14.1 全等三角形-【专项训练】2026-2027学年八年级上册数学——全等三角形（人教版·新教材）

第十四章全等三角形 思维导图 概念 能够完全重合的两个图形 平移 全等形+ 概念 能够完全重合的 两个三角形 全等三角形变换 方式 旋转 全等三角形 表示方法 用≌连接两个全等三角形 翻折 性质 对应边相等、对应角相等 边角边(SAS)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形 全等 角边角(ASA)】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形 般三角形 全等 角角边(AAS)两角分别相等且其中一组等角的对边相等 全等三角形 三角 的两个三角形全等 形全 边边边(SSs)一三边分别相等的两个三角形全等 斜边、直角边(L)》斜边和一直角边分别相等的两个直 直角三角形 角三角形全等 ·般三角形全等的判定方法依然适用于直角三角形 尺规作图一保留作图痕迹 性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线→ 明确命题中的已知和求证 证明命 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证 题的步骤 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出 证明过程 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 数学专项训练 14.1 全等三角形 基础解读 知识点1全等形的概念 状相同；②图形的大小相等.全等的符号 1.定义：能够完全重合的两个图形叫作全 “≌”也形象直观地反映了这一点：“∽” 等形 表示图形的形状相同，“=”表示图形的 2.核心要点： 大小相等 (1)全等形关注的是两个图形的形状和 (2)全等三角形是全等形的特例 大小，而不是图形所在的位置，看两个2全等三角形的表示方法：“全等”用数学 图形是否为全等形，只要把它们叠合在一 符号“≌”表示，读作“全等于”.记两 起，看是否能够完全重合即可 个三角形全等时，通常把表示对应顶点的 (2)一个图形经过平移、翻折、旋转后， 字母写在对应位置上 位置变化了，但形状、大小都没有改变， 3.全等三角形的对应元素：重合的顶点叫作 即平移、翻折、旋转前后的图形全等 对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的 (3)两个全等形的面积一定相等，但面 角叫作对应角 积相等的两个图形不一定全等 4.找对应边、对应角的方法： 例1找出下图中的全等形 (1)当用对应顶点写在对应位置的式子 表示全等时，可以通过字母出现的位置来 确定对应元素，在相同位置上出现的字母 3 所表示的元素必为对应元素 (2)公共边一般是对应边，公共角和对 5 (6) (7 8 顶角一般是对应角。 (3)如果两个角为对应角，那么它们的 (9) (10) (11 12) 对边为对应边.两组对应角的夹边为对应 边，剩下的第三个角为对应角 【解析】判断是否是全等形，一看形状 (4)如果两条边为对应边，那么它们的 是否相同，二看大小是否相同 对角为对应角.两组对应边的夹角为对应 【答案】(1)和(7)，(2)和(8)， 角，剩下的第三条边为对应边 (4)和(6)，(5)和(12)，(9)和(10) (5)在两个全等的三角形中，最长边对 分别是全等形 应最长边，最短边对应最短边，最大角对 知识点2全等三角形 应最大角，最小角对应最小角 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个 5.对应边（或对应角）与对边（或对角）的 三角形叫作全等三角形 区别： 注意： 对应边、对应角是对两个三角形而言的，指 (1)完全重合有两层含义：①图形的形 两条边、两个角的关系，而对边、对角是指 ·全等三角形 同一个三角形的边和角的位置关系，对边是： 全等三角形的周长相等，面积相等 与角相对的边，对角是与边相对的角 2.全等三角形的性质是证明两条线段相等、 例2如图所示，若把△ABC绕点A旋转一 两个角相等的重要方法。 定的角度就得到△ADE,请找出全等三角形 注意： 以及对应元素. 在应用全等三角形的性质时，根据需要选 取对应边、对应角，同时要结合三角形的 内角和进行计算 例3如图，B,E,C,F在同一直线上，△ABC≌ △DEF,∠A=75°，∠B=60°，BE=5,求 ∠F的度数与CF的长. 【解析】重合的顶点叫作对应顶点，重 D 合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角. 【答案】△ABC≌△ADE,对应顶点： B E 点A和点A,点B和点D,点C和点E; 【解析】利用全等三角形的对应角相等、 对应边：AB和AD,AC和AE,BC和 对应边相等求∠F的度数与CF的长. DE; 【答案】：△ABC≌△DEF, 对应角：∠CAB和∠EAD,∠B和∠D, ·.∠F=∠ACB=180°-∠A-∠B, ∠C和∠E. 即∠F=180°-75°-60°=45°. 知识点3全等三角形的性质 .△ABC≌△DEF, 1.全等三角形的对应边相等，全等三角形的 ∴.BC=EF,∴.BC-EC=EF-EC, 对应角相等；由全等三角形的定义可知， .∴.CF=BE=5 提分训练 训练点1 全等形的概念 【关注过程】观察答案中的选项知，A, C,D中图形被分成的两部分形状不相同， 1.下图所示的图形分割成两个全等的图形， 不符合全等形形状相同的条件，故正确答案 正确的是 是B 【学会总结】能够完全重合的两个图形 叫作全等形，观察图形经过旋转、平移后是 否能重合，即可判定两个图形是否全等. 拿训练点2全等三角形及其对应元素 2.如图所示，△AOC≌△BOD,C,D是对 应点，则下列结论错误的是 () 数学专项训练。… 【关注过程】旋转只改变图形的位置和 方向，不改变图形的大小，所以△ABC≌ △BAD,对应角有∠BAC和∠ABD,∠BCA和 ∠ADB,∠ABC和∠BAD. A.∠A与∠B是对应角 【学会总结】掌握旋转的性质和三角形 B.∠AOC与∠BOD是对应角 全等的对应元素· C.OC与OB是对应边 D.OC与OD是对应边 意训练点3全等三角形的性质 【关注过程】根据全等三角形找对应边 5.小明学习了全等三角形后总结了以下 和对应角，选项A、B、D都是正确的；OC 结论： 与OD是对应边，故C项结论错误，故选C. ①全等三角形的形状相同、大小相等； 【学会总结】掌握全等三角形的对应 ②全等三角形的对应边相等、对应角 元素 相等； 3.如图，△AOC和△BOD全等，且C与D ③面积相等的两个三角形是全等图形； 为对应顶点，∠AOC和∠BOD为对应角. ④全等三角形的周长相等 其中正确的结论个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 【关注过程】①全等三角形的形状相 (1)表示这两个三角形全等： 同、大小相等，①正确；②全等三角形的对 应边相等、对应角相等，②正确；③面积 (2)OC的对应边是 相等的两个三角形不一定是全等图形，③错 (3)∠D的对应角是 误；④全等三角形的周长相等，④正确.故 【关注过程】根据已知条件可知：(1) 选C. △AOC≌△B0D;(2)OD;(3)∠C. 【学会总结】理解并掌握全等三角形的 【学会总结】全等三角形的对应边相等， 性质是解题的关键 对应角相等. 6.下列判断不正确的是 4.如图，将△ABC以AB的中点0为中心 A.形状相同的图形是全等图形 旋转180°得到△BAD,则全等的三角形是 B.能够完全重合的两个三角形全等 对应角有 C.全等图形的形状和大小都相同 D.全等三角形的对应角相等 【关注过程】A.两个形状相同的图形大 小不一定相等，故本选项错误；B.根据能够 完全重合的两个图形叫作全等形，故本选项 ·全等三角形 正确；C.全等图形的形状和大小都相同，故9.已知有两个三角形全等，若一个三角形 本选项正确；D.根据全等三角形的性质可得 三边的长分别为3,5,7，另一个三角形三 全等三角形的对应角相等.故本选项正确.故边的长分别为3,3a-2b,a+2b,则a+ 选A. b= 【学会总结】根据能够完全重合的两个 【关注过程】由题意可知3a-2b=5, 图形叫作全等形，结合各选项说法作出判断 a+2b=7或3a-2b=7,a+2b=5,∴.a= 即可 3,b=2或a=3,b=1∴.a+b等于5或4. 7.已知△ABC≌△DEF,AB=DE=5cm,若 【学会总结】三角形的对应边相等，找 △ABC的面积为10cm2,则△DEF的边DE 准对应相等的关系即可， 上的高为 cm. 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 【关注过程】设△ABC的边AB上的高 D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B 为hcm,则}AB:h=10,即号×5=10， 恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°， 解得h=4,·△ABC≌△DEF,AB与DE是则∠CDE= 对应边，∴.△DEF的边DE上的高为4cm. 【学会总结】全等三角形对应边上的高 相等，根据已知条件先算出△ABC的边AB 上的高，也就得出△DEF的边DE上的高. 【关注过程】.∠ACB=90°，∠A= 8.如图所示，若△ABC≌△ADE,则下列结 26°，∴.∠B=64°.·△CED是由△CBD 论中一定成立的是 沿CD折叠得到的，·.△CED≌△CBD, ∠BCD=∠ECD=L∠ACB=45。, ∠CDB=∠CDE,∴.∠CDB=180。- A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE ∠BCD-∠B=71°，∴.∠CDE=71° C.AB=AE D.∠ABC=∠AED 【学会总结】折叠前后的图形是全等图 【关注过程】.·△ABC≌△ADE, 形，重合的部分对应相等. ∴.AC=AE,AB=AD, 11.如下图所示，△ABC≌△ADE,且∠CAD= ∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE, 10°，∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即 的度数. ∠BAD=∠CAE.A,C,D选项错误，B选项 正确.故选B. 【学会总结】全等三角形的对应边、对 应角相等，找准全等三角形的对应元素是解 题的关键， 5 数学专项训练。… 【关注过程】·：△ABC≌△ADE,∠D=13.如图所示，△ABC≌△ADE,BC的延 25°，.∴.∠B=∠D=25°，∠EAD=∠CAB. 长线交DA于点F,交DE于点G,∠AED= .·∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB= 105°，∠CAD=15°，∠B=30°，则∠1的 120°，∠CAD=10°. 度数为 () ∠CAB=2×(120-10°）=55， ∴.∠FAB=∠CAB+∠CAD=55°+10°= D 65°. 又∠DFB是△ABF的外角， .∠DFB=∠B+∠FAB=25°+65°=90°. 【学会总结】先找准全等三角形对应 A.50° B.60° C.40° D.20° 角，再分析并发现角之间的和、差、倍、分 【关注过程】△ABC≌△ADE, 的数量关系. ∴.∠ACB=∠AED=105°，∠D=∠B= 12.如图，已知△ABC≌△DEF,∠D= 30°，∴.∠ACF=180°-∠ACB=180°- 85°，∠DEF=60°，AB=8,EH=2.求 105°=75°，由三角形的内角和定理得， ∠ACB的度数与DH的长 ∠1+∠D+∠DFG=∠CAD+∠ACF+∠CFA= 180°，∴.∠1+30°=15°+75°，解得∠1= D 60°.故选B. 【学会总结】根据全等三角形对应角相 B 等可得∠AED=∠ACB,∠D=∠B,再根 【关注过程】在△DEF中， 据邻补角的定义求出∠ACF,然后根据三角 .∠D=85°，∠DEF=60°， 形的内角和定理得到∠1+∠D=∠CAD+ ∴.∠F=180°-∠D-∠DEF=180°- ∠ACF是解题的关键 85°-60°=35°. .'△DEF≌△ABC, ∴.∠ACB=∠F=35°，DE=AB=8. .EH=2, ∴.DH=DE-EH=8-2=6. 【学会总结】先利用三角形的内角和定 理算出∠F的度数，然后根据全等三角形的 对应边相等、对应角相等得出∠ACB=∠F= 35°，DE=AB=8,进而根据线段的和差即 可算出答案.