB, ∴.∠EDC=∠B, 在△CDE和△ABC中， ∠EDC=∠B CD=AB ∠DCE=∠A .△CDE2△ABC(ASA), ∴.DE=BC. 2.证明：∠AOD=∠BOE,∠A=∠B,∠AOD+∠A+∠2=∠BOE+∠B+∠AEB=180°、 ∴.∠AEB=∠2， ∠2=∠1， .∠I=∠AEB, ∴.∠I+∠AED=∠AEB+∠AED. .∠AEC=∠BED 在△AEC和△BED中， ∠A=∠B AE=BE ∠AEC=∠BED' △AEC≌△BED(ASA) 3.解：，∠AEB=∠ADE=∠BCE=90 ∴.∠AED+∠DAE=90,∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠EBC=90°， .∴.∠DAE=∠CEB,∠AED=∠EBC, 在△ADE与△ECB中， ∠DAE=∠CEB AE=BE ∠AED=∠EBC .△ADE=△ECB(ASA) ∴.AD=CE,DE=BC, ∴.DC=DE+CE=BC+AD=350+150=500, 因此D,C之间的距离是500米。 四、利用“AAS”证明两三角形全等 1.证明：AB‖DE ∴∠B=∠D .BF DC. ∴BC-CF=DC-FC, :.BC=DF, 在△ABC和△EDF中， ∠A=∠E ∠B=∠D BC=DF' .△ABC≌AEDF(AAS) 2.(1)证明：，AB∥CD ∴.∠ABD=∠EDC 在△ABD和△EDC中， ∠ABD=∠EDC ∠1=∠2 AD=EC △ABD≌△EDC(AAS) (2)解：，△ABD≌△EDC .AB=DE=2,BD=CD .CD=BD=DE+BE=2+3=5 3.(1)证明：AE⊥m,BF⊥m, .∠AEC=∠CFB=90°， .∠EAC+∠ECA=90°. .'∠ACB=90° .∠FCB+∠ECA=90°， .∠FCB=LEAC, 在△AEC和△CFB中， I∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=CB :.△AEC≌aCFB(AAS) (2)EF=BF+AE, 五、利用“HL”证明两直角三角形全等 1.证明：EA⊥AD,FD⊥AD, .∠A=∠D=90, ..AB=DC. .AB+BC=BC+CD,AC=DB 在Rt△ACE和Rt△DBF中， AC=DB EC=FB ∴.Rt△ACE≌Rt△DBF|HL, .AE=DF 2.证明：，AM⊥BN于点M,CN⊥BN于点N, .∠AMB=∠BNC=90°， 在Rt△ABM和Rt△BCN中， AM=BN AB=BC ∴.Rt△ABM△Rt BCNHL, ∴.BM=NC, ∴.MN=BN-BM=AM-CN. 3.解：BF⊥AE,理由如下： ∠ACB=90° .∴.∠ACE=∠ACB=90° 在Rt△BCD和Rt△ACE中， AE=BD CA=CB ∴.△BCD≌△ACEHL ∴.∠CBD=∠CAE '∠CDB=∠ADF .∴.180°-∠CDB-∠CBD=180°-ㄥADF-∠CAE 即∠AFB=∠BCA=90° 故BF⊥AE B 能力提升题 通过证明两次三角形全等解决问题 1.(1)解：.∠1=∠2， ∴.∠I+∠BAC=∠2+∠BAC. 即∠BAE=∠CAF 在△AEB与△AFC中， AB=AC ∠B=∠C AE=∠AF :.△AEB≌aAFC(AAS), .∠E=∠F: (2)解：由(1)得 ∠E=∠F, 在△AEM与△AFM中， ∠1=∠2 AE=AF, ∠E=∠F .△AEM≌△AFN. .AN AM, ∴.AC-AM=AB-AN, 即BN=CM. 2.证明：，AE∥FD,BF∥EC .∠A=∠D,∠ACE=∠DBF .AB=CD, .AC=BD. 在△ACE与ADBF中， [∠A=∠D AC=DB ∠ACE=∠DBF' ∴.△ACE≌△DBF(ASA) CE=BF」 在ACOE与△BOF中， ∠OCE=∠OBF ∠EOC=∠FOB CE=BF .ACOE≌ABOF(AAS) ..OE=OF 3.证明：，AD是△ABC的中线， .CD=BD DF⊥AC,DE⊥AB, ∴.∠AED=∠BED=∠AFD=∠CFD=90°， 在△ADE和△ADF中， ∠AED=∠AFD ∠BAD=∠CAD AD-AD ,△ADE≌△ADF AAS, ..DF=DE 在Rt△BDE和Rt△CDF中， DE=DF BD=CD ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF HL. 4.（1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC .∠DEB=90°，∠DFC=90 在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD BE=CF :.Rt△BDE≈Rt△CDF(HL) .DE=DF .DF⊥AC ∠DFA=90 又∠DEB=90°， 在Rt△EAD和Rt△FAD中， DE=DF AD=AD .Rt△EAD=Rt△FAD(HL) ∴.∠EAD=∠FAD .AD平分∠BAC (2)由(1)知Rt△EAD≈Rt△FAD, .AE=AF .AB+BE=AC-CF 又BE=CF ..2BE=AC-AB E=×8-5j-月 拓展培优题 1.(1)证明：，'△ABC与△EDC都是等边三角形， ∴.AC=BC=AB,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°， ∴.∠ACE=180°-∠BCA-∠ECD=60° ∴.∠BCE=∠ACD=60°+60°=120°， 在△BCE和△ACD中 BC=AC ∠BCE=∠ACD, CE=CD ∴.△BCE≌△ACD(SAS), (2)解：BM=AM+CM; 理由如下： 如图，在DA上取点F,使DF=ME,连接CF, :△BCE≌△ACD, ∴.BE=AD,∠BEC=∠ADC, ∴.∠MEC=∠FDC, 同理可证：△MEC≌△FDC(SAS), ∴.MC=FC,∠MCE=∠FCD .∴.∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF=∠ECD=60°， ∴.△MCF是等边三角形， .∴.CM=MF, .'BM=BE-ME =AD-DF =AM+MF =AM+CM. 2.解：(1)EF=BE+DF,理由如下： 如图，延长CD至点G,使DG=BE,连接AG, 4G D B E :∠ABC=∠ADC=90°， .∴.∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD .∴.△ABE≌△ADG ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG, ·∠BAD=100°，∠EAF=50°」 .∴.∠BAE+∠DAF=50°， ∴.∠AG=∠EAF=50°， ∵AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF, ∴.EF=FG .∵FG=DG+DF, ..EF=DG+DF=BE+DF: (1)EF=BE+DF,理由如下： 如图，延长CD至点H,使DH=BE,连接AH, H D A E C :∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADH=180°， .∠ADH=∠ABC, .AB=AD, ∴.△ABE≌△ADH, ∴，AE=AH,∠BAE=∠DAH, ·∠BAD=2∠EAF .∴.∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH, .∠EAF=∠HAF, .AF=AF, ∴.△AEF≌△AHF, ∴.EF=FH, ∵FH=DH+DF, ∴.EF=DH+DF=BE+DF: (2)如图，连接CD,延长AC、BD交于点M, M B 根据题意得：∠A0B=20°+90+40°=150°，∠OBD=60+50°=110°，∠C0D=75°， ∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB, ∴.∠AOB=2∠COD,∠OAM4∠OBM70°+110°=180°， .OA=OB. .由(2)【迁移推广】得：CD=AC+BD .AC=80×0.5=40,BD=90×0.5=45, ∴.CD=40+45=85海里. 即此时两舰艇之间的距离85海里