22.1 分式及其基本性质（分层作业）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 本练习以“分式及其基本性质”为核心，通过基础认知、技能应用、综合探究三层递进设计，实现从概念理解到运算能力再到问题解决的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|分式定义、有意义条件、值为0条件、最简分式|以选择题为主，聚焦单一知识点辨析，培养符号意识与抽象能力| |技能应用层|分式变形、约分、通分、最简公分母|通过解答题训练运算技能，强化推理意识与运算能力| |综合探究层|分式值的整数问题、阅读理解与实际应用|结合情境化问题与逻辑推理，发展模型意识与应用意识|

22.1 分式及其基本性质 题型一 分式的判断 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）代数式 中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）若是分式，则“”可以是（    ） A．1 B． C．0.001 D．x 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）代数式，，，中，分式的个数是（    ） A． B． C． D． 题型二 分式有意义的条件 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）使代数式有意义的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三 分式值为0的条件 1．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）如果分式的值为，那么的值为（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 2．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）若分式的值为0，则的取值是（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知分式的值为零，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）若分式，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型四 判断分式变形是否正确 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）下列分式中，与分式结果相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）下列从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）分式从左至右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五 最简分式 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列分式中，不是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列选项中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·山东滨州·期末）下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 题型六 最简公分母 1．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）分式与的最简公分母是 ． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）分式与的最简公分母是 ． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）分式与 的最简公分母是 4．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）分式与的最简公分母为 ． 题型一 约分 1．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）约分： (1) (2) 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）约分： (1)； (2)． 3．（21-22八年级上·河南许昌·阶段练习）约分： (1) (2) 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)． (2)． 题型二 通分 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，． (2)，． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，． (2)，． 题型三 求使分式值为整数时未知数的整数值 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知分式，当满足下列条件时，确定m的取值． (1)当m为何值时，此分式无意义？ (2)当m为何整数时，此分式值为也为整数？ 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知分式，整式． (1)若，求的值； (2)当取哪些整数时，分式的值为整数； (3)试判断与的大小关系，并说明理由． 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 4．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1 分式及其基本性质 题型一 分式的判断 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）代数式 中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义判断即可． 【详解】解：分式有：，共3个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）若是分式，则“”可以是（    ） A．1 B． C．0.001 D．x 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的分母中含有字母，进行求解即可． 【详解】解：若是分式，则“”中必须含有字母，故可以是； 故选D． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键．根据分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得，是分式的有：，，，共个， 故选：B． 4．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）代数式，，，中，分式的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A、B（）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可. 【详解】解：分式有：、，共2个. 故选：B. 题型二 分式有意义的条件 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）使代数式有意义的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不为0，再列不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故选：D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件：分母不为0，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件：分母不为0，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：D． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故选：A． 题型三 分式值为0的条件 1．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）如果分式的值为，那么的值为（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，关键是掌握分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0. 【详解】解：由题意得：，且， 解得：. 故选：A． 2．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）若分式的值为0，则的取值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是关键． 根据分式的值为零，分式的分子为0，分母不为0解答． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 此时，， 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知分式的值为零，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备的条件是分子为0且分母不为0． 根据分式的值为0的条件进行列式，求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 故选：A． 4．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）若分式，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的概念及其性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据分式的概念及其性质的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 故选：A． 题型四 判断分式变形是否正确 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）下列分式中，与分式结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质．掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析，判断其正确性． 【详解】解：（1）．故（1）错误； （2）．故（2）错误； （3）分子、分母同时乘以，分式的值不变，即．故（3）正确． 综上所述，正确的变形有1个． 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）下列从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：无法约分，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 无法约分，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）分式从左至右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、；故A选项符合题意； B、等式不总是成立，如：当，时，，，即；故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、根据分式的基本性质，乘以分式分子和分母的整式不能为零，当时，，此时满足此条件，故D选项不符合题意； 故选：A． 题型五 最简分式 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列分式中，不是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其他的公因式，这样的分式叫最简分式）逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项不是最简分式，不符合题意； B、，故此选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故此选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列选项中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念逐项判断即可． 【详解】解∶A．是整式，不是分式，不符合题意； B．，故不是最简分式，不符合题意； C．是最简分式，符合题意； D．，故不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 4．（22-23八年级上·山东滨州·期末）下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查最简分式的定义，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，分子与分母中含有相同因式，故不是最简分式； B、，分子与分母中不含相同因式，故是最简分式； C、，分子与分母中含有相同因式，故不是最简分式； D、的分子、分母中含有相同因式，故不是最简分式； 故选B． 题型六 最简公分母 1．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得解． 【详解】解：与的最简公分母是， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）分式与的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 根据求最简公分母的方法求解即可． 【详解】解：分式与的最简公分母． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）分式与 的最简公分母是 【答案】 【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式的分母，利用公因式即可求解． 【详解】解：∵的分母为， 的分母为， ∴两个分式的最简公分母为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）分式与的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 按照公分母的定义进行解答． 【详解】解：与的最简公分母为． 故答案为：． 题型一 约分 1．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）约分： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键． （1）直接利用分式的性质化简得出答案； （2）直接将分子与分母因式分解，进而化简得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键． （1）分子分母同时除以约分即可； （2）将分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（21-22八年级上·河南许昌·阶段练习）约分： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （2）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式． 分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型二 通分 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再合并； （2）先提公因式，再进行约分化简； （3）先通分，再合并，最后约分． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，． (2)，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】分别找到各异分母分式的最简公分母即可完成通分． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 【点睛】本题考查异分母分式的通分．寻找最简公分母是解题关键． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，． (2)，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查通分，掌握通分的方法是解决问题的关键． （1）找到最简公分母，然后进行通分即可； （2）找到最简公分母，然后进行通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ，； （2）最简公分母是， ，． 题型三 求使分式值为整数时未知数的整数值 1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式有意义，分式的值为零的条件，分式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求出的值，即可； （2）根据分式的值为正整数，且x为整数，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知分式，当满足下列条件时，确定m的取值． (1)当m为何值时，此分式无意义？ (2)当m为何整数时，此分式值为也为整数？ 【答案】(1)当时，该分式无意义； (2)当m的值为或或或或或或或时，该分式的值为整数． 【分析】本题考查了分式无意义和分式的值． （1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可； （2）根据题意分别令或或，求解即可． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义； （2）解：该分式的值为整数，且也为整数， 或或或， 解得或或或或或或或， 即当m的值为或或或或或或或时，该分式的值为整数． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 【答案】的所有可能值为0，， 【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是得出2是的倍数． 根据x为整数，且分式的值为整数，可得2是的倍数，可得答案． 【详解】解：． 由题意知或或或， ． 又， 舍去， 故的所有可能值为0，，． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知分式，整式． (1)若，求的值； (2)当取哪些整数时，分式的值为整数； (3)试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当，，且时， ，当时，． 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式的值，分式的值的大小比较，掌握运算法则是解本题的关键； （1）把代入再解方程即可； （2）把化为，再根据为整数，为整数，再建立方程求解即可； （3）先计算，可得，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴， 解得：， 经检验符合题意； （2）∵，而为整数，为整数， ∴或， 解得：，， （3） ， 当，即， ∴，则， 当，即， ∴且时，，即， 当时，，即． 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负． 【分析】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得， 则有①或 ② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 4．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $