专项练习(三) 分式方程-【专项训练】2026-2027学年八年级上册数学——分式（人教版·新教材）

【解析】科学记数法的表示形式为a×10"(1≤ad<10, n为整数).本题把数据1.24×103中1.24的小数点 向左移动3位就可以得到，1.24×10-3=0.00124.故 选C. 6.A 【解析】0.000516用“四舍五入”的方法，保留 到万分位为0.0005. :0.000516≈0.0005，.0.0005=5×104，故选A. 7.2.1×10-5 【解析】根据科学记数法的表示形式a×10 (1≤la<l0,n为整数)即可求解.科学记数法的 表示形式为0.000021=2.1×10-5，故答案为2.1×105 8.解：1×10-6=0.000001,3.2×10-5=0.000032 -7.05×108=-705000000 9.解：1cm=10-2m,5.7÷30=0.19(cm),0.19cm= 1.9×103m,故平均每年小洞的深度增加1.9×103m 专项练习（三） 分式方程 分类一分式方程的概念 1.B 2.C 3.B 【解析】A选项把分式方程化为整式方程，这个整 式方程的解不一定是这个分式方程的解，故A选项 错误；B选项分式方程中，分母中一定含有未知数， 故B选项正确；C选项根据分式方程必须具备两个 条件：①分母含有未知数；②是等式，故C选项错误 D选项分式方程不一定有解，故D选项错误.故选B 4.④⑤⑥⑦⑨ )分类二解分式方程 1.B 【解析】去分母，得3x+2=x+1,移项合并同类项， 得2=-1，系数化为1，得x=,当x=时， +1≠0,3x+2≠0，x=-是原分式方程的解。 故选B 2.D 【解折)原试式可化为2十2筒， 1 4-3y ·.方程两边同乘2（y-3)(y-2)会使得运算简便 故选D. 。分式 。3.C 4.C 【解析】方程两边同时乘x（x-2),得(1-x)x= （x-2)-3x（x-2).故选C. 5.A 【解析】设，1，则原方程化为+}=2，去分 母为t2-2t+1=0.故选A. 6.B 【解析】方程两边同时乘以(x-3)得1+x=-2-(x-3) 第一步正确；即x+x=-2-1-3,第二步原题错误， 移项没有变号.故选B. -号 【解析】根据题意得1 3是去分母得x3(x+3, 解得一号.经检验一号是方程的根故答案为-号 8.4 【解析】根据题意可知，石3+3x-2,等式两边 同乘(x-3得6-x=2（x-3),解得x=4.经检验 x=4是原分式方程的根.故答案为4. 9.解：（1)去分母，两边同乘以（x+3)(x-3),得 (x+2)(x-3)=(x-2)(x+3), 去括号，得x2-x-6=x2+x-6, 移项合并同类项，得-2x=0, 解得x=0,经检验，x=0是该方程的根； （2)去分母，两边同时乘以(x+2)(x-2),得 (x-2)2-16=x2-4+4（x+2), 去括号得，x2-4x+4-16=x2-4+4x+8, 移项合并同类项，得-8x=16,解得x=-2, 经检验，x=-2是该方程的增根.所以该方程无解. 10解：（1)A=(22小 .3(x+2)-（x-2).(x+2)(x-2) （x+2)(x-2) =3x+6-x+2=2x+8 （2)A=3,.2x+8=3x,解得x=8, 检验：当=8时，x（x+2)(x-2)≠0， .原分式方程的解是x=8,即若A的值等于3，x的 值是8. 数学专项训练· )分类三根据分式方程的解、增根求字母的值 1.B 【解析】方程两边都乘以（x-2)得4x-m-3=x-2, 解得=m1.x-2≠0，.m1-2≠0， 3 3 .m≠5. :分式方程的解为非负数，.m≥0，m≥-1. ∴.m的取值范围为m≥-1且m≠5.故答案为B. 2.A 【解析】将x3代入原方程，得号=之+3，解 得a=7.故选A. 3.m>-2且m≠4 【解析】方程两边同时乘以x-3得1+x-3=m-x,解 得=生，“为正数，生>0，解得m>-2 2 x≠3，.m+2≠3，即m≠4. ∴.m的取值范围是m>-2且m≠4. 故答案为m>-2且m≠4. 4.-2 【解析】方程两边都乘x+1,得x-1=,解得x=a+1, 原方程有增根，∴.a+1+1=0,解得a=-2.故答案 为-2 5.4 【解折】+2=-己，m+2(x-1)3,解 3 得=5罗，分式方程沿+2=己的解为非负 数，.5m≥0，解得m≤5，正整数m的值为1,2， 2 3,4,5,=1是分式方程的增根，.m=3,要舍去 ∴.正整数m的所有个数为4个.故答案为4. 6.3 【解析】2-方程两边同时乘以x-2得 3x-2（x-2)=m+3,解得x=m-1, 关于x的分式方程，号2无解。 “x-2 ∴.m-1=2, .m=3.故答案为3. 7.解：+1-x kx+2 x+2x-1=（x-)x+2) 两边同乘以(x-1)(x+2),得(x+1)(x-1)- x（x+2)=kx+2,整理得（k+2)=-3, 由增根的定义得=1或x=-2, 42 当x=1时，k+2=-3,解得k=-5, 当x=-2时，-2(k+2)=-3,解得=-2， 综上，所有满足条件的：的值为-5或-之 8.解：去分母得4x=a(x-2)-b（x+2), 整理得（a-b)x-2a-2b=4x, 由方程有任意解可得a-b=4,-2a-2b=0,即a+b=0. 解得a=2,b=-2,则a2+b2=4+4=8. 9.解：第2个分式方程化为整式方程得 x（x-1)+2（x+1)=x2-1, 化简得x=-3,经检验x=-3是原方程的解， “原方程的解是3，将3代入华x名=2。 得二30=1，解得a=-4, 1 a+1 经检验a=-1是原方程的解，“a=-本 10.解：探究1：方程两边都乘以（x-3)，得 3x+5(x-3）=-m,解得x=15,m 8 原方程有增根， ∴.最简公分母x-3=0,解得x=3. 当x=3时，m=-9,故m的值是-9； 探究2：方程两边都乘(x-3),得3x+5(x-3)=-m, 原方程的根为x=-1,∴.m=23; 探究3：由(1)(2)得x=15。m 8 假设方程的三个对应根为a,b,c且a+b=c, ∴.m,=15-8a,m2=15-8b,mg=15-8c. 若设a=2,b=4,c=6, 则m,=-1,m2=-17,m=-33;（答案不唯一) 探究4：a+b=c, 15-m1+15-m2=15-m3 8 8 8 整理得m,=m,+m2-15. 故答案为m,=m,+m2-15. 匡)分类四分式方程的应用 1.D2.D 3.D 【解析】根据“完成前一半所用时间+后一半所用 时间=原计划所用时间-2”可列出方程.故选D. 4.500=500-5 x+5 【解析】设原来参加游览的同学一共有x人，则实 际有(x+5)人，计算两种人数下的人均费用，根 。分式 据每个同学比原来少分摊了5元车费为等量关系列· 2·-1=,口中的运算符号为“”或“÷”· x-1 x 出方程. 故选D. 5.24 5.A 【解析】设单独由男生完成，每人应植树x棵那么 根据题意可得出方程：名+7=日，解得=24.检 【解析】把分式，号中的x和y都扩大为原来的2 3×2x·2y 12xy 3xy. 倍，即2x-(2F42-4 即值不 验得x=24是方程的解.因此单独由男生完成，每人 x2-y21 变.故选A. 应植树24棵.故答案为24. 6.A 6.解：设调价前每件商品的利润是x元， 可列出方程30000+5000=30000+2000， x-0.4 【解断1(a-方)日必）日-必〉 7.解：设原计划平均每天生产x个零件， 根据题意得-600=450，解得x=150, =-号故选A b x+50 7.A 经检验x=150是原方程的根. 答：原计划平均每天生产150个零件. 【解析1343品，方程两边同乘以(x-3), 得1-4（x-3)=-2.故选A. 8.解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G 8.D 的下载速度是每秒15x兆， 【解析】由题意得：7nm=0.000000007m,所以 由题意得900-900=210，解得x=4, 15x 7nm用科学记数法表示为7×109m.故选D. 经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意 9.D 15×4=60(兆). 答：该地4G的下载速度是每秒4兆，该地5G的 【解折原式=m(ntn)(m-n)-3(a+n, 当m+n=1时，原式=3.故选D. 下载速度是每秒60兆， 10.C 综合练习（一) 、1.C 二、 11.x≠±2 - 【解析1紫24n ,。1的分母中不含有字母，属于整式， 【解析】要使分式有意义，分母不能为0： 22是方程，不是分式，2，的分母中含 2 “x≠±2，A=4-x2=4x-(x+2)_2x-x x24-x-2=x2-4 x2-4 有字母，属于分式.故选C 22x本2当=3时，原式=-多 = x(2-x) 2.B 12.x 【解析】由题意得：x+1=0,且x-2≠0，解得x=-1. = 故选B. 【解析】 xy2 y 3.C 18-是 【解析】当x=-2时分式无意义，则分母口的值应为 【解析】：+上=4，m+n=4,即m+n=4mn, mn 0,当x=-2时，2-x=2-（-2)=2+2=4≠0，A选项 不符合题意；B选项不符合题意；2x+4=2×(-2)+ 原式-2a5=8%-3=-是. -（m+n) -4mn -4mn 4=-4+4=0,C选项符合题意；x+4=-2+4=2≠0，D 故答案为-子 选项不符合题意.故选C 14.40 4.D 【解析】由题意知，原计划需要240h,实际需要 a 【解折1，号 x-1 240h,故提前的时间为240-240=240- 1.2a a 1.2a a 43》数学专项训练… 专项练习（三）分式方程 售分类一 分式方程的概念 1.下列方程中，是分式方程的是 () A号+号=1 B.x+1=2 C.2x=x-5 D.x-5y=1 2.下列关于x的方程中，不是分式方程的是 A是w=1 路=4 D.16 5 x-6 3.下面说法中，正确的是 A.把分式方程化为整式方程，则这个整式方程的解就是这个分式方程的解 B.分式方程中，分母中一定含有未知数 C.分式方程就是含有分母的方程 D.分式方程一定有解 4.下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 (只填序号). ①a=5:②4(x+b)+2=5,③m++2=m2,④，2=2；⑤1+12-3； 3 a a 2x-1x ⑥+也=+b:⑦1-1=-6；⑧=b=2+￥+b,⑨x-n++m=2 a a xb x a a x+m x-n 分类二 解分式方程 1.分式方程1， 1 x+1-3x+2 的解为 A= D=青 2在利用等式的性质将分式方程雾名+了-二化为整式方程时，有如下想法：①方程两 边应同乘(2y-6X4-2y)；②方程两边应同乘2(y-3)；③方程两边应同乘4(y-2Xy-3); ④方程两边应同乘2(y-3)(y-2)，为使得运算简便，应采取的想法是 () A.① B.② C.③ D.④ 3.如图所示，小荣总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B分别 代表的是 () 分式去分母一元一 一元一次 →最简公分母≠0→原分式方程的解 方程依据A次方程 方程的解 →检验 B →原分式方程无解 A.等式两边加（或减)同一个数（或式子），结果仍相等，最简公分母=0 B.等式两边加（或减)同一个数（或式子），结果仍相等，最简公分母≠0 C.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，最简公分母=0 D.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，最简公分母≠0 424 。分式 4解分式方程1-=1-3时，去分母所得的方程是 x-2 A.（1-x)x=（x-2)-3 B.（1-x)x=（x-2)-3x C.（1-x)x=（x-2)-3x（x-2) D.（1-x)x=（x-2)-x（x-2) 5用换元法解方程”+“士=2时，若设“1=，则原方程可化为关于：的方程是（ 3x A.t2-2t+1=0 B.t2+2t+1=0 C.2-2t+2=0 D.t2-t+2=0 6以下是小相同学解方程兰等32。-1的过程： 解：方程两边同时乘以（x-3),得1+x=-2-（x-3),第一步 即x+x=-2+1+3,第二步 解得x=1,第三步 检验：当x=1时，x-3=1-3≠0，所以原方程的解是x=1.第四步 针对以上解题过程，下列说法正确的是 () A.从第一步有错 B.从第二步有错 C.从第三步有错 D.完全正确 7.式子+3与式了的值相等，则x= 8分式3与3产的和为2，则的值为 9.解分式方程： (1)x+2=x-2 (2)号=24 4 x+3x-3; 10已知4(322)4 (1)化简A; (2)若A的值等于3，求x的值. 分类三根据分式方程的解、增根求字母的值 1,若关于x的分式方程4+m+3=1的解为非负数，则m的取值范围为 x-2 2-x A.m≥-1且m≠3 B.m≥-1且m≠5 C.m≤-1 D.m≤-1且m≠-5 25》 数学专项训练… 2若关于×的分式方程二音2+3的解为3，则a的值是 A.7 B.6 C.-1 D.-6 3若关于x的分式方程'3+1=-青的解为正数，则m的取值范国是 x-3 4若关于：的方程-中有增根，则的值是 5已知关于x的分式方程，1+2=-2的解为非负数，则正整数m的所有个数为一个. 6若关于x的分式方程2-2=+无解，则m的值为 x-2 程+2x产一(x-光+2时产生了增根，请求出所有满足条件的人的值. 7.解关于x的方程+1-龙 hexc +2 &若关于x的分式方程整4=平22有任意解，试求产的值. 9已知方程。华子-2的解与方程年+名-1的解相同，求：的值。 10.增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根， 而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为： ①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值. 阅读以上材料后，完成下列探究： 探究1：m为何值时，方程，3+5=3”有增根： 探究2：m为何值时，方程，3+5=3元的根是-1： 426 。分式 探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程，3+5=3”，的三个根中两个根之和等于第 三个根； 探究4：你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3的关系是 盖？分类四分式方程的应用 1.某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人.其中B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多 50%;清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每 小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫x2,根据题意可列方程为()】 400=10+号 D.100=100+2 0.5x B器+号-10 c10+号=10 3 x1.5x 2.在解决实际问题：“A、B两地相距48km,一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地 逆流返回A地，共用去9h,已知水流速度为4km/h”时，下面是甲、乙、丙、丁四位同学的 做法： 同学甲设轮解在静水中速度为xk如，列方程为经+8.9： 同学乙：设轮船从A地顺流航行至B地的速度为xkmh,列方程为48+48=9； 4+x4-x 同学丙：设轮船在静水中速度为xkm,列方程为96+96=9； 4+x 4-x 同学丁：设轮船从B地逆流返回A地的速度为xkmh,列方程为48+48=9. x+8x 正确的是 () A.甲和乙 B.乙和丙 C.丁和乙 D.甲和丁 3.今年5月份，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求， 需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务.设原来每天生产x台 呼吸机，下列列出的方程正确的是 () A.150+150=300+2 B.150+300=300-2 xx+20x xx+20 x C.150。=300-2 D.150=150-2 “x+20-x “x+20x 27》 数学专项训练… 4.前年五一期间，一批大二同学包租一辆客车去蜀南花海游览，客车的租金为500元，出发时， 又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了5元车费，若设原来参加游览 的同学一共有人，为求x,可列方程为 5.某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单 独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树 棵 6.商场销售某种商品，1月份销售了若干件，共获利润30000元，2月份把这种商品的单价降 低了0.4元，但销售量比1月份增加了5000件，从而获得的利润比1月份多2000元，求调 价前每件商品的利润是多少元？（只列方程不解答） 7.某加工零件厂现在平均每天比原计划多生产50个零件，现在生产600个零件所需时间与原计 划生产450个零件所需时间相同.求原计划每天生产多少个零件？ 8.第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15 倍，小英和小芳分别用5G与4G下载一部900兆的记录片，小英比小芳所用的时间快210s, 求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？ 28