18.1 分式及其基本性质-【专项训练】2026-2027学年八年级上册数学——分式（人教版·新教材）

第十八章分式 思维导图 概念 式子合M,B表示两个整式， 并且B中含有字母) 有意义 B≠0 分式及其 分有（无）意义及值为0的条件 无意义 (B=0) 基本性质 值为0 A=0,B卡0 基本性质 (分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去化成，最简分式 通分 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式 最简公分母 乘法法则 a.c (a,b,c,d均为整式，且b,d≠0) 分式的 除法法则 d=a.d 乘法与除法 b b cb·c (a,b,c,d均为整式，且b,c,d≠0) 乘方运算 b (b卡0，且n为正整数) 分 同分母分式相加减 法则 e =a±b c c c 式 分式的加 法与减法 异分母分式相加减 法则 ad b 混合运算 运算顺序 先乘方，再乘除，然后加减， 有括号的先算括号里面的 1 用科学记数法表示 负整数指数幂 a= (a≠0，且n为正整数) 绝对值小于1的正数 整数 指数幂 am·a=am+n,（am)n=amn 整数指数幂 a×10-n(1≤a<10, （ab)n=ab(m,n是整数) 且n为正整数) 概念 分母中含有未知数的方程】 解法 过程 去分母→解整式方程→检验→写出分式方程的解 分式方程 增根 概念 使最简公分母为0的整式方程的根 原因 分式方程化为整式方程时，各分式需乘最简公分母，当最 简公分母的值为0时，整式方程的根不是分式方程的根 实际应用 步骤 审→找→设→列→解→验→答 18.1 分式及其基本性质 基础解读 知识点1分式的概念 1+x 例2要使分式(x-x+2)有意义，则x的 1.概念：一般地，如果A,B表示两个整式， 取值应满足 并且B中含有字母，那么式子A叫作分式 A.x=1 B.x≠1 分式合中，A叫作分子，B叫作分母。 C.x≠-1或x≠-2D.x≠1且x≠-2 【解析】根据分式的分母不为0列出不等式： 2.判断分式的三要素：(1)形如合的式子； (x+2)(x-1)≠0，解得x≠1且x≠-2.故 (2)A,B均为整式；（3)分母B中含有字母. 选D 3.分式的概念可以类比分数得出，分式的形 【答案】D 式和分数类似，但它与分数有区别，分式 的分母中含有字母，这也是分式的一个重 例3 对于分式朵，下列叙述正确的是 要标记. A.当a=0时，分式无意义 下列术子：5，中6-号职 3 2,其中分式有 B.存在a的值，使分式本的值为1 10m’ C.当a=-1时，分式值为0 A.1个 B.2个C.3个 D.4个 D.当a≠-1时，分式有意义 【解析】根据分母中含有字母的式子是分 【解析】A.当a=0时，分母a+1≠0，分 式选行解析，。十b可n的分母中含有字母， 式有意义，故本选项错误B.当a的值为1时， 属于分式，共有2个.故选B. a+1 【答案】B a=a+1,不存在这样的a值，故本选项错误C.当 知识点2分式有意义的条件及分式的值为 a=-1时，分母a+1=0,分式无意义，故本选 0的条件 项错误；D.当a+1≠0即a≠-1时分式有意义， 1.分式有意义的条件：分式的分母不为0.即： 故本选项正确.故选D 对于分式合，只有当B≠0时，分式才有意义.。 【答案】D 2.分式的值为0的条件：当分式的分子等于0， 知识点3分式的基本性质 且分母不等于0时，分式的值为0.用代数表 1.分式的分子与分母乘（或除以）同一个不 等于0的整式，分式的值不变 示为当A=0,且B≠0时，分式合=0， 3.一定要检验使分子为0的取值是否使分母 用式子表示为台：合会年长中4， 的值为0. B,C(C≠0)均为整式. 2 。分式 2.分式的基本性质的应用主要表现在以下 C.-a+b=-1 两个方面： a-b Dg 【解析】a2+b2与a+b没有公因式，所以 (1)不改变分式的值，把分式的分子、分 a2+b2 母各项的系数化为整数； =a+b的计算是错误的，选项A不符 a+b (2)分式的分子、分母与分式本身的符号， 合题意；因为a+m与a+n没有公因式，所 改变其中任何两个，分式的值不变 以a+m=心的计算是错误的，选项B不符合 例4如果把分式父中的x和y都扩大为原 a+nn x+Y 题意；因为-a+b=-(a-b)与a-b的公因 来的2倍，那么分式的值 式是a-b,所以选项C符合题意；因为 A.不变 a4,所以选项D不符合题意.故选C B.缩小为原来的) 【答案】C C.扩大为原来的2倍 知识点5最简分式 D.扩大为原来的4倍 1.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式 【解析】依题意，分别用2x和2y去代换原： 2.分式运算的结果均要化为最简分式或整 分式中的x和y,利用分式的基本性质化简即 式，而约分是其重要途径 可，冲为22= 4y 2y .故选A 例6下列分式中，属于最简分式的有() 2(x+y)x+y 【答案】A 知识点4分式的约分 ④1片，⑤ ,⑥ x+y x2y+xy2 1.概念：根据分式的基本性质，把一个分式的 A.1个 B.2个 分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. C.3个 D.4个 2.约分法则：把一个分式约分，如果分子和 分母都是几个因式乘积的形式，约去分子 【解析】①4= x=2,x二1- x2-1x+1’ 和分母中相同因式的最低次幂；分子与分 ④1x x-1 =-1,⑤2-x2 =y-x,可约分，不 x+y 母的系数，约去它们的最大公因数.如果分 式的分子、分母是多项式，先分解因式， 是最简分式：②21，⑥的分子不 x2y+xy2 然后约分 分母没有公因式，是最简分式.故选B. 3.约分的依据是分式的基本性质，约分的关 【答案】B 键是找出分式中分子和分母的公因式. 知识点6分式的通分 4.约分时，当分子或分母含有负号时，一般 1.概念：根据分式的基本性质，把几个异分 把负号提到分式前面 母的分式分别化成与原来的分式相等的同分 母的分式，叫作分式的通分 例5下列约分计算结果正确的是（) 2.最简公分母：取各分母的所有因式的最高 A.a2+62 =a+b B.atm=m a+b a+nn 次幂的积作公分母，它叫作最简公分母 数学专项训练… 3.确定最简公分母的一般方法：(1)若各分 B. x+3 母是单项式，最简公分母是各分母系数的最 (x-2)(x+3)°（x-2)x+3)2 小公倍数、相同字母的最高次幂和单独出现 C.、 (x+3)2 x-2=（x-2)（x+3)2 的字母及其指数的乘积；（2)若各分母中有 2 2x-2 多项式，一般要先分解因式，再按照分母都 D.x+3)2（x-2)(x+3)3 是单项式求最简公分母的方法，从系数、相 【解析】根据分式的基本性质，寻求几个 同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.：分式的最简公分母，进行通分，选项A,最简 4.通分的步骤：（1)确定各分式的最简公分母； 公分母是(x-2)（x+3)2,正确；选项B, (2)用这个最简公分母除以各分式的分母； (x-2x+3)(-2+3万，正确：选 x+3 (3)用所得的商去乘原来各分式的分子、 (x+3)2 分母. 项C,-2x2+3,正确：选项D, 把，2(x-2x+3✉中3 2 2x-4 (x+3)2 (x-2)(x+3)2,则D不正确， 通分的过程中，不正确的是（ 故选D A.最简公分母是（x-2)（x+3)2 【答案】 D 提分训练 训练点1分式有意义、分式值为0的条件 =宁，所以C选项正确：当x=1,y=2时。 3x 1.若分式2-9 的值为0，则x的值为( x2 2x+6 =,号=子，所以D选项错误.故选C A.3 B.-3 C.±3 D.0 【学会总结】本题考查了分式的基本性质及约 【关注过程】根据题意得2-9=0， 解得 分的应用，分式变形时不能只对分子或分母变 2x+6≠0. 形，同乘或同除以的整式不能为0. x=3.故选A 【学会总结】若分式的值为零，须同时具 训练点3通分 备两个条件：（1)分子为0；(2)分母不为0. 1 3.通分：m-g和2m+6 训练点2约分 【关注过程】 2.若x≠y,则下列分式化简中，正确的是( 1 2 A.+2 B.x-2x m2-9=(m+3)(m-32(m+3(m-3) y-2=y m-3 D.2 2m+6=2(m+3）=2(m+3)(m-3) =y 【学会总结】通分时找最简公分母的技巧： 【关注过程】当x=1,y=2时， x+2 (1)找系数，如果各分母的系数都是整数， y+2 那么取它的最小公倍数；(2)找字母，凡各 4,了=2，所以A选项错误；当x=1,y= 分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都 3时，号-，=分，所以B选项错误 要选取；(3)找指数，取分母因式中出现的 所有字母或含字母的式子中指数的最大值，