专题08 分式方程含参运算（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版+压轴挑战”构建分式方程含参运算体系，通过分类讨论与化归思想实现能力迁移，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法|三步核心：去分母化整式、整理标准形式、分类讨论参数|从分式方程解法基础延伸至含参分类讨论| |题型归纳|5题型（每题型1典例+3变式）|解符号：解+分母≠0列不等式；无解：整式无解或解为增根；增根：令公分母=0；整数解：参数表解求整数；综合：不等式组与方程参数联动|从单一解的特征到多知识点综合，形成问题解决链| |压轴挑战|15题|高难综合题强化参数多情境讨论|深化分类讨论思维，突破中考压轴题思维上限|

专题08 分式方程含参运算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解为正数或负数 题型二、无解问题 题型三、增根 题型四、整数解问题 题型五、不等式与分式方程综合含参问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 第一步,去分母（化归为整式方程） 两边同乘最简公分母（含未知数 x 的因式）。第二步,整理为标准形式,化简后，务必按未知数 x 降幂排列，化为解的含参形式。第三步，分类讨论，若参数取某值时，求出的根恰好使分母为 0，此时需将该参数值判定为“无解”或“有增根”。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解为正数或负数 典例1 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】先将分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据解为正数且分式分母不为0，列出不等式求解得到a的取值范围. 【详解】解：原方程两边同乘去分母得 整理得 ∵方程的解为正数 ∴，即，解得 又∵分式方程分母不能为0 ∴，即，解得 综上，的取值范围为且． 题型模版 1.特征：题干中给出解的符号。 2.方法：先解分式方程得到用参数表示未知数的式子，再结合解为正数、分式分母不为0两个条件列不等式求解，得到参数的取值范围． 变式1-1若关于的分式方程的解是正数，则（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析【详解】解：原方程变形为， ∵方程两边同乘得：， 整理得， ∵分式方程的解是正数，且分母不能为0， ∴， 即， 解得且． 变式1-2．关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程得到用表示的式子，再根据解为负数且分式有意义判断选项即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴当时，， 且， 解得且且， ∴且， ∴选项中只有符合条件，故选B． 变式1-3．若关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵分式有意义时分母不为0，即， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围为且． 题型二、无解问题 典例1 若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 【答案】D 【详解】解：对于方程， 两边同乘，得， 整理得． 当，即时，整式方程无解，故原分式方程无解． 当时，． ∵原分式方程无解， ∴当时，，即，解得． 综上，的值为或． 题型模版 1.特征：题干中给出原方程无解。 2.方法：先将分式方程转化为整式方程，再从整式方程无解和整式方程有解，但该解让原分式方程的最简公分母为零两种情况讨论． 变式1-1若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．或0 C．或0 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程分母为0（即产生增根），分两种情况计算即可得到的值． 【详解】解：， 原方程两边同乘，去分母得， 整理得：， ①当整式方程无解时，此时，方程变为，不成立，原方程无解； ②当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程分母，得增根， 把代入，得，即； 综上，的值为或． 变式1-2．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：将原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得， ∵原分式方程无解， ∴方程的解为增根， 令分母 ，得增根， 把代入 ，得， 解得． 变式1-3．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 【答案】C 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得：， 情况1：若整式方程无解， 当一次项系数为时，整式方程无解， ， 解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足，即， 把代入，得，解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 题型三、增根 典例1 若关于的方程有增根，则增根为______． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴ 解得． 题型模版 1.特征：题干中给出原方程有增根。 2.方法：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，确定增根只需令分式方程的最简公分母等于0，即可求解． 变式1-1解分式方程时产生了增根，这个增根是______． 【答案】 【详解】解：把方程去分母得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解， ∴这个增根是． 变式1-2．关于x的分式方程有增根，则增根为________． 【答案】 2 【详解】解：分式方程的分母分别为和，因此最简公分母为． 因为分式方程有增根，所以最简公分母为，即 ， 解得． 故答案为． 变式1-3．若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 题型四、整数解问题 典例1 ．关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【详解】解：， ， ∴， ∵关于的分式方程的解是整数， ∴时，解得：或； 时，解得：或； 时，解得：或； ∵， ∴， ∴，解得：， 综上可得：满足条件的整数的值为或或或或， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 题型模版 1.特征：解为整数、正整数或负整数。 2.方法：先解分式方程，用表示方程的解，根据方程的解是整数的要求得出参数的值，即可得到答案． 变式1-1若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有________个． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数， ∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个． 故答案为：3． 变式1-2．已知关于x的分式方程的解是整数，则整数m的值是________． 【答案】1或3或4 【分析】本题考查分式方程的解，先将m当作已知解方程，根据方程的解为整数可得m的取值，再结合分母不为0舍去不符合的m的值即可求解． 【详解】解： 解得：， ∵关于x的分式方程的解是整数， ∴m的取值为1，0，3或4， ∵，， ∴m的取值为1或3或4， 故答案为：1或3或4． 变式1-3．若分式方程的解为整数，则整数___________． 【答案】 【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值． 【详解】解：， 整理得： 若分式方程的解为整数， 为整数， 当时，解得：，经检验：成立； 当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:， 故答案是：． 题型五、不等式与分式方程综合含参问题 典例1 若关于的不等式组有且只有2个偶数解，关于的方程的解为非负数，则奇数______． 【答案】 或 【分析】【详解】解： 解不等式得， 故不等式组的解集为， 不等式组有且只有2个偶数解，中只有两个偶数， ， 解得， 解分式方程， 方程两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 分式方程的解为非负数，且分母不为零， ，且， 解得，且， 结合，可得满足条件的奇数为. 题型模版 1.特征：不等式（组）和分式方程均含有参数。 2.方法：解不等式组得到未知数的取值范围，再根据有题意确定参数的初步范围，接着解分式方程，根据解为非负数且分母不为零得到参数的限制条件，最后找出满足所有条件的参数即可. 变式1-1若关于的一元一次不等式组有解且最多有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的整数有________个． 【答案】5 【详解】解：， 不等式：两边同乘得， 移项合并同类项得， 系数化为得； 解不等式：展开得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组有解， 解集为， 又不等式组最多有个奇数解， 且， 解得：， 解分式方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， 解得：， 由分式分母不为得：， 分式方程的解为整数，为整数，且， 是的因数，且， 可得符合条件的为：，，，，，共个． 变式1-2．若关于的一元一次不等式组有解且刚好3个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数的积为_____． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且刚好3个奇数解， ∴， 解得； 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的分式方程的解是整数， ∴是整数， ∴（k为整数）， ∴ ∵， ∴， ∴； ∴k的值可以为， ∴的值可以为， 又∵， ∴； 综上所述，的值可以为， ∴满足条件的所有整数的积为， 故答案为：． 变式1-2．若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是___________． 【答案】1 【详解】解：，整理得：， 则不等式组的解为， 不等式组有且只有2个奇数解， ， ， 对应的整数a有：，，0，1，2，3， ，解得：， ， ， ，即， ， 则所有满足条件的整数的值有：，0，1，2， ， 故答案为：1． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程计算的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 2．若关于x的分式方程有增根，则常数k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由分式方程有增根得增根为，将分式方程化为整式方程后代入增根求解的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母， 即． 原方程变形为， 去分母得， 将代入得， 解得． 3．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，本题先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件计算的值． 【详解】解：方程两边同乘得， 解得， ，是整式方程，始终有解， ∴当或时，原方程分母为零，无解． 令，则，解得； 令，则，解得． ∴或时，原方程无解． 4．关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式方程无解包括去分母后的整式方程无解或整式方程的解为增根两种情况，本题去分母后的整式方程有解，故无解说明方程存在增根，增根是使原分式方程的最简公分母为0的未知数的值，先确定增根为，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：，即 方程两边同乘最简公分母，去分母得： 整理得：， 即 ∵原分式方程无解， ∴方程的解为增根，满足分母，即增根为 令 解得． 5．若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组的解集，根据解集情况得到，即，解，得到，根据分式方程的解为整数求出的值，结合已知条件得到满足条件的m的值，相加即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 不等式组有5个整数解， 整数解为， ， 解得． 解分式方程， 两边同乘，得， 整理得， ，其中，且． 分式方程的解为整数，为整数， 是的整数约数， 即，对应的值为． 结合，，且即， 得符合条件的整数为． 所有满足条件的的值的和为． 6．若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有三个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解且分母不为零，找出符合条件的a，最后计算所有符合条件a的和即可. 【详解】解： 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为； ∵不等式组有且仅有三个整数解，三个整数解为， ∴， 解得， ， 去分母得， 整理得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即 ，得， 又∵方程的解为整数，且，， ∴符合条件的整数为或； 所有满足条件的的值之和为. 7．如果关于的方程有增根，那么的值为___________． 【答案】 【分析】先确定分式方程的增根，将分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程即可求出的值. 【详解】解：∵ 方程有增根，且方程分母为和， ∴ 增根满足，即. ， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 整理得 ， 将代入上式，得 ， 解得 . 8．若关于的分式方程有增根，则的值是__________． 【答案】 【分析】先解分式方程，再由增根的定义得出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 去分母得， ， 关于的分式方程有增根， ，即， ，解得． 9．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【分析】首先可将转化为，消去分母将分式方程转化为整式方程；再分类讨论分式方程无解的情况，第一种是化简后的整式方程无解，第二种是使原分式方程的分母为0的情况，进而求解a的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 【点睛】分式方程无解包含两种情况：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根． 10．若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 【答案】，且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到用含的式子表示的，再根据解为正数、分母不为两个条件列不等式求解． 【详解】解： ， 方程的解为正数 ，即， 解得， 分式方程分母不为， ， 即， 解得， 的取值范围是，且． 11．若关于x的分式方程的解为正数．则m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先解分式方程，用含的代数式表示方程的解，再根据分式方程的解为正数且分式有意义的条件，列出不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， 分式方程的解为正数，且分式分母不能为， ，且， 故的取值范围是且． 12．若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解筛选出符合条件的整数a，即可求解． 【详解】解： ， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此不等式组的解集为 ， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴，解得 ， ， 方程两边同乘（），得 ， 整理得， 解得 ， ∵分式方程有非负整数解，且 ， ∴，，且为整数， 解得，，且为奇数， 结合，为整数， 可得符合条件的整数为 ， 因此所有满足条件的整数的值之和为． 13．关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 _______ ． 【答案】19 【详解】解： ， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 根据“同小取小”可得， 解分式方程， 解得， 分式方程的解为非负数， 且，即，且， 解得，且， 综上可得，且， 则满足条件的整数为， 所有满足条件的整数的和为． 14．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 【答案】 【分析】先去分母、去括号、移项、合并同类项得到方程，结合分式方程的增根为，得到，解分式方程即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 方程的增根为，即是方程有解， ， 则方程的解为， ，解得， 经检验，是分式方程的解， ． 15．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4或或 【分析】（1）利用分式方程增根的意义解答即可； （2）分式方程无解包括两种情况：一是化为整式方程后，整式方程的解是原方程的增根；二是化为整式方程后，该整式方程本身无解，据此分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 把代入中可得： ， ∴， ∴m的值为； （2）解：当方程有增根时，， ∴或， 把代入中可得： ， ∴， 把代入中可得： ， ∴， 当时，该方程无解，即； ∴综上所述：m的值为4或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 分式方程含参运算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解为正数或负数 题型二、无解问题 题型三、增根 题型四、整数解问题 题型五、不等式与分式方程综合含参问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 第一步,去分母（化归为整式方程） 两边同乘最简公分母（含未知数 x 的因式）。第二步,整理为标准形式,化简后，务必按未知数 x 降幂排列，化为解的含参形式。第三步，分类讨论，若参数取某值时，求出的根恰好使分母为 0，此时需将该参数值判定为“无解”或“有增根”。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解为正数或负数 典例1 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 题型模版 1.特征：题干中给出解的符号。 2.方法：先解分式方程得到用参数表示未知数的式子，再结合解为正数、分式分母不为0两个条件列不等式求解，得到参数的取值范围． 变式1-1若关于的分式方程的解是正数，则（    ） A．且 B． C．且 D． 变式1-2．关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 变式1-3．若关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 题型二、无解问题 典例1 若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 题型模版 1.特征：题干中给出原方程无解。 2.方法：先将分式方程转化为整式方程，再从整式方程无解和整式方程有解，但该解让原分式方程的最简公分母为零两种情况讨论． 变式1-1若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．或0 C．或0 D． 变式1-2．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式1-3．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 题型三、增根 典例1 若关于的方程有增根，则增根为______． 题型模版 1.特征：题干中给出原方程有增根。 2.方法：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，确定增根只需令分式方程的最简公分母等于0，即可求解． 变式1-1解分式方程时产生了增根，这个增根是______． 变式1-2．关于x的分式方程有增根，则增根为________． 变式1-3．若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 题型四、整数解问题 典例1 ．关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 题型模版 1.特征：解为整数、正整数或负整数。 2.方法：先解分式方程，用表示方程的解，根据方程的解是整数的要求得出参数的值，即可得到答案． 变式1-1若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有________个． 变式1-2．已知关于x的分式方程的解是整数，则整数m的值是________． 变式1-3．若分式方程的解为整数，则整数___________． 题型五、不等式与分式方程综合含参问题 典例1 若关于的不等式组有且只有2个偶数解，关于的方程的解为非负数，则奇数______． 题型模版 1.特征：不等式（组）和分式方程均含有参数。 2.方法：解不等式组得到未知数的取值范围，再根据有题意确定参数的初步范围，接着解分式方程，根据解为非负数且分母不为零得到参数的限制条件，最后找出满足所有条件的参数即可. 变式1-1若关于的一元一次不等式组有解且最多有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的整数有________个． 变式1-2．若关于的一元一次不等式组有解且刚好3个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数的积为_____． 变式1-2．若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是___________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 2．若关于x的分式方程有增根，则常数k的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 4．关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 6．若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是（     ） A． B． C． D． 7．如果关于的方程有增根，那么的值为___________． 8．若关于的分式方程有增根，则的值是__________． 9．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 10．若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 11．若关于x的分式方程的解为正数．则m的取值范围为________． 12．若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为________． 13．关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 _______ ． 14．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 15．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $